I dette opplegget skal elevene utforske ulike skrivemåter for andregradsfunksjoner. De skal se på funksjoner fremstilt på følgende måter: `f(x)=ax^(2)+bx+c` `g(x)=k(x-r)(x-s)` `h(x)=t(x-m)^(2)+n` Når elevene skal skrive uttrykket til en andregradsfunksjon, vil de som regel notere funksjonen på formen til f(x) siden det er den formen de har arbeidet mest med og som lærebøker bruker oftest. I dette opplegget skal elevene bli bedre kjent med alle skrivemåtene og fordelene til hver av dem. Hvert elevpar får ett elevark for aktivitet 1, 2 og 3 og ett elevark for aktivitet 4 og 5, Vi anbefaler at elevene får arket med aktivitet 4 og 5 etter at de har jobbet med aktivitet 1, 2 og 3. Elevene skal forklare tankene sine for hverandre og samarbeide om å skrive ned observasjonene sine. Vi foreslår at elevene jobber sammen på en PC, men bytter på å skrive inn i GeoGebra. For alle oppgaver gjelder: Lag en ny fil i GeoGebra for hver aktivitet Skriv funksjonen inn i GeoGebra. Lag glidere. Vis Navn og verdi på alle Glidere. Undersøk bare en parameter (glider) om gangen. Observer og noter observasjonene. Sett alltid glidere tilbake til startverdien før du starter på en ny parameter. Elevene arbeider i eget tempo med aktivitetene, og vi anbefaler å notere ned hva elevene synes er vanskelig underveis og diskutere det i oppsummeringen. Hvis noen elever jobber lenge med en aktivitet og ikke kommer fram til en god løsning, kan det være lurt at de går videre til neste aktivitet slik at de kan få en viss oversikt over hele opplegget. Aktivitet 1 Elevene skal undersøke `f(x)=ax^(2)+bx+c`. Sett alle glidere på tallet 1,5 (NB:1.5 i GeoGebra). Undersøk c, a og b (tabell på elevark). Kommentarer til læreren GeoGebra setter startverdien for glidere på 1. Tallet 1 er et spesialtilfelle som lett kan gjøre at elevene feiltolker egenskapene til et funksjonsuttrykk. Elevene skal derfor bruke 1,5, som er et vilkårlig valgt tall, som utgangspunkt for undersøkelsene. Rekkefølgen til parameterne som elevene skal undersøke er satt til c, a, b. Egenskapene til parameter c og a skal være kjent for elevene. Parameter c er den enkleste å finne ut av. Egenskapene til parameter b er ukjent for elevene. Som hjelp blir de bedt om å tegne inn Ekstremalpunkt og sette sporing på den. Elevene finner ekstremalpunktet ved å skrive inn Ekstremalpunkt i skrivefeltet eller ved å velge Ekstremalpunkt fra verktøylinjen. Elevene blir bedt om å undersøke tilfellene der parameterne er lik 0. De blir ofte overrasket over at grafen blir en rett linje når a = 0. Det er først da mange elever ser en sammenheng mellom lineære funksjoner og andregradsfunksjoner, noe som kan gi dem en dypere forståelse for funksjoner. Aktivitet 2 Elevene skal undersøke `g(x)=k(x-r)(x-s)`. Sett glidere til: k = 1, s = -4, r = 2. Undersøk parameter k. Hva skjer med grafen når k er positiv, negativ, 1 eller 0? Legg merke til både det som endrer seg og det som ikke endrer seg. Hvor på grafen finner dere s og r? Flytt s og r etter tur. Hva skjer med grafen? Hva kaller vi slike punkter? Noter med egne ord hva som dere kan lese ut av funksjonen: `p(x)=-1,5(x-3)(x-4)` Kontroller svaret med GeoGebra. Skriv eventuelt et nytt svar. Kommentarer til læreren Eleven starter med å undersøke parameter k. Da vil de se at grafen henger fast på to punkter på x-aksen. Mange elever vil gjenkjenne disse punktene som nullpunkter. De fleste elevene vil også se at parameter k påvirker grafen på samme måte som parameter a i aktivitet 1. Det vil si at funksjonen har et bunnpunkt hvis k er positiv og et toppunkt hvis k er negativ. Spesielt interessant er tilfellet der k = 0. Da ligger grafen på x-aksen. Så skal elevene undersøke r og s. Det kan være overraskende for elevene å se at skjæringspunktene med x-aksen beveger på seg. Parameterne r og s betegner x-koordinatene til nullpunktene til funksjonen. Dersom elevene tror at r og s bestemmer formen til grafen, kan det være lurt å be de om å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt og vise verdi på punktene. Til slutt skal elevene anvende det de har funnet ut på en gitt andregradsfunksjon. Det viser om elevene har forstått hva parameterne betyr. For elevene kan det være en utfordring å tolke operasjonstegnene i parentesene riktig. (x-3) betyr at funksjonen har et nullpunkt ved x = 3. Gjennom utforsking kan de se at y-koordinaten alltid er 0 for alle punkter på x-aksen. Aktivitet 3 Elevene skal undersøke `h(x)=t(x-m)^(2)+n`. Sett gliderne på 1,5. Utforsk t, m og n (tabell på elevark). Tegn et punkt med koordinater P = (m, n). Hvor ligger dette punktet? Hva heter punktet? Finn nullpunktene til h(x). Tegn linja x = m. Hva heter denne linja? Flytt på gliderne og noter observasjonene deres. Kommentar til læreren Denne måten å skrive uttrykket til en andregradsfunksjon er ukjent for elevene. Elever som har hatt 1T har brukt skrivemåten som en løsningsmetode for andregradslikninger (fullstendig kvadraters metode), men elevene har aldri sett den i sammenheng med funksjoner. Elevene ser her at noe som er kjent fra algebra gir verdifulle opplysninger i funksjonslære, noe som kan gi dem dypere forståelse i matematikk. Aktiviteten er tredelt. Elevene arbeider først med parameterne t, m og n. De vil oppdage at t bestemmer om funksjonen har en minimal- eller maksimalverdi, men at den ikke endrer på koordinatene til ekstremalpunktet. Ved å endre m og n, kan elevene flytte grafen langs x- og y-aksen, og dermed endre grafens ekstremalpunkt. I andre del av aktiviteten blir elevene bedt om å skrive inn punkt P = (m, n). De fleste elevene vil da oppdage at m og n er koordinatene til ekstremalpunktet til funksjonen h. Til slutt skal elevene undersøke sammenhengen mellom funksjonens nullpunkter, ekstremalpunkt og symmetrilinje. Målet er at elevene skal oppdage at x-verdien til ekstremalpunktet alltid er midt i mellom x-verdiene til nullpunktene og at symmetrilinja går gjennom ekstremalpunktet. Dette kan elevene utnytte når de skal skissere grafen til en andregradsfunksjon uten å lage verditabell. Aktivitet 4 Elevene skal undersøke en funksjon F som er skrevet på tre forskjellige måter. `f(x)=3x^(2)-3x-6` `g(x)=3(x-2)(x+1)` `h(x)=3(x-(1)/(2))^(2)-(27)/(4)` Finn ut mest mulig om grafen uten hjelpemidler (tabell på elevark). Vis ved regning at f(x) = g(x) = h(x). Kommentar til læreren I denne aktiviteten skal elevene oppsummere hva de har funnet ut i aktivitet 1-3. Det er anbefalt at hver elevgruppe bare får ett elevark slik at de er nødt til å jobbe sammen og diskutere for å komme fram til et svar. Elevene skal se at alle skrivemåtene har sine fordeler, og at det er mulig å skifte mellom de ulike skrivemåtene. Det gjør det mulig å skissere grafer uten digitale hjelpemidler, noe elevene får prøve når de skal skissere i(x) i aktivitet 5. Elevene skal notere ned hvilken funksjon de bruker for å finne de forskjellige verdiene/egenskapene, og det gjør de mer bevisste på fordelene de ulike skrivemåtene har. For å vise at f(x) = g(x) = h(x), må elevene bruke algebra. Det er ikke nok å tegne grafen til funksjonene og vise at de dekker hverandre. Det er enklest å omskrive uttrykkene til g(x) og h(x) til f(x). Elever som trenger utfordringer kan omforme f(x) til h(x). Det er viktig å ha god tid til en grundig, felles oppsummering etter aktivitet 4. Læreren bør ha fokus på å få fram hva elevene har funnet ut og hvilke fordeler de ulike skrivemåtene har når elevene arbeider med funksjoner. Det er viktig å løfte frem hvordan elevene kan dra nytte av fordelene når de skal skissere en graf. Aktivitet 5 Elevene skal skissere funksjonen `i(x)=2x^(2)-2x-12` i koordinatsystemet uten bruk av hjelpemidler og uten å regne ut en verditabell. Kommentarer til læreren Tallene er valgt slik at det skal være lett å veksle mellom de tre skrivemåtene. Elevene skal bruke det de har lært i aktivitetene 1- 4 for å skissere grafen. De fleste elevene vil se at grafen skjærer y-aksen i punktet (0, -12). Det kan de lese direkte ut av det oppgitte uttrykket til i(x). Elevene kan finne nullpunktene ved å faktorisere uttrykket slik at det blir på formen til g(x) eller ved å sette i(x) = 0 og løse likningen. For å finne ekstremalpunktet, vil noen elever benytte seg av at x-verdien til ekstremalpunktet må ligge midt i mellom nullpunktene siden en andregradsfunksjon er symmetrisk, og deretter kan de beregne y-verdien ved å sette inn i uttrykket for i(x). Andre elever vil fullføre kvadratet og bruke det de har lært i aktivitet 3 og 4. I oppsummeringen etter aktivitet 5 skal elevene fortelle hvordan de arbeidet og hvordan de utnyttet fordelene til funksjonsuttrykkene. Dette kan skje i hel klasse hvor læreren velger ut noen elevpar som forteller, eller det kan skje i grupper bestående av flere elevpar. GeoGebra-hjelp Glidere Noen av oppgavene forutsetter bruk av Glidere. Den enkleste måten å lage disse på, er å skrive inn funksjonen slik den står og svare bekreftende på spørsmål om glidere. Minn elevene på at de må bruke gangetegn mellom to bokstaver slik som a og x2 og b og x. Mange elever vil oppleve at gliderne er i veien for grafen. De kan flytte gliderne ved å høyreklikke og ta bort haken ved Lås objekt.
Aktivitet 1 Elevene arbeider i par. De skal undersøke animasjonen Rotasjon som viser en trekant som roterer om et punkt. Animasjonen ligger på www.geogebra.org/u/matematikksenteret. Etter at elevene har arbeidet en stund, fortsetter aktiviteten med en klassesamtale med animasjonen på storskjerm. Da kan de enkelt vise fram hva de har funnet ut. Kommentarer til læreren Det er mulig å bevege på glideren for å rotere trekanten samt rotere automatisk med start- og stoppknappen. Glideren går fra 0° til 720°. GeoGebra kan vise originalen og rotasjonsvinkelen, i tillegg til den roterte trekanten. Det gjør det lett å se at 360° er en hel omdreining siden den roterte trekanten dekker originalen. Ved å klikke på vinkel i animasjonen kommer to linjestykker mellom punkt på originalen, rotasjonssentrum og punkt på den roterte trekanten fram, i tillegg til vinkelen mellom linjestykkene. I animasjonen er det satt på sporing på hjørnene slik at elevene kan følge bevegelsen til punktene. Ved å stoppe animasjonen, dra i et hjørne eller flytte hele trekanten og så starte animasjonen igjen flere ganger, får elevene varierte erfaringer med rotasjon. Oppfordre de til å undersøke hva som skjer når rotasjonssenteret er innenfor, på og utenfor trekanten. Når elevene har blitt kjent med animasjonen og fått noen erfaringer, fortsetter aktiviteten med en klassesamtale. Vektlegg rotasjon som kongruensavbildning (formen er bevart etter rotasjon) og hva som skjer med hjørnene til trekanten under rotasjonen. Bruk relevante begreper som rotasjon, rotasjonssentrum og rotasjonsvinkel. Gode spørsmål til oppsummering: Hvorfor tegner GeoGebra sirkler? Hva betyr tallene på glideren? Hvor ligger trekanten hvis glideren står på 90° eller 180°? Hvor ligger trekanten når man roterer med 360°, 540° eller 720°? Hvor er vinkelen GeoGebra måler? Vinkelen (i trekanten) vokser i takt med glideren, men starter på nytt etter 360°. Hvorfor gjør den det? Vinklene 360°, 540° eller 720° er godt kjente for elever som liker snowboard eller skateboard, noe som gjør det lettere å knytte rotasjon til noe de kan fra før. Aktivitet 2 Elevene skal så utforske likesidede mangekanter. I felles klasse lager de den første tegningen (konstruksjonen) de skal arbeide med i GeoGebra, nemlig en sekskant som de kan rotere med glider. Instruksjonen står også på elevarket hvis elevene glemmer fremgangsmåten når de skal lage de andre mangekantene. Forslag til fremgangsmåte: Åpne en ny fil i GeoGebra. Skjul akser og rutenett. Lag en glider for rotasjonsvinkelen: Velg Glider og trykk i Grafikkfeltet. Velg Vinkel. Slett α = 45° og skriv v. Trykk OK. Tegn en likesidet sekskant. Tegn et punkt som skal være rotasjonssentrum. Velg Roter objekt om punkt med fast vinkel. Trykk på sekskanten og på punktet (rotasjonssenteret) og skriv v som vinkel. Elevene fortsetter så å arbeide i par med elevarket. Målet er å finne ut hvor mange grader de må rotere ulike likesidede mangekanter for å få den roterte mangekanten til å dekke originalen. Kommentarer til læreren I aktivitet 1 oppdaget elevene at den roterte trekanten alltid dekket originalen når de roterte 360°, men er det mulig å rotere med en mindre vinkel? I denne aktiviteten vil elevene oppdage at det er mulig for likesidede mangekanter, og at plasseringen av rotasjonssenteret er avgjørende. Elevene starter med å lage en likesidet sekskant som de kan rotere med en glider. Likesidet mangekant heter Regulær mangekant i GeoGebra. Siden dette er en ganske komplisert tegning for elever på mellomtrinnet, anbefaler vi å gjøre dette i felles klasse. På den måten kommer alle godt i gang, og kan deretter fortsette utforskingen i par. Oppfordre de til å bevege på glider og rotasjonssenteret og observere hva som skjer før de begynner med oppgavene på elevarket. Elevene må selv finne ut at midtpunktet til mangekanten må være rotasjonssenteret. Når de har arbeidet en stund med aktiviteten, er det lurt med en klassesamtale med fokus på denne matematiske sammenhengen slik at elevene kan starte med å finne midtpunktet til mangekantene i den videre utforskingen. De tre første oppgavene er rotasjon av en likesidet sekskant, et kvadrat og en likesidet trekant. Rekkefølgen på oppgavene er valgt bevisst. Elevene ser sammenhengen med vinkler bedre i en sekskant enn i en trekant. Hvis elevene bruker linjer/linjestykker for å finne midtpunktet, er det enklere å finne midtpunktet i mangekanter hvor antall sider er et partall enn et oddetall. Så det å starte med for eksempel en femkant kan ødelegge noe av eksperimenteringen. Noen elever vil oppdage at GeoGebra kan finne midtpunktet for dem hvis de bruker Midtpunkt eller sentrum algebra. Oppfordre elevene til å lete videre når de har funnet en løsning og til å resonnere over om de har funnet alle løsningene. Elevene skal så undersøke likesidete mangekanter de velger selv. Kan de finne en generell regel som gjelder for alle likesidede mangekanter når rotasjonssenteret er plassert i midten av mangekanten? Mange elever vil oppdage at hvis de deler 360˚ på antall sider så får de en vinkel de kan rotere med for å dekke originalen. Noen vil også oppdage at de kan rotere med multiplum av denne vinkelen. Gi elevene nok tid til å prøve (og å feile). Jo mer elevene får prøve selv, jo bedre blir de til å bruke GeoGebra. Det digitale verktøyet hjelper elevene med å utvide forståelsen av geometri, og de opplever også opplæringen i det digitale verktøyet som relevant når den skjer samtidig som de arbeider med matematiske problemer. Observer hvordan elevene angriper problemet. Tenker elevene før de velger en verdi for vinkelen, eller prøver de seg bare fram? I motsetning til konstruksjoner på papir gjør GeoGebra det mulig å tegne alle mulige regulære mangekanter og velge alle mulige vinkelstørrelser. Elevene ser med en gang om løsningen stemmer. Angre-knappen gjør det lett å prøve på nytt hvis resultatet ikke blir som forventet. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis, og pass på at klassen får se forskjellige løsningsmetoder.
Aktivitet 1 Aktiviteten er ment som en introduksjon eller repetisjon av speiling. Elevene skal brette ark og speile figurer. Bretten skal være speilingslinjen. Læreren gir oppgavene muntlig eller skriver de opp på tavla. Brett et A5-ark tilfeldig. Bretten skal være speilingslinjen. Pass på at bretten ikke er parallell med sidekanten til arket. Tegn en mangekant på den ene siden av bretten slik at ett hjørne ligger på bretten. Tegn speilbildet av figuren på den andre siden av bretten. Brett et nytt A5-ark slik at bretten blir en skrå speilingslinje. Tegn en mangekant der ingen punkter berører speilingslinjen. Speil mangekanten om bretten. Kommentarer til læreren Elevene kan løse oppgaven på mange måter: Brettet ark på mykt underlag og tegne over figuren slik at det blir et avtrykk. Brettet ark og markere hjørner med blyant eller en passerspiss. Brettet ark mot et vindu. Åpent ark og tegne på måfå. Åpent ark og bruke linjal, sånt omtrentlig. Åpent ark og konstruere speilbildet med normale linjer. Åpent ark og konstruere speilbildet med hjelp av sirkler. Vær oppmerksom på om noen elever tegner speilbildet som om speilingslinjen er parallell med sidekanten. Det er en vanlig misoppfatning som er viktig å være bevisst på. Læreren må legge til rette for at elevene som er i en slik misoppfatning kan utvikle en bedre begrepsforståelse om speiling. Oppgavene i dette undervisningsopplegget vil utfordre tankegangen til elevene og skape et behov for å endre tankemønster. Noter hvilke strategier elevene bruker og tenk over hvilken rekkefølge elevene skal presentere løsningene sine i. Legg spesielt merke til feilløsninger siden de kan være nyttige for å diskutere egenskapene til speiling. Elevene skal komme frem til at linjene mellom punkt og speilingspunkt står normal på speilingslinjen og at avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er like stor. Aktivitet 2 I denne aktiviteten begynner elevene med oppgaverekkene på Kikora sin plattform. De sitter sammen i par med én PC. Arbeidet i Kikora blir avbrutt av korte helklassesamtaler. Læreren instruerer muntlig: Åpne Kikora og velg Speiling om linjer om sidekanter. Bruk god tid og gjør gjerne en oppgave flere ganger. Trykk på snurrehjulet for å starte på nytt. Husk å velge Flytt før dere endrer farge eller drar i figurer. I første oppgaverekke (to oppgaver) lager elevene tegninger ved at de drar i punkter. Bruk god tid og be elevene ha fokus på hva som skjer når de beveger på et punkt. Kikora gir elevene godkjent (et steg blir grønt) når de har beveget et stykke på punktene. I andre oppgaverekke (tre oppgaver) blir elevene kjent med verktøyet Speil objekt om linje og det skal de bruke i resten av oppgavene. I disse oppgavene bruker elevene sidekantene som speilingslinjer. Elever som trenger flere utfordringer, kan for eksempel lage fargerike mønstre av figurene eller speile rombene slik at de ser ut som terninger. Det er ikke nødvendig at alle elevene blir ferdige med alle oppgavene i oppgaverekken. I oppgave 3 skal elevene lage en larve ved å speile firkanter. Like viktig som et pent sluttresultat, er at elevene leker med oppgaven. De må få anledning til å oppdage fordelen ved å arbeide i GeoGebra. Hvorfor beveger hele larven seg hvis elevene drar i ett punkt? Hva må de gjøre for at larven skal bli liten eller kanskje veldig stor? Etter at alle elevene har arbeidet en stund med oppgave 3, samler læreren klassen til en kort felles oppsummering. Ha fokus på hvordan larven beveger seg og hva som gjør at den blir liten eller stor. I fjerde oppgaverekke skal elevene speile en figur flere ganger inntil den dekker en annen figur. Det finnes mange veier til mål så elevene kan gjerne gjøre oppgavene flere ganger. Trykk på snurrehjulet for å starte på nytt. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale om erfaringene elevene har fått. Sørg for at begrepene speiling, speilbilde, speilingslinje og symmetrilinje blir nevnt. Kommentarer til læreren Det er en fordel at elevene er litt kjent med GeoGebra før de starter med oppgavene. De bør vite når de må trykke på Flytt, hvordan de beveger på objekter, hvordan de bruker verktøy og hvordan de endrer farger. Dette kan de lære i Lær GeoGebra: Geometri. Hver av disse oppgaverekke består av liknende oppgaver. Elevene får derfor erfaringer de kan dele i helklassesamtale så lenge de har gjort en oppgave i hver oppgaverekke. Det er derfor ikke nødvendig at elevene gjør alle oppgavene. Læreren kan be elever som blir raskt ferdig om å gjøre oppgavene flere ganger med ulikt resultat. På den måten vil alle elever ha mulighet til å bruke den tiden de trenger. Aktivitet 3 Elevene arbeider videre på Kikora. Oppgave 5 er en flervalgsoppgave. Det er viktig at elevene beveger figuren før de svarer på spørsmålene. Vi anbefaler at læreren viser bildet på storskjerm for en felles gjennomgang av spørsmålene. Pass på å bevege alle punktene i originalfiguren, samt å undersøke hva som skjer om dere drar et punkt til eller over speilingslinjen. De siste to oppgaver henger sammen. Oppgaven 6.1 er en forberedelse til den siste oppgaven. Her skal elevene speile en figur om forskjellige speilingslinjer. Til slutt skal de teste om oppgaven er løst riktig ved å dra i hjørnene til trekanten. I den siste oppgaven skal elevene speile en trekant, en firkant og en femkant, tre ganger til det er tre figurer i de fire områdene. Målet med oppgaven er å lage et egendesignet, symmetrisk bilde. Elevene kan dra i hjørnene til originalfigurene og endre farger. Legg merke til at det bare er figurene som er utgangspunktet for speilingene som er bevegelige. Kommentarer til læreren I oppgave 6.1 bruker elevene verktøyet Mangekant. Det kan være nødvendig å minne dem på at de må trykke på startpunktet for å avslutte figuren. Oppgave 6.2 er egnet som en innlevering enten digitalt eller som utskrift på papir. Det er mulig å avslutte undervisningsopplegget etter at elevene har gjort oppgave 6.2 på Kikora sin plattform. Vi anbefaler imidlertid at elevene arbeider med samme tema og verktøy i det vanlige GeoGebra-programmet slik at de også lærer å bruke GeoGebra uten hjelpen som Kikora gir underveis. Et forslag finner du i aktivitet 4. Aktivitet 4 I denne aktiviteten bruker elevene det de har lært om speiling og om verktøyene i GeoGebra. Elevene arbeider på hver sin PC i det vanlige GeoGebra-programmet. Da får de trening i å bruke programmet, i tillegg til at arbeidsfeltet er større og flere verktøy er tilgjengelige. Læreren gir oppgaven muntlig eller skriftlig. Åpne GeoGebra. Skjul koordinatsystem og velg isometrisk rutenett Bruk Mangekant og tegn en rombe. Velg én eller to ruter som sidelengde. Lag en figur som består av mange terninger ved å speile om sidekanter. Fargelegg terningene med tre farger slik at figuren ser tredimensjonal ut. Kommentarer til læreren Oppgaven er ikke krevende, men gir et pent resultat. Rutenettet gjør det enkelt å tegne den første romben. Minn elevene på å bruke Flytt når de skal endre farge. Noen elever vil kanskje prøve å lage terninger med parallellogram hvor to og to sider er like lange (ikke alle fire slik som for en rombe). Det fungerer fint når de speiler i en retning, men ikke hvis de speiler i alle retninger. Hvorfor?
Aktivitet 1 Elevene arbeider i par med elevarket som inneholder åtte forskjellige bilder. De skal tegne inn symmetrilinjer som gjelder for hele og deler av bildene. I en oppsummerende klassesamtale drøfter klassen begreper som speiling, speilbilde, symmetrilinje og speilingslinje. Kommentar til læreren Elevene kjenner til begrepet speiling så elevarket er tenkt som en oppfrisking. Hver figur har minst én symmetrilinje. En symmetrilinje deler figuren i to nøyaktig like deler. Læreren sørger for å fremheve symmetrier som bare gjelder for deler av figuren/bildet. I garnnøstet, blomsten, jordbærbladet og edderkoppen finnes ikke en matematisk korrekt symmetri. Likevel vil vi oppfatte objektene som symmetriske. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene jobbe med første oppgaverekke på Kikora (fem oppgaver). De skal finne symmetrilinjene til forskjellige mangekanter. Målet med oppgaven er at elevene skal få bekreftet at de har forstått begrepet symmetrilinje og at en figur kan ha mange symmetrilinjer. En figur kan ha mer enn én symmetrilinje og elevene bruker glideren for å velge antall og for å ta bort overflødige linjer. Hvis de trykker på snurrehjulet, kan de starte oppgaven på nytt. Kommentar til læreren Kikora gir elevene riktig (et steg blir grønt) når elevene har plassert speilingslinjene slik at de også er symmetrilinjer. Det vil si at alle punkter på figuren speiles i andre punkter som også ligger på figuren. Vis speilbilde kan hjelpe elevene ved at de ser hvordan speilbildet endrer posisjon når de beveger speilingslinjen. Det er ikke nødvendig at elevene løser alle oppgavene før klassen samles til en samtale. Mulige spørsmål: Hva kjennetegner figurer som har symmetrilinjer? Hvorfor er diagonalene i rektangelet ikke en symmetrilinje? Hvorfor er diagonalene i sekskanten symmetrilinjer? Aktivitet 3 Elevene jobber videre med oppgaverekke 2 på Kikora (seks oppgaver). I disse oppgavene skal elevene prøve å tegne speilbildet til gitte mangekanter. Det er ikke lett å tegne et korrekt bilde av mangekantene uten hjelpemidler. Elevene kan justere løsningen sin ved å dra i punktene. Når elevene har funnet en nokså god løsning, kommer det opp en fasit-knapp slik at elevene kan se den korrekte løsningen. Elevene kan da tilpasse figuren sin. La de gjøre det, men oppfordre dem til å prøve på nytt. Oppgavene skal gjøre elevene bedre til å visualisere speiling og til å tegne speilbilder uten å lage hjelpelinjer. Det er ikke nødvendig at alle elevene løser alle oppgavene siden det er samme type oppgaver, men med ulik vanskelighetsgrad. Kommentarer til læreren Oppgavene har stigende vanskelighetsgrad. Det er enklere på finne speilingspunktet til punkter som ligger nær speilingslinjen enn de som lengre unna. Derfor starter oppgaverekken med figurer som har en side eller et punkt på speilingslinjen. Hvis elevene synes det er vanskelig, kan de bruke en blyant eller hånden til hjelp. Eller kanskje det holder å snu litt på hodet? Aktivitet 4 Elevene jobber med tredje oppgaverekke på Kikora (ett sett med avkryssingsoppgaver). De skal først lage en trekant og speile den med Speil objekt om linje. Så skal de bevege på figuren og svare på en flervalgsoppgave om egenskapene til speiling. Dette er første gang elevene har verktøyet Speil objekt om linje tilgjengelig i Kikora. Etter at de har svart på påstandene, skal hele klassen sammen bruke figuren til å bekrefte egenskapene til speiling. Vi anbefaler at læreren viser bildet på storskjerm samtidig som elevene arbeider i par på én PC. Målet er å vise at avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik og at speilingslinjen står normalt på linjen mellom punkt og speilingspunkt (vinkelen mellom dem er 90°). Husk å dra i hjørnene til trekanten underveis for å se at egenskapene forblir uforandret. Avslutt klassediskusjonen med å utfordre elevene til å finne ut hvordan de kan få speilingslinjen til å være en symmetrilinje i trekanten. Det letteste er å først plassere et punkt på speilingslinjen. Så kan elevene dra i de to andre hjørnene inntil trekanten og speilbildet ligger oppå hverandre. Kommentarer til læreren Forslag til fremgangsmåte: Bruk Linjestykke mellom to punkt til å lage linjestykker mellom punkt og speilingspunkt. Finn skjæringspunktene mellom linjestykkene og speilingslinjen ved å bruke Skjæring mellom to objekt. Bruk Vinkel til å måle vinkelen mellom linjestykkene og speilingslinjen. Finn avstanden mellom punkt og speilingslinje og mellom speilingspunkt og speilingslinje ved å tegne inn nye linjestykker og velge Avstand eller lengde. Ofte måler vi korteste avstand fra speilingslinjen til et punkt. Det kan være lærerikt for elevene å se at avstanden fra et punkt på speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik, uansett hvor punktet er plassert på speilingslinjen. Dette er et eksempel på hvordan bruken av digitale hjelpemidler kan hjelpe elever til å se sammenhenger som er vanskelige å vise med papir og blyant. Aktivitet 5 Denne aktiviteten er tenkt som en oppsummering. Elevene skal arbeide i det vanlige GeoGebra-programmet hvor arbeidsfeltet er større og flere verktøy er tilgjengelige. De skal bruke det de har lært om speiling til å speile en figur uten verktøyet Speil objekt om linje. Det er anbefalt at elevene arbeider parvis på hver sin PC. Da kan de diskutere underveis, samtidig som de får trening i å bruke GeoGebra. Læreren gir oppgaven skriftlig. Åpne GeoGebra. Ta bort akser og rutenett. Tegn en linje som skal være speilingslinjen. Linjen skal være på skrå (ikke horisontal eller vertikal). Gjør punktene usynlige. Bruk Mangekant til å tegne en femkant på den ene siden av speilingslinjen. Speil femkanten om speilingslinjen ved å bruke egenskapene til speiling (ikke Speil objekt om linje). Gi speilbildet en ny farge. Dra i hjørnene til den originale femkanten. Kontroller løsningen med Speil objekt om linje. Kommentarer til læreren Ved å bruke egenskapene til speiling og grunnleggende geometriverktøy i GeoGebra, utvider elevene geometriforståelsen og kompetansen i GeoGebra samtidig. Elevene kan tegne speilbilder på ulike måter, basert på ulike geometriske egenskaper. Læreren bør notere hvilken løsningsmetode de ulike elevparene bruker og la elevene presentere et utvalg framgangsmåter for hele klassen som oppsummering av aktiviteten. Forslag til fremgangsmåter: Verktøy og tegning Egenskapene til speiling Fremgangsmåte Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik. Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik.
Finn funksjonsuttrykket 1 Elevene jobber i par eller i små grupper i Kikora. Programmet lager hemmelige, lineære funksjoner og elevene skal forsøke å finne funksjonsuttrykket som passer til. De skriver inn en x-verdi og Kikora gir dem tilhørende y-verdi. Prosessen gjentas. Elevene kan legge punktene inn i koordinatsystemet og tegne en linje mellom punktene hvis de vil. Når elevene tror at de har funnet riktig funksjonsuttrykk, skriver de det inn i svarfeltet. Kikora tegner da grafen til elevenes funksjonsuttrykk i koordinatsystemet og forteller om det er riktig. Etter at alle elevene har løst noen oppgaver, skal de reflektere individuelt over følgende spørsmål: Hvor mange x-verdier må dere ha for å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon? Hvilke x-verdier er «lure» å spørre Kikora om og hvorfor? Hvordan kan dere finne funksjonsuttrykket raskest og enklest? Deretter oppsummerer klassen aktiviteten og refleksjonsspørsmålene. Læreren løfter fram effektive strategier for å finne funksjonsuttrykkene. Kommentarer til læreren Funksjonene i oppgaverekken er tilfeldige. Det betyr at elevene kan jobbe seg gjennom hele opplegget flere ganger med nye funksjonsuttrykk. I tillegg medfører det at elevgruppene ikke nødvendigvis har de samme oppgavene. Vanskelighetsgraden øker utover i oppgaverekken. Hvis elevene trykker på Oppdater i Grafikkfeltet, får de en ny funksjon med samme vanskelighetsgrad. På denne måten kan elevene arbeide over lengre tid på samme nivå. Ved å la elevene jobbe sammen på én PC må de samarbeide og diskutere. Finn funksjonsuttrykket 2 Elevene arbeider i par eller i små grupper i Kikora. Opplegget består av to oppgaverekker og en oppsummeringsoppgave. Første rekke består av oppgaver hvor elevene skal finne funksjonsuttrykket til en funksjon som går gjennom to gitte punkter, med svaralternativer. Andre rekke inneholder oppgaver hvor de skal finne en funksjon som tilfredsstiller ulike krav. Siste oppgave består av et sett med avkryssingsoppgaver som oppsummerer temaet. Til slutt oppsummerer klassen aktiviteten ved at elevene presenterer hvordan de tenkte for å løse utvalgte oppgaver. Kommentarer til læreren Det er viktig at elevene vet hva det betyr at grafen til en funksjon går oppover eller nedover før de starter med oppgavene. Det er ikke alle elever som vet at retningen til en lineær graf er bestemt av hva som skjer når x øker (oppover hvis y øker når x øker og nedover hvis y minker når x øker). Elevene kan zoome inn og ut og flytte på Grafikkfeltet dersom de ikke er fornøyde med utsnittet som er gitt. I noen av oppgavene skal elevene skrive inn funksjonsuttrykket i en tekstboks. Dersom de skriver feil uttrykk og ønsker å endre deler av det, trykker de i tekstboksen og bruker piltastene for å flytte markøren. Det finnes mange måter å løse disse oppgavene på. Når elevene arbeider sammen, må de forklare hva de tenker og argumentere for hvorfor de mener noe. Sammen kommer de fram til gode, varierte strategier. Læreren bør se og høre på elevenes arbeid og samtaler underveis, og gjerne notere slik at hun har et godt grunnlag for å velge ut oppgavene til oppsummeringen. Det er ikke nødvendig at alle elever har løst alle oppgavene før oppsummeringen starter. I oppgavene i første oppgaverekke har elevene mulighet til å vise linjen dersom de ikke klarer å se for seg hvordan linjen ser ut, når de bare ser punktene. Læreren bør utfordre elevene til å prøve uten å vise linjen først slik at de får trening i å visualisere lineære funksjoner. Oppgavene hvor elevene skal finne funksjoner som står normalt på en gitt funksjon, er beregnet på elever som blir raskt ferdige og/eller trenger ekstra utfordringer.
Digitale hjelpemidler gjør det mulig å starte med temaet «Funksjoner» på en utforskende måte. Opplegget starter med at elevene skriver inn ti funksjoner i GeoGebra. Elevene skal så finne sammenhenger mellom funksjonene ved å studere innholdet i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. GeoGebra gjør det enkelt å sammenligne mange funksjoner i løpet av kort tid, noe som gjør det lettere for elevene å observere og analysere funksjonene. Anbefalte andre opplegg Rette linjer – et spill for to (Ungdomstrinn/VGS) Aktivitet 1 Elevene får utdelt hvert sitt elevark. Det er en fordel om kopien er tosidig. De skriver inn alle funksjonene i Skrivefeltet og gir hver funksjon ulik farge. Deretter gjør de alle funksjonene usynlige ved å trykke på sirkelen foran funksjonsnavnet i Algebrafeltet. Kommentar til læreren Elevene trenger ingen forkunnskaper i GeoGebra for å gjennomføre dette opplegget, men det kan være lurt om læreren viser hvordan de endrer farge på objekter og gjør objektene synlig eller usynlig dersom de aldri har brukt GeoGebra før. En funksjon er to variabler som endrer seg i takt, og derfor er det viktig at elevene blir vant til å skrive funksjonene med navn, likhetstegn og funksjonsuttrykk. Hvis elever skriver y= eller bare den høyre delen av utrykket, vil GeoGebra automatisk gi funksjonen et navn. Det kan bety at samme funksjon får ulikt navn hos ulike elever, noe som gjør det vanskeligere når elevene skal bruke funksjonsnavnene i Aktivitet 2. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene sammenligne bestemte funksjoner for å finne felles egenskaper. Elevene gjør de aktuelle funksjonene synlig, og så sammenligner de grafene og funksjonsuttrykkene. De noterer observasjonene sine i tabellen. Etter at alle elevene har svart på minst fire oppgaver, starter læreren en klassesamtale som legger vekt på sammenhengen mellom graf og funksjonsuttrykk. Det kan være lurt å skrive ned observasjonene til elevene på tavla. Uavhengig av om læreren bruker opplegget som innføring i lineære funksjoner eller som repetisjonsopplegg, må begrepene «stigningstall» og «konstantledd» være en del av oppsummeringen. Kommentar til læreren Ved bare å vise enkelte av funksjonene i Grafikkfeltet samtidig, kan elevene lettere fokusere på å finne felles egenskaper. For eksempel at funksjonene er parallelle eller at funksjonene krysser y-aksen i samme punkt. Ved å se på representasjonene graf og funksjonsuttrykk, vil elevene komme fram til at «tallet foran x» (stigningstallet) og «tallet som står alene» (konstantleddet) har betydning for hvordan funksjonen ser ut. Mulige elevsvar i tabellen: Linjene er parallelle. Alle funksjonene starter med 2x. Linjene er parallelle og går nedover. Grafene er parallelle og går oppover. Alle grafer krysser hverandre på samme sted på y-aksen. Alle grafer har samme skjæringspunkt på y-aksen. Det siste tallet er lik. Det er viktig at klassesamtalen tar utgangspunkt i elevenes observasjoner. Læreren må være oppmerksom på at mange elever ikke ser at det er tallet foran x og ikke «2x» som avgjør hvordan grafen ser ut. For noen elever kan det også være uklart hva som menes med nedover og oppover. Målet med klassesamtalen er at alle elever får en god forståelse av sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf. De skal vite at tallet foran x er stigningstallet som bestemmer hvor bratt og i hvilken retning grafen går og at konstantleddet viser hvor grafen skjærer y-aksen. De tomme rutene kan brukes til å differensiere. Her kan læreren gi elever som blir fort ferdig oppgaver som gir dem passende utfordringer. For eksempel: Velg i(x) i GeoGebra og finn to nye funksjoner som er parallelle til i(x). Tegn tre funksjoner som krysser hverandre på den negative delen av y-aksen. Tegn tre funksjoner som går gjennom origo. Aktivitet 3 Denne aktiviteten gjennomfører elevene og læreren i felles klasse. Alle skriver funksjonen s(x) = ax + b inn i Skrivefeltet og svarer bekreftende på å lage glidere. Vis Navn og verdi på gliderne dersom GeoGebra ikke gjør det automatisk. Skyv gliderne slik at de har en positiv verdi a ≠ 1 og b ≠ 1. Nå kan læreren spille spørsmål til elevene. Hva må jeg gjøre for at grafen blir brattere? grafen går nedover? grafen krysser y-aksen ved 4? grafen krysser y-aksen på den negative siden? grafen går gjennom nullpunktet? grafen krysser y-aksen ved 2,5 og går bratt oppover? grafen blir vannrett? ….. Kommentar til læreren Aktiviteten viser om elevene har forstått begrepene «stigningstall» og «konstantledd». Legg spesielt vekt på funksjoner som går gjennom origo og funksjoner med stigningstall 0. Slike funksjoner bryter mønsteret til det vanlige uttrykket for lineære funksjoner, og det er ikke alle elever som er klar over at uttrykk som f(x) = 3 og g(x) = 4x er spesialtilfeller av lineære funksjoner. I neste time kan elevene teste sin forståelse av lineære funksjoner med opplegget Finn funksjonsuttrykket 1 og 2. GeoGebra-hjelp Synlige og usynlige objekter Blå sirkler viser at objektet (her: funksjonen) er synlig og gjennomsiktige sirkler viser at objektet er usynlig. Endre egenskapene til et objekt Trykk på objektet som du vil endre egenskapene til. Velg farge (her: Rød), tykkelse og tekststil (her: Navn og verdi). Flytt funksjonsuttrykket fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet med «dra og slipp». Skriv inn f(x)= a*x+b med verktøyet Tekst. Lag glidere Skriv inn f(x)=a*x+b i Skrivefeltet. Svar «Lag glidere» for a og b. Endre egenskapene til gliderne ved å høyreklikke og velge «Egenskaper».
Vis barna fem egg og tell høyt sammen. Legg to egg i den røde skålen, mens du sier høyt hva du gjør. Deretter legger du de tre andre eggene i den grønne skålen. Spør barna hvor mange egg det er i de to skålene til sammen. Tell eggene igjen sammen med barna, slik at de ser at det fortsatt er fem egg totalt. Still spørsmål som: Hva er forskjellen på innholdet i de to skålene? Hvordan ser dere det? Er det like mange egg i hver skål? Hvordan vet dere det? Hvordan kan vi undersøke det? Hva betyr det at det er like mange? Eller at det er én mer? Hvordan kan vi vise det med fingrene? Be barna lukke øynene. Du finner nå frem ei høne som legger egg i skålene. Høna legger tre egg i den røde skålen og to egg i den grønne skålen. Legg et ark eller en duk over skålene slik at barna ikke ser hvordan høna fordelte eggene. Fortell barna at høna har fordelt de fem eggene på de to skålene, og at det nå er ett egg mer i den røde skålen enn i den grønne skålen. Spør barna hvor mange egg de tror det er i den røde skålen, og hvorfor de tror det. Gi dem god tid til å tenke seg om, snakke med hverandre og til å fortelle og forklare hva de tror. Oppmuntre barna til å telle og vise på fingrene. Når barna har resonnert seg fram til en løsning, kan de se oppi skålene. Trekk skålene bort. La høna legge egg på nytt, men nå legger den ett egg i den grønne skålen og fire egg i den røde skålen. Fortell barna at høna har fordelt de fem eggene på de to skålene på en annen måte enn i sted, og at det nå er tre flere egg i den røde skålen enn i den grønne skålen. Spør barna hvor mange egg de tror det er i den røde skålen nå, og hvorfor de tror det. Gi dem god tid til å tenke seg om, snakke med hverandre og til å fortelle og forklare hva de tror. Når barna har resonnert seg fram til en løsning, lar du dem se oppi skålene.Fortsett med flere kombinasjoner, og la gjerne barna lage oppgaver til hverandre. Når det virker som at barna synes det er for enkelt med fem egg, kan høna legge flere egg eventuelt i flere skåler.
Fortell barna følgende, mens du viser fram illustrasjon 1: Det er påske og aktivitetsdag på gården. Et hardt, rundt egg, en trippende høne, en spretten hare, et ullete lam og en trøtt larve bestemmer seg for å ha aktivitetsdag. De skal utføre følgende konkurranser. Først skal de svømme om kapp, så skal de løpe om kapp, så skal de ha høydehopp og til slutt lengdehopp. Dere kan gjerne utføre de forskjellige aktivitetene sammen med barna mens dere leser. Da får barna kroppslige erfaringer med hva som skal til for å utføre de ulike øvelsene som et grunnlag for videre resonnering og samtale. Still barna spørsmål som: Hvem av dyra og egget tror de vinner de forskjellige aktivitetene? Hvorfor? Hva tror de kommer til å skje på aktivitetsdagen? Fortell videre: Neste dag bestemmer de seg for å ha enda en aktivitetsdag. De vil gjøre de samme øvelsene som i går. Først vil de svømme om kapp, så skal de løpe om kapp, så skal de ha høydehopp og til slutt lengdehopp. Men noe har skjedd med larven. Den har sovnet. “Når larven våkner kan vi ha en ny aktivitetsdag!” sa haren. De andre er enige. De venter til larven våkner. Vis fram illustrasjon 2 mens du forteller videre: Noen dager senere våkner larven endelig og kryper ut av soveposen sin. Han ser ganske så annerledes ut! “Nå kan vi ha aktivitetsdag”, jubler haren. De gjennomfører alle øvelsene en gang til. Først svømmer de om kapp, så løper de om kapp, så har de høydehopp og til slutt lengdehopp. Still spørsmål som: Hvem tror du vinner de ulike aktivitetene denne gangen? Har du endret mening nå som larven har forandret seg? Hvorfor tror du det er slik? Rammeplanmål: Gjennom arbeid med antall, rom og form skal barnehagen bidra til at barna undersøker og får erfaring med løsning av matematiske problemer og opplever matematikkglede. Personalet skal stimulere og støtte barnas evne og utholdenhet i problemløsing.
Lag et påskeegg: Tegn av eller skriv ut påskeegget, ett til hvert barn. Klipp langs strekene slik at det blir ni brikker. Gi hvert barn et sett med brikker og oppmuntre dem til å sette dem sammen slik at det blir et påskeegg. Brikkene skal ligge plant og berøre hverandre, men kan ikke overlappe hverandre. For å gjøre aktiviteten noe enklere kan de yngste barna få en utskrift av det originale påskeegget som ikke er klippet opp, slik at de kan legge sine former oppå malen. Da må de finne lik form og rotere denne riktig vei, men slipper å finne ut hvordan de skal sette egget sammen. Eldre barn kan sette påskeegget sammen ved kun å se på originalen, eller ved å finne løsningen selv. Barna kan gjerne også lage andre figurer av brikkene, og de trenger heller ikke bruke alle ni hver gang. Bruk begreper som rotere, vri, snu, vende, hjørne, ved siden av, over, under, inntil, rett og rund sammen med barna. Still spørsmål som: Er alle brikkene forskjellige? Hvordan kan vi finne ut det? Hva skjer hvis du putter den brikken øverst/nederst/lengre til høyre? Hvordan var det lurt å begynne? Forklar/vis meg hvordan du gjorde det. Hvilke brikker har du prøvd? Finnes det flere måter å sette sammen brikkene på slik at det blir et egg? Lag en påskefugl: Etter at barna har laget påskeegg og lekt med brikkene en stund, kan du vise barna bilder av påskefuglene (vedlegg 2). Her bruker barna de samme brikkene som i påskeegget, men må sette dem sammen på andre måter. Oppmuntre barna til å lage ulike påskefugler med brikkene sine. De kan bli inspirert av påskefuglene på bildet, eller lage sine helt egne. Bestem om dere vil lime påskefuglene på et vindu, eller et ark. Barna kan også tegne, male eller pynte påskefuglene sine.
Aktivitet 1 Figur 1: Stolpediagram som viser narkotikadødsfall i perioden 1994-2001 Opplegget starter i hel klasse. Læreren viser fram figur 1 (se PowerPoint-presentasjon) på en Whiteboard slik at det er mulig å tegne på figuren. I en klassesamtale skal elevene beskrive hva de ser og hva de tror kommer til å skje. Mange elever vil tro at antallet narkotikadødsfall øker også i fremtiden. Kommentarer til læreren Elevene kan tegne inn linjer som viser hvordan de tror utviklingen blir. Læreren bør oppfordre elevene til å være konkrete når de forklarer hvordan de tror linjene skal se ut. For eksempel at linja skal ligge over hver søyle, at den skal ligge midt i mellom alle verdiene eller at den skal gå fra laveste til høyeste verdi. Be gjerne elevene om å anslå et antall for 2012 (eller et annet år som har vært, slik at det er mulig å sjekke det faktiske antallet). Etter klassesamtalen, kan et tavlebilde se ut som figur 2. Erfaring viser at mange elever tenker slik som det grønne eksempelet, nemlig å lage en slags gjennomsnittslinje. Mulige elevkommentarer til de forskjellige linjene kan være: Denne linja ligger for høyt. (rød linje) I 1994 er det over 120 dødsfall. Denne linja starter for lavt. (svart linje) Denne linja kan være ganske riktig. Det har noen verdier over og noen under. (grønn linje) Det må bli flere enn dette. Linja ligger under hele veien. (blå linje) Figur 2: Forslag til regresjonslinjer Aktivitet 2 Elevene kan bruke GeoGebra til å finne linja som passer best til verdiene. Læreren må tilpasse veiledningen til hvor mye elevene kan fra før. Vi anbefaler at elevene arbeider i smågrupper slik at de kan diskutere og hjelpe hverandre. Elevene skal først tegne et stolpediagram, og deretter finne linja som passer best til verdiene. Vi har valgt å lage to utgaver av elevarket, ett for GeoGebra 5 og ett for GeoGebra 6, siden fremgangsmåten for å tegne stolpediagram er forskjellig. Kommentarer til læreren Mange elever vil skrive inn årstallene i regnearket. Når de så overfører stolpediagrammet til Grafikkfeltet, kommer stolpediagrammet langt unna origo. For å få stolpediagrammet nærmere origo, kan de velge år 1994 som år 4, 1995 som år 5 og så videre. De kan også velge 1994 som år 0, men da blir det litt vanskeligere å bruke regning for å finne rett årstall. Aktivitet 3 Etter at elevene har funnet ei linje som passer til verdiene, fortsetter opplegget i hel klasse. Målet er å sammenligne linja som GeoGebra har tegnet med forslagene som klassen kom fram til, samt å drøfte hva linja forteller oss om antall narkotikadødsfall før og etter de oppgitte årstallene. Hvordan stemmer resultatet fra beregningene i året 2010 og 2016? Læreren viser elevene nyere statistikk over antall narkotikadødsfall fra SSB (se figur 3). Målet er å diskutere forskjellen mellom det teoretiske svaret og virkeligheten. Elevene har fått et riktig matematisk svar, men svaret stemmer ikke overens med virkeligheten. Figur 3: Narkotikadødsfall i perioden 1994-2016 Kommentarer til læreren Relevante spørsmål i diskusjonen kan være: Hva betyr stigningstallet til funksjonen? Hvor mange narkotikadødsfall vil det bli i 2010 eller i 2016? Hvor mange dødsfall var det i 1980 etter denne modellen? Hva skjer hvis elevene utelater verdien for 1994 og 1995? Blir svaret det samme? Elevene kan finne ut hvor mange dødsfall det blir i 2010 ved å skrive x = 20 (hvis 1990 er år 0) og finne skjæringspunktet med grafen. Det klarer de fleste elevene. Men svaret stemmer bare hvis utviklingen fortsetter på samme måte, og det gjør den ikke i dette tilfellet. 1980 gir et negativt svar. Hva betyr det? Resultatet viser at elevene må se på gyldighetsområdet til modellen. Vi kan ikke si noe om antallet før den første målingen. Elevene kan også diskutere årsaker til nedgangen og deretter relativt stabilt antall narkotikadødsfall. Kan det være innsats mot narkotika på skoler, flere politifolk ute på patrulje, sykepleiere ute i byen, nye sprøyterom eller strengere straff ved salg? Veien videre Elevene kan utforske statistikk fra mange forskjellige fagfelt på denne måten. Eksempler er forbruk pr husholdning, folkeutvikling i kommunen de bor i eller Norges utslipp av klimagasser. Elevene kan finne relevant data på nettsidene til Statistisk sentralbyrå (www.ssb.no).
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
