Aktivitet 1 Hvis du velger å bruke figurene uten navn skal elevene først sette navn på figurene. Elvene skal notere egenskaper som de mener er typiske for figuren. Vanlige svar kan være: Rektangel: to og to sider er parallelle alle vinkler er 90° diagonalene er like lange diagonalene halverer hverandre Kvadrat alle fire sider er like lange alle vinkler er 90° diagonalene er like lange Parallellogram … Rombe … Trapes … Drage To og to sider er like lange Diagonalene står normalt på hverandre I samtalen etterpå kan læreren oppfordre elevene til å se om alle egenskapene er nødvendig for å beskrive en av firkantene ovenfor. Er det noen egenskaper som er felles for flere firkanter? Kommentar til læreren For veldig mange elever er rektangler og kvadrater sidestilte figurer. Begge er firkanter med 4 rette vinkler. Det er ikke innlysende at kvadrater er spesialtilfeller av rektangler. Et tips kan være at man spør elevene om to og to sider er parallelle i et kvadrat. Svaret er ofte ja, …. men i et rektangel er ikke sidene like lange. Det tar tid til å få elevene til å forstå at man bare spør om sidene er parallelle og ikke spør etter lengden på sidene. Aktivitet 2 Alle rektangler er firkanter, men ikke alle firkanter er rektangler. Alle kvadrater er rektangler, men ikke alle rektangler er kvadrater Start opplegget med en fellessamtale om betydningen av setningene. Bruk god tid med elevene slik at de forstår innholdet. I det følgende skal de legge figurene i rekkefølge slik at de kan lage tilsvarende setninger bare ved å bytte ut navnet til firkantene. Parallellogram Rektangel To og to sider er like To og to sider er like lange To og to sider er parallelle To og to sider er parallelle Diagonalene er like lange Alle vinkler er 90° Rektangelet har alle egenskaper til parallellogrammet. Derfor er alle rektangler parallellogram men ikke alle parallellogram er rektangler. La elevene sortere figurene. Forslag for sortering: Kontroller om elevene har forstått det ved å spørre setninger som: Hvorfor vet du at: Alle kvadrater er trapeser? Alle romber er parallellogram? Alle kvadrater er rektangler? … Avslutt med å la elevene lage sin egen oversikt med figurer og sammenhengen mellom dem. Kommentar til læreren I et første forsøk plasserer elevene gjerne den uregelmessige firkanten, parallellogrammet, rektangelet og kvadratet i riktig rekkefølge. Trapeset er de mer ukjent med, men etter litt samtale om egenskaper går det greit. Mange elever vil slite med å plassere romben, da figuren ikke kan settes mellom to figurer. Elevene må da lage en veiskille som samles igjen ved kvadratet Hvis man gjennomfører denne aktiviteten på barnetrinnet kan det være lurt å ta bort dragen i første omgang. Det er figuren som elevene er minst vant med. Forslag med drage: Hvis læreren vil legge vekt på implikasjon og direkte bevis, kan det brukes eksempler som: Vis at et kvadrat er et parallellogram. Vis at et kvadrat er et trapes. Vis at et parallellogram er et trapes.
Første punkt: Vi setter poteter Tegn ei linje på en plakat eller lignende. Marker et startpunkt på linja når dere setter potetene i mai. Etterhvert som dere gjør observasjoner av potetplantens vekst, vil dere få behov for å markere dette på linja. Det vil være naturlig å sette sluttpunktet når dere tar opp potetene. Bildet under viser hvordan barnehageavdelingen Gresshoppa har tegnet jord langs sitt linjestykke for å gjøre tydelig for barna hvilke observasjoner som er gjort over jorda, og hvilke som er gjort under. Still spørsmål som: Hva synes dere skal bli neste punkt på tidslinja? Hvor lenge tror dere vi må vente før potetene spirer? Hva skjer med potetene nedi jorda? Andre punkt: Det spirer Lag et punkt på linja når potetplantene spirer. Det varierer mellom de ulike potetsortene hvor lang tid det går før dette skjer. Mål hvor høy spiren er. Dere kan bruke en tråd som dere klipper av i samme høyde og henger opp på tidslinjeplakaten, eller et målebånd hvor dere leser av antall centimeter. Tredje punkt: Potetene skal hyppes ved ca. 10 cm høyde Når potetriset er omtrent 10 – 15 cm høyt skal potetplantene hyppes. Å hyppe er å dra jord opp rundt plantene slik at de blir stående i en liten haug med jord. Tegn et punkt på tidslinjen når dette skjer. Mål potetriset med tråd eller målebånd og tegn opp hvor høyt riset er på plakaten. Fotokreditt potetbilder: Morten Dreier Fjerde punkt: Måle potetplanten underveis Mål høyden til potetriset i tiden mellom hypping og opptaking av potetene. Marker observasjonene på tidslinjen. Heng på bilder og barnas egne tegninger om dere har det. Femte punkt: Ta en potet. Sett sluttpunkt på linjestykket når potetene blir tatt opp av jorda. Nå har den ene poteten som ble satt i vår blitt til mange poteter. Potetene kan bli til mange gode måltider – lykke til! Fotokreditt: Elisabeth Junye Johansen Dreier Forslag til samarbeid om overgang: Dere kan plante poteter og begynne arbeidet med tidslinjen sammen med de eldste barna i barnehagen i mai. Etter sommerferien kan barna fortsette arbeidet med tidslinja, men da som elever på 1.trinn. Aktiviteten vil dermed bidra til at barna opplever sammenheng mellom barnehage og skole. Veksttiden for potet varierer fra 3 måneder for tidlig potet, til ca. 5 måneder for de seneste sortene. I Flora kommune gjennomfører alle barnehagene og skolene i kommunen et potetprosjekt. Lærerne i barnehagene og skolene har kontakt underveis for hvordan skolen best mulig kan bygge på barnas felles poteterfaringer. Gresshoppa barnehageavdeling løste dette med å gå på besøk til nærskolen før sommerferien der de overrakk tidslinjen de hadde påbegynt til rektor. Slik kunne rektor henge opp tidslinjen i 1.trinnsarealet til skolestart. Den nye læreren tok så med seg barna på tur til barnehagens parsell for å måle videre og etterhvert ta opp potetene sammen med barna. Avgjørelser om samarbeid må gjøres lokalt, avhengig av rammefaktorer. I større kommuner der barna blir spredt til mange ulike skoler, kan kanskje hvert barn ha sin egen tidslinje. Tidslinjen kan også lages digitalt og sendes ut til aktuelle skoler.
Ingen beskrivelse
Presenter oppgaven som en fortelling (muntlig) for elevene. La gruppene diskutere og komme med forslag i plenum om hvordan de vil starte arbeidet med problemet. Når elevene starter arbeidet med problemet, får de utdelt oppgaven skriftlig i tillegg til plastbrikker de kan bruke om de ønsker det. Elevene får i oppgave å finne ut hvor mange småkaker det var i kakeboksen til bestemor og bestefar før barnebarna begynte å forsyne seg. Elevene arbeider i grupper og kommer med forslag, som også skal uttrykkes skriftlig. Læreren observerer arbeidet og velger rekkefølgen på presentasjonene. Under oppsummeringen presenterer gruppene sine forslag, og læreren noterer på tavla. Elevene beskriver og begrunner strategiene de har brukt. De som har arbeidet baklengs, bør kunne vise, forklare og argumentere for hvordan de fant antall kaker, og hvorfor de brukte motsatte regnearter. Diskusjon og oppsummering må fokusere på strategien i prosessmålet og det faglige målet for timen. Utfordringen i oppgaven vil i hovedsak være knyttet forståelsen av brøk. Helheten varierer, Nicolai tar en femdel av alle kakene i boksen, mens når Mattias kommer er det `(4)/(5)` som utgjør det hele. Mattias tar en firedel av fire femdeler `(1)/(4) · (4)/(5) = (4)/(20) = (1)/(5)`. Elevene vil erfare at `(1)/(4)` er like mange kaker som `(1)/(5)`, fordi helheten varierer. Noen elever vil også ha problemer med å forstå at de må bruke motsatte regneoperasjoner (legge til antall kaker) når de arbeider baklengs. Dersom elevene har arbeidet lite med brøkbegrepet, kan det være lurt å arbeide med en lignende oppgave med færre barnebarn. Småkaker i kakeboksen Tre barnebarn var på overnattingsbesøk hos bestefar og bestemor. Der var det en boks med mange kaker. Barnebarna skulle få kaker dagen etter. Mattias var eldst og skulle få `(1)/(4)` av alle kakene. Nicolai var nest eldst og skulle få `(1)/(5)` av alle kakene. Lille Lisa skulle få to kaker. Da Lisa hadde lagt seg, kunne ikke Nicolai holde seg lenger. Han fant kakeboksen og tok `(1)/(5)` av kakene. Før Mattias skulle legge seg tok han `(1)/(4)` av kakene som da var i boksen. Lille Lisa var tidlig oppe og tok sine to kaker. Da bestemor kom, så hun at det bare var 22 kaker igjen. Hvor mange kaker hadde det vært i boksen? Matematiske sammenhenger Prosessmålet for denne aktiviteten er å arbeide baklengs med problemløsningsstrategier. Elevene blir presentert for et problem, der utgangspunktet er ukjent, så i denne aldersgruppen vil det være naturlig å fremheve strategien å tenke baklengs. De fleste starter med den informasjonen som er kjent, og den står i slutten av teksten. Elevene må analysere konteksten, reflektere over hva som har skjedd undervegs og hvilken regneart som beskriver hendelsen. De må tolke det barna gjør inn i en matematisk sammenheng. Hver gang småkaker forsvinner fra kakeboksen beskrives det ved hjelp av subtraksjon, og når de skal gå bakover i tid og beskrive den motsatte hendelsen må de bruke addisjon. Da bestemor kom, så hun at det bare var 22 kaker igjen. Lisa var den siste som tok kaker ut av boksen, og hun tok to kaker. Før Lisa tok kakene, var det 22 kaker (24 – 2 = 22 og 22 + 2 = 24) Det matematiske målet med aktiviteten er å forstå brøk som del av hel. Elevene må vite at brøkdelene av samme helhet må være like store. De får erfaring med at helheten kan variere, og at to ulike brøker kan utgjøre samme mengde eller antall når helhetene de regnes av forskjellige. Elevene er ofte flinke til å regne brøkdelen av en hel (mengde), men får problemer når de skal gå motsatt vei og finne helheten. Før Mattias skulle legge seg tok han `(1)/(4)` av kakene som da var i boksen. Etter at Mattias hadde tatt `(1)/(4)` av kakene, var det 24 kaker igjen. Fordi Mattias hadde tatt en firedel, må de 24 kakene være resten av kakene, det vil si tre firedeler. Hvis 24 er tre firedeler, må en firedel være åtte kaker (24 : 3 = 8). Mange elever regner i her en firedel av 24, og får til svar at Mattias har tatt 6 kaker. Ved å bruke Gjett og sjekk får elevene kontinuerlig tilbakemelding om løsningen de kommer fram til er riktig (ender de opp med 22 kaker?). Elever som tenker baklengs, bør oppfordres til å kontrollere løsningen sin ved å regne motsatt veg.Noen elever velger strategien Gjett og sjekk. De starter med et mer eller mindre tilfeldig antall småkaker, og prøver seg fram med de opplysningene de får. Strategien fungerer, men kan være tidkrevende på denne type problem. Refleksjonsspørsmål Hvordan vil dere løse oppgaven? Hva vil dere starte med? Hvordan vil dere forklare framgangsmåten deres for de andre i klassen? Kan dere vise løsningen ved hjelp av andre representasjoner (tegninger/konkreter, tabeller, symboler). Hvilken regneart bruker dere og hvorfor? Passer den til konteksten? Hvilket regnestykke beskriver situasjonen? Hva forteller regnestykket? Hva har dere funnet ut? Fikk de tre barnebarna det antall kaker bestemor hadde planlagt at de skulle få? Begrunn. Forventede elevresponser Svarene avhenger av hvilken strategi elevene velger (se også Observasjonsskjema). Elever som velger strategien Gjett og sjekk, starter med helheten (som de ikke vet). Tar utgangspunkt i et mer eller mindre tilfeldig tall. Sjekker om det blir 22 til slutt. Med eller uten plastbrikker. Tar utgangspunkt i 5 - gangen, fordi Nicolai skal ha en femdel. Tar utgangspunkt i 4 ‧ 5 (fordi det er snakk om firedeler og femdeler). Starter med å tegne et tomt rutenett tar deler av det. Tar først en femdel, deretter en firedel av det som er igjen. Ser at 12 av 20 ruter er igjen før Lisa har fått to kaker. Kan ikke være 20 kaker, da ville det vært bare 10 igjen. Utvider brøken slik at det blir 40 kaker totalt (`(12)/(20)` = `(24)/(40)`), da stemmer det med 22 kaker til slutt (24 – 2 = 22). Bruker barmodell med utgangspunkt i det som er i boksen: Elever som velger strategien Tenke baklengs, starter med at de vet det er 22 kaker til slutt. Legger først til 2 og får 24. Regner videre: (24 : 3) ‧ 4 og får 32. Bygger på med (32 : 4) ‧ 5 og får 40. Noen vil velge samme strategi som over, men bruke plastbrikker eller med støtte i tegning. Barmodell med utgangspunkt i det som er igjen til slutt: Noen elever vil tenke at helheten er 24 før Lisa har tatt sine kaker og starter med å regne en firedel av det. (24 : 4) + 24 → (30 : 5) + 30 → 36 Som over, men vet bruk av plastbrikker. Andre tar utgangspunkt i 22. Tar `(1)/(4)` av 22 og får 5,5. Legger til 22 og får 27,5. Tar `(1)/(5)` av 27,5 og får 5,5. Legger til 22,5 og får 28. Noen legger til Lisa sine og får 30. Som over, men med plastbrikker. Vil få problemer allerede fra start, med halve brikker. Kritiske momenter Å forstå at en brøkdel avhenger av helheten brøkdelen regnes av, og at helheten kan variere. Noen elever vil regne `(1)/(4)`av 22 eller 24 kaker i stedet for å tenke at de kakene utgjør `(3)/(4)` av helheten før Mattias tok sine kaker. For noen elever vil det være vanskelig å forstå at både `(1)/(5)` og `(1)/(4)` kan utgjøre åtte kaker. Å forstå at regnearten blir motsatt når de arbeider baklengs. Antall kaker som ble tatt (subtraksjon), må legges til nå de arbeider baklengs (addisjon). Addisjon og subtraksjon er motsatte regneoperasjoner. I oppsummeringen bør læreren løfte fram både matematikken som ligger til grunn for løsningen og strategien Tenke baklengs, som inngår i målet for timen. I matematiske diskusjoner med elever skal læreren prøve å fremme elevenes resonnering og forståelse knyttet til det faglige innholdet som er definert som hensikt for aktiviteten.
Presenter oppgaven muntlig for elevene. Elevene skal finne ut hvor mange skjerf skredderen kan sy av seks meter stoff, når han trenger en halv meter stoff til hvert skjerf. Elever arbeider to og to og kommer med forslag, som også skal utrykkes skriftlig. I en felles diskusjon noterer læreren forslagene på tavla. Fokuser på regneoperasjon og hvilket regnestykker som gir svar på problemstillingene. Utfordre elevene til å argumentere for sine svar. Presenter også de to neste oppgavene muntlig for elevene. Skredderen skal sy andre typer skjerf, først noen som er kortere enn det første, deretter noen som er lengre enn de første. Elevene skal finne antall skjerf, og om det blir færre eller flere enn i første oppgave. Utfordre elevene på om de kan finne løsninger uten å starte helt på nytt igjen, og begrunne disse. Elevene arbeider fortsatt to og to og utarbeider forslag på store ark/plakater slik at de andre elevene i klassen får del i hvordan de har tenkt. Elevene forklarer og begrunner. Oppfordre elevene til å bruke ulike representasjoner. Læreren observerer arbeidet og velger rekkefølgen på presentasjonene (velger om lærer skal oppsummere eller om elevene skal presentere). Diskusjon og oppsummering må fokusere på det faglige målet for timen. Skredder og skjerf En skredder har seks meter stoff og skal sy skjerf. a) Til hvert skjerf trenger han `(1)/(2)`meter stoff. Hvor mange skjerf kan han sy? b) Skredderen skal sy en annen type skjerf som er slik at det trengs `(1)/(4)` meter stoff for hvert skjerf? Blir det flere eller færre skjerf enn i sted? Kan du finne ut hvor mange skjerf det blir uten å regne på nytt? Forklar og begrunn. c) For en tredje type skjerf trengs det `(3)/(4)`meter stoff til hvert skjerf. Blir det flere eller færre skjerf enn i b), enn i a)? Kan man finne ut hvor mange skjerf det blir uten å regne (helt) på nytt? Forklar og begrunn. Ekstra: Hva med regnestykket 10 : `(5)/(4)` ? Hvor mye blir det og hvordan vet du det? Hva slags situasjon/regnefortelling kunne passer til det regnestykket? (Hvis elevene ikke svarer kan lærer tipse om skredder og skjerf. Matematiske sammenhenger I denne aktiviteten får elevene erfaring med målingsdivisjon. Spørsmålet er knyttet til antall skjerf skredderen kan sy. Det er ikke opplagt for elevene at de ut fra denne konteksten skal bruke divisjon. Mange elever knytter divisjon til en mengde de deler likt, med etterfølgende spørsmål: Hvor mye blir det på hver? (delingsdivisjon). I denne oppgaven er spørsmålet: Hvor mange skjerf kan skredderen sy? Mange elever vil tenke at skredderen får to skjerf på en meter. De finner løsningen, 12 skjerf, ved å multiplisere seks med to. Utfordre elevene til å reflektere rundt regnearten de velger og hva regnestykket forteller (Hva er det sekstallet representerer? Hva med totallet? Hvor er tallet `(1)/(2)`?) Se på ulike løsningsstrategier i divisjon og sammenheng mellom disse. Ha spesielt fokus på hva som skjer med svaret når divisor minsker/øker med en gitt faktor. For eksempel at `(1)/(4)` er halvparten av `(1)/(2)` og at tallet `(3)/(4)` er tre ganger større enn `(1)/(4)`. Diskuter motsatte regneoperasjoner og inverse tall (Hvorfor er det å dividere med en halv det samme som å multiplisere med to? Hvorfor fungerer huskeregelen mange lærer seg i divisjon med brøk: Snu den bakerste brøken og multipliser). Refleksjonsspørsmål Hvordan vil dere løse oppgaven? Hva vil skredderen gjøre med tøystykket på seks meter? Hvordan vil dere forklare framgangsmåten deres for de andre i klassen? Kan dere vise løsningen ved hjelp av andre representasjoner (tegninger/konkreter, tallinje, symboler). Hvilken regneart passer til konteksten? Hvilket regnestykke beskriver situasjonen? Hva forteller regnestykket? Hva har dere funnet ut? Hva hvis skredderen brukte tre meter per skjerf? Hvilket regnestykket ville passe til konteksten? (tre går to ganger opp i seks) Hva hvis han brukte en meter per skjerf? Regnestykke? (en går seks ganger opp i seks) Hva ble regnestykket da han trengte `(1)/(2)` meter per skjerf? Forklar og begrunn. (`(1)/(2)` går 12 ganger opp i seks) Forventet elevrespons Trenger `(1)/(2)` meter per skjerf Lager en tegning av seks meter stoff, deler alle i to og får tolv biter. Skriver: 2s = 1m, 4s = 2m, 6s = 3m,... 12s=6m. Benevningen meter kan forkortes til m, men vær oppmerksom når elevene bruker s for antall skjerf. Som variabel betyr s lengden på skjerfene, ikke antall skjerf. Trenger `(1)/(4)` meter per skjerf siden en firedel er halvparten av en halv, så da dobler vi bare 12 siden det var svaret på den forrige oppgave, og da blir det 24. De blir mindre og da blir det flere. Siden det er halvparten, så blir det dobbelt så mange. Fire skjerf, gir 4 i en meter. Og så tar vi 4 skjerf gange 6 som er 24 Prøver med tallinjer eller tabell (se sammenhenger) Kritiske momenter Konteksten handler om lik fordeling, altså divisjon. Med utgangspunkt i konkrete situasjoner oppdager vi at det er to typer problemer som svarer til divisjon, delingsdivisjon og målingsdivisjon. Delingsdivisjon er deling i mindre mengder, der vi skal finne hvor mye det er i hver mengde. Hvis tre barn skal dele seks sjokolader mellom seg, får de to hver. I målingsdivisjon derimot skal man finne antall delmengder, ikke størrelsen av hver enkelt. Vi har seks sjokolader, og hvert barn skal få to sjokolader. Hvor mange barn er det nok til? Ofte arbeides det i skolen mer med kontekster innen delingsdivisjon, og da kan det være utfordrende for elever å kjenne igjen en kontekst med målingsdivisjon. Kontekster med delingsdivisjon fungerer ofte dårlig med desimaltall eller brøk, men målingsdivisjon vil fortsatt fungere: Sjokoladene kan ikke deles på halve barn, men hvert barn kan godt få en halv sjokolade. Derfor er det viktig at elevene møter både delingsdivisjon og målingsdivisjon allerede mens de jobber med divisjon av heltall. Eksempel på delings- og målingsdivisjon i oppgaven Skredder og skjerf: Skredderen skal sy skjerf av seks meter tøy. Delingsdivisjon: Skredderen skal lage tre like lange skjerf. Hvor langt blir hvert skjerf? Svaret er to meter. Målingsdivisjon: Skredderen skal lage skjerf som er tre meter lange. Hvor mange skjerf? Svaret er også her to, men nå er det snakk om to skjerf. I matematiske diskusjoner med elevene skal læreren prøve å fremme elevenes resonnering og forståelse knyttet til det faglige innholdet som er definert som hensikt for aktiviteten.
Presenter oppgaven muntlig for elevene. Elevene skal finne ut hvem som får mest sjokoladekake, og hvor mye mer, når tre gutter skal dele ei sjokoladekake likt mellom seg, mens åtte jenter skal dele tre sjokoladekaker likt mellom seg. Elevene arbeider i grupper på tre og fire, og gruppene skal presentere løsningene skriftlig (plakater) og argumentere for at løsningen deres er korrekt. Observer på hvilken måte elevene samarbeider og hvordan hver enkelt bidrar i gruppearbeidet. Vær bevisst på hvordan du som lærer bidrar underveis i arbeidet. Fordeling av sjokoladekaker Elevene i en klasse er på skolekjøkkenet og baker sjokoladekaker. De tre guttene i klassen baker ei sjokoladekake, og de åtte jentene i klassen baker tre sjokoladekaker. Guttene deler sjokoladekaken likt mellom seg, og jentene deler sine tre sjokoladekaker likt mellom seg. Hvem får mest, ei jente eller en gutt? Hvor mye mer? Matematiske sammenhenger I denne aktiviteten arbeides det med brøk som svaret på en divisjon (kvotient). Brøken er et resultat av lik deling. Brøken `(3)/(4)` forteller hvor mye kake hver person får hvis vi deler 3 kaker likt mellom 4 personer. Hver gutt får `(1)/(3)`, mens hver jente får `(3)/(8)`. Dette er ikke opplagt for elevene, spesielt hvis de tidligere kun har erfaringer med brøk som en del av en hel. Før du møter elevene bør du tenke gjennom følgende problemstillinger slik at du er forberedt på å lede arbeidet fram mot det faglige målet. Bruk av konkreter? Hvordan tegne? Hvordan skrive dette med symboler? Hvordan er det lurt å tegne kakene? Vil ei rund eller rektangulær kake egne seg best til å dele og sammenligne? Hvordan dele opp kakene? Hvordan ser bitene ut? (Bitene må ha like store areal, men trenger ikke være av samme form) Hvordan er sammenhengen mellom antall kaker og gutter og mengden kake som hver gutt får (1 kake og 3 gutter osv.)? Tilsvarende for jentene. Hvordan sammenligne brøker? Utfordre elevene til å forklare hvordan de kan finne ut hvem som fikk mest ved å sammenligne brøker med like tellere eller like nevnere. Hvor mye mer? Undersøk likeverdige brøker og se på tellerne: Det er lett å sammenligne brøker med samme teller. I dette eksemplet skal`(1)/(3)` sammenlignes med `(3)/(8)`. Brøken`(1)/(3)` er likeverdig med brøken `(3)/(9)`. Når telleren er lik, er antall biter de samme, men størrelsen på bitene er forskjellige. Brøken `(3)/(8)` er større enn `(3)/(9)`, fordi åttendels-bitene er større enn en nidels-bitene ( `(1)/(8)` er større enn `(1)/(9)` ). Hver jente får `(1)/(8)` av en `(1)/(3)`kake mer enn hver gutt (`(1)/(8)` av den den tredelen av ei kake som er til overs). Hvor stor del av en kake er det? Hvordan uttrykke det som en brøk (del av kaken)? Behov for felles nevner? Kan en tegning være til hjelp? Konkretiseringsmateriell? `(1)/(3)` + `(1)/(3)` : 8 = `(8)/(24)` + `(1)/(24)` = `(9)/(24)` = `(3)/(8)` En annen måte å se det på er at jentene får `(1)/(8)`+`(1)/(8)`+`(1)/(8)` = `(3)/(8)`, og guttene får `(1)/(3)`. Deretter se på differensen mellom `(3)/(8)` og `(1)/(3)`. Se på sammenhengen mellom løsningsmetodene og ulike representasjoner (verbale, visuelle og symbolske). Kritiske momenter Hva med tegninger/delinger som ikke viser til lik deling? Viktig at elevene forklarer ideene sine og argumenterer for løsninger. Noen elever vil kanskje si at det er lik deling bare kaken er delt i tre deler. Spørsmålet "hvor mye mer" vil være utfordrende for elevene. (Observer hva elevene gjør mens de jobber i grupper). Forventede elevrespons Lager tegning, deler opp kakene i biter som er like store. Teller antall biter som hver elev får. Dersom kakene er delt i tre like biter, vil hver gutt få én bit. Hver jente får også én bit, men de får en bit til overs (tre kaker er ni biter). Jentene får en liten bit til, så de får to biter hver (en stor og en liten). Forklarer at hver gutt får `(1)/(3)` mens hver jente får `(1)/(3)`pluss 1 bit av en liten bit. Kanskje noen sier at hver jente får `(1)/(3)` pluss `(1)/(8)` av `(1)/(3)`. Uttrykker at hver gutt får `(1)/(3)` mens hver jente får tre `(1)/(8)`- biter, men ser ikke at de kan skrive det som `(3)/(8)`. Bruker proporsjonal resonnering (multiplikativ tenking). Sier for eksempel at hvis vi «jekker» opp antall jenter slik at de «får like mye som hver gutt» eller «like mange jenter på hver kake» så måtte det være 9 jenter. I matematiske diskusjoner med elever skal læreren prøve å fremme elevenes resonnering og forståelse knyttet til det faglige innholdet som er definert som hensikten med aktiviteten.
I denne aktiviteten skal elevene forstørre et puslespill. Elevene arbeider sammen i par og får utdelt en kopiorginal med puslebrikker. Elevene skal klippe ut bitene og sette dem sammen til en seilbåt. Bitene kan med fordel limes på et ark.Deretter skal elevene forstørre bitene, klippe de ut og sette de sammen til en ny seilbåt.Et alternativ er å arbeide med puslespillet Fly. Matematikken er den samme i de to aktivitetene. Oppgave 1 til elevene Klipp ut bitene som er tegnet på side to. Sett bitene sammen til en seilbåt. Dere kan gjerne lime bitene på et ark. Når bitene er satt sammen vil seilbåten se slik ut: Oppgave 2 til elevene Dere skal forstørre seilbåten. Sidenkanten som har lengde 4, skal få lengde 6. Forstørr alle de andre bitene på tilsvarende måte, og tegn de nye bitene på side tre. Klipp ut de nye bitene dere har laget og lag seilbåten. Dere kan gjerne lime bitene på et ark. Skriv ned det dere gjorde. Diskuter Er den nye seilbåten lik den opprinnelige? Forklar og begrunn. Dersom de ikke har samme form, hva kan årsaken være? Hvordan tenkte dere da dere lagde bitene til den nye seilbåten? Oppgave 3 til elevene Dere skal nå lage en ny seilbåt. Sidenkanten som har lengde 4, skal få lengde 8. Forstørr alle de andre bitene på tilsvarende måte, og tegn de på side fire. Klipp ut bitene og lag den nye seilbåten. Dere kan gjerne lime bitene på et ark. Skriv ned det dere gjorde. Diskuter Hvordan ser den nye seilbåten ut sammenlignet med de to forrige? Tenkte dere på samme måte som i oppgave 2, da dere lagde bitene til denne seilbåten? Forklar og begrunn. Kommentarer til opplegget Det er meningen at aktiviteten skal skape en diskusjon for å rydde eventuelle misoppfatninger av vegen. Dersom noen elever har en bestemt misoppfatning, vil aktiviteten bringe misoppfatningen fram i dagen. I denne aktiviteten møter elevene problemstillinger knyttet til begrepene forskjell og forhold. Selv om de fleste elever løser denne oppgaven uten å relatere det til brøk, vil oppgaven avsløre om elevene gjenkjenner den multiplikative sammenhengen. Elever som tenker additivt vil addere 2 til alle lengdene, i stedet for å multiplisere med `(3)/(2)`. De vil gjennom å lage bitene, klippe de ut og sette de sammen, erfare at den nye seilbåten får en annen form enn den opprinnelige. Denne tenkingen kan henge sammen med misoppfatningen om at størrelsen til en brøk vurderes ut fra differensen mellom teller og nevner, i stedet for å se på forholdet mellom teller og nevner. Multiplikativ tenking (i dette eksemplet en forstørring): Sidekanten som har lengde 4 skal få lengde 6. Oppgaven er å skal lage en forstørring av bitene. Ved å sammenligne de to sidekantene, ser vi at forholdet mellom de er `(6)/(4)` eller`(3)/(2)`. Alle sidekantene må multipliseres med `(3)/(2)`. I den den største trekanten har sidekanten lengde 6. I en forstørret utgave av denne trekanten blir tilsvarende lengde 6 ∙ `(3)/(2)` = 9 Den pedagogiske utfordringen her kan være at elever som ikke identifiserer den multiplikative sammenhengen, heller ikke ser noen annen løsning enn å addere to til alle mål. De vil se at den nye seilbåten ikke ligner på den de startet med. Noen elever tror at forstørring betyr å lage hver bit større, uten å ha skjønt den matematiske ideen knyttet til forstørring, nemlig at formen skal være den samme etter forstørringen. Målet må være at elevene forstår at dette ikke skjer ved å addere en fast størrelse til alle målene. Elevene må erfare og forstå at formen ikke blir den samme ved additiv tenking. Det å se at seilbåten som er forstørret ikke ligner på den opprinnelige, skaper en slik konfliktsituasjon og er viktig for videre læring. Forslag til utvidelse Læreren kan be elevene lage en ny seilbåt der sidekanten som er 4, skal få lengde 8. Mange elever vil trolig doble alle mål og få en seilbåt som er en korrekt forstørring av den opprinnelige seilbåten. Disse to aktivitetene til sammen vil være et godt utgangspunkt for diskusjon og refleksjon som retter fokus mot misoppfatningen, og gir elevene mulighet til å vurdere egen tenkning. Etter å ha skapt en kognitiv konflikt hos elevene, må elevene få støtte og veiledning slik at de kommer ut av konflikten. En løsningsfase, hvor diskusjoner og refleksjoner omkring det en har funnet ut, er helt sentralt.
Innledning I lærebøkene som blir brukt i den videregående opplæringen blir fullstendig kvadrat presentert på følgende måte. Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. (Sinus 1T) I de tilfelle vi kan faktorisere et uttrykk ved å bruke første eller andre kvadratsetning baklengs, har vi det vi kaller et fullstendig kvadrat (Matematikk 1T) Du skal lære Regelen for å bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere og addere Å bruke et fullstendig kvadrat til å finne største eller minste verdi av andregradsuttrykk (Sigma 1T) Alle beskrivelser for fullstendig kvadrat inneholder mange matematiske begreper. Men ingen av de tre bøkene gir en forklaring for navnet «fullstendig kvadrat». To av bøkene nevner at det er en måte å faktorisere, den tredje nevner først en huskeregel og så en mulig anvendelse. Målet med dette undervisningsopplegget er at elevene skal få en dypere forståelse for uttrykket «fullstendig kvadrat» å visualisere problemet. Opplegget tar utgangspunkt i en litt endret forklaring fra Sinus 1T. Aktivitet 1 Elevene jobber i par med elevark 1. Paret må diskutere med hverandre for å bli enige om forklaringen de skal skrive ned. Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Finn de matematiske begrepene i setningen, noter dem i boksen og skriv en forklaring. Avslutt denne sekvensen med en oppsummerende klassesamtale. Kommentar til læreren Setningen inneholder veldig mange matematiske begreper. Noen begreper er så kjent at elevene ikke vil oppfatte dem som «matematiske begreper» for eksempel «kvadrat», mens andre som «andregradspolynom» virker ukjent. Det er viktig å presisere at elevene skal bruke egne ord for å skrive en forklaring. Det er ikke lov å åpne boka eller internett. Når læreren oppsummerer kan hun gjerne komme med gode spørsmål som: Hvorfor heter det kvadratsetning? Hva menes med faktorisering Når bruker vi faktorisering: Forkorte brøk Finne nullpunkter Jobbe med andregradsuttrykk Begrepet «fullstendig kvadrat» er læringsmålet av denne økta og blir ikke forklart ennå. Aktivitet 2 Elevene jobber i par med elevark 2. Skriv arealet av dette rektangelet som et algebraisk uttrykk på så mange måter som mulig Her er to nye figurer. De er en fortsettelse av figur 1 Hvorfor er alle uttrykkene nedenfor lik a2 + 6a Se på det siste uttrykket. Sammenlign dette uttrykket med a2 + 6a. Hva er forskjellen mellom uttrykkene? «Halvere – kvadrere – addere og subtrahere» er en huskeregel for faktorisering med fullstendig kvadrat. Forklar hvordan denne huskeregelen passer til det som du har gjort. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale. Legg vekt på at alle elevene kan presentere noen av sine løsninger, selv om de ikke har kommet helt i mål. Kommentar til læreren Med hjelp av elevark 2 får elevene en visuell tilgang til begrepet «fullstendig kvadrat». Det skal så føre til en dypere forståelse for begrepet. Allerede figur 1 kan gi utfordringer. Mange elever er uvant ved å tegne. Dybdelæring krever flere tilnærmingsmåter. I oppgave 1 forventer vi svar som: a2 + 6a, eller a · a + 6 · a, eller a (a + 6). Hvis noen elever svarer for eksempel 6 a3 eller 6a2, må disse misforståelser rettes opp med en gang, da alt arbeid er avhengig av at eleven kan reglene for enkel algebra. Mens eleven jobber videre med oppgavene skal læreren gå rundt og lytte til samtalene elevene imellom.Misforståelser og mangelfull forståelse kan bli avdekket på denne måten. Ikke forstyrr elevene, men ta notater som du tar fram i den oppsummerende samtalen. Mange elever vil ha vanskeligheter ved å se og forstå bruken konjugatsetningen.( oppgave 3) Legg spesiell vekt på at vi har faktorisert uttrykket, som er målet for aktiviteten. Forklar gjerne en gang til hva som skiller et faktorisert uttrykk fra et utrykk bestående av mange ledd og hva som er fordelen med faktorer i forhold til ledd. (oppgave 4) Hvis noen elever er veldig fort ferdig med oppgaven, og du mener at resten av klassen skal få litt mer tid, kan du be dem å løse en ligning der de kan bruke denne metoden. Her er det vist et eksempel hvordan man kan løse en ligning med hjelp av fullstendig kvadraters metode. Aktivitet 3 (tilleggsoppgave) Løs likningen a2 + 6a = 11. Legg merke til at den venstre siden av ligningen er lik som uttrykket i elevark 2. Bruk huskeregelen for å løse ligningen. Forklar hva som skjer ved de enkelte skritt. «Halvere – kvadrere – addere og subtrahere» Kommentar til læreren Denne oppgaven kan gis muntlig eller på små lapper. Dette er et forslag til løsning med kommentar: Å bruke fullstendig kvadrat er ikke den meste effektive metoden for å løse en andregradslikning. Derimot vil det å skrive en andregradsfunksjon faktorisert til fullstendig kvadrat gi ny informasjon om funksjoner og så føre til en bedre forståelse.
Arbeidsform: Smågrupper med to til tre elever. La elevene dele og diskutere i plenum. Til slutt skal de skrive en matematisk tekst om det de har funnet ut. Undervisningsopplegget: Elevene skal starte med å tegne en trekant midt på arket. De bestemmer selv formen på trekanten. Den skal ikke være for stor. Elevene skal først lage skisser og forklare løsningene sine. Deretter skal de konstruere med passer og linjal. Oppgave: Tegn en trekant midt på arket. Lag minst to trekanter med samme areal som den du har tegnet. Trekantene skal ha én side felles med den trekanten du startet med. (Elevene skal gjøre denne oppgaven individuelt.) Sammenlikne løsningene dine med løsningene til de andre på gruppa. Diskutér hva som må være oppfylt for at trekanter med en felles side skal ha samme areal. Finnes det flere trekanter med samme areal? Diskutér på gruppa: Hvor må toppunktene ligge? Lag skisser. Forklar og begrunn løsningene deres. Tegn en ny trekant. Konstruer løsningene på oppgaven med passer og linjal. Dere har funnet det geometriske stedet for toppunktet til trekanter med samme areal og en felles side med en gitt trekant. Forklar hva som menes med et geometrisk sted, og hvorfor dette er «et geometrisk sted» (Kan sløyfes for 1T og ungdomstrinnet). Lag en matematisk tekst med illustrasjoner, forklaringer og bevis på det dere har funnet ut. Kommentarer til læreren: La elevene utforske oppgaven. Bruk god tid. Kanskje noen elever kommer med helt spesielle løsninger, som rettvinklede trekanter eller likebeinte trekanter. Det bør komme fram i diskusjonen at det finnes uendelig mange løsninger. Hør på elevenes diskusjoner, og få ulike forslag fram i fellesdiskusjon på slutten av økta. Du kan vurdere om du vil la elevene lage den matematiske teksten før dere tar plenumsdiskusjonen. Da kan du se på de ulike løsningene, og velge ut noen som skal få presentere løsningene sine for klassen/gruppa. Oppsummering og løsningsforslag: Få fram elevenes tanker og hvordan de nærmet seg løsningene, ikke bare det endelige resultatet. Forslag til videre arbeid: Arbeid videre med geometriske steder. Se undervisningsopplegget «Geometriske steder/geometriske sammenhenger»
Arbeidsform: Individuelt arbeid først. Deretter deler elevene sine løsninger med sidemannen. Undervisningsopplegget: Forklar elevene at de skal se nøye på et bilde som de får se i tre sekunder. Si at de skal legge merke til hvordan figurene er bygd opp, og hvordan de «vokser». Gi elevene god tid til å tenke og notere. Deretter viser du bildet på nytt i tre sekunder. Elevene får mulighet til å revidere det de har tenkt og skrevet. De to første spørsmålene under «oppgave» kan stå på tavla hele tiden. Under oppsummeringen står alle spørsmålene på tavla. Når elevene har tenkt ferdig, lar du bildet bli stående mens elevene får forklare sine løsninger. Her er bildet: Oppgave: Mens elevene ser kvikkbildene skal de bare prøve å finne svar på følgende spørsmål: Hvordan er mønsteret du får se bygd opp? Når bildet blir stående, og dere skal ha oppsummering, får elevene disse spørsmålene i tillegg. Hvordan kan du tegne neste figur hvis du har den forrige? Hvis antall kvadrater i hver figur skrives som et tall, hvordan kan du beregne det neste tallet ut fra det foregående? Skriv tallet til figur n rekursivt med ord og symboler/formel. Hvordan kan du beregne tallet som figur nummer n representerer direkte (eksplisitt)? Finn en formel. Kommentarer til læreren: Elevene må få god tid til å tenke og skrive. Når det har gått en stund etter at bildet ble vist for annen gang, lar du elevene snakke sammen to og to. Eksempler på elevsvar Eksempel 1 Eleven sier at nye kvadrater blir bygd rundt de som er der fra før. Du starter med 1 og legger på 3, deretter 5 og 7 og så videre. Eleven viser med farger, omtrent slik: For hver nye figur, blir det lagt til et oddetall. Eleven kommer fram til den rekursive formelen: an = an-1 + (2n - 1). Kommentar: Kanskje elevene vil ha problemer med å nummerere riktig. Det kan dere snakke om i oppsummeringen. Eksempel 2 Eleven sier at figurene kan «klippes og limes» til kvadrater. I figur 2 klippes og flyttes det lille kvadratet på høyre side og limes i øverste venstre hjørne. Da blir det et 2·2 kvadrat. I figur 3, klippes de tre kvadratene på høyre side, snues og limes øverst til venstre. Da blir det et 3·3 kvadrat. På samme måte klippes, snues og limes de fem kvadratene til høyre i figur fire, så det blir et 4·4 kvadrat. Eleven tegner omtrent slik: Eleven kommer fram til den eksplisitte formelen: an= n ∙ n = n2 Kommentar: Denne eleven ser hvordan hver enkelt figur er bygd opp, og kommer fram til en eksplisitt formel. Eksempel 3 Eleven sier: De blir først 1, så 1 + 2 + 1, så 1 + 2 + 3 + 2 + 1, så 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 og så videre. Kommentar: Utfordre eleven og de andre i klassen til å skrive summen som viser figurtall nummer n med symboler når dere tar oppsummering. Eksempel 4 Eleven sier: Jeg ser at hver figur er summen av oddetall. Figur nummer n er 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n - 1) Kommentar: Dette eksempelet sammen med eksempel 2, gir dere en fin mulighet til å se at summen av oddetallene er et kvadrattall, og derfra mer generelt, komme fram til formelen for summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Oppsummering: Pass på at alle de ulike forslagene kommer fram, og skriv dem på tavla slik elevene forklarer dem. La eventuelt elevene komme fra og skrive på tavla selv. Det bør bli plass til at alle eksemplene kan stå på tavla samtidig. Utfordre klassen til å sammenlikne alle forslagene. Er de like? Er de forskjellige? Kan alle skrives med rekursive og eksplisitte formler? Hvis både eksempel 2 og eksempel 4 kommer fram, kan du utfordre elevene til å bevise at 1 + 3 + 5 + 6 +…+ (2n - 1) = n2 Senere kan dere sammen vise at den ideen som brukes til å bevise dette, er den samme ideen som kan brukes til å bevise formelen for summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Eksempel 3 er også morsomt å se nærmere på. Figur nummer n kan skrives: 1 + 2 + 3 +…+ (n - 1) + n + (n - 1) +…3 + 2 + 1 Du kan introdusere summetegnet for elevene, og vise at eksempel 4 kan skrives slik: `a_(n)=sum_(i=1)^n(2i-1)` og eksempel 3 slik: an = n + 2 ∙ `sum_(i=1)^(n-1) (i)` når n≥2 Vurdering: La elevene skrive eksempel på en tallfølge, med eksplisitt og rekursiv formel. Samle inn eksemplene og se om alle har forstått begrepene. Forslag til videre arbeid: Arbeid videre med figurtall. Elevene kan lage sine egne figurer med brikker. Utfordre dem til å sette opp rekursiv og eksplisitt formel for figurtallene.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
