Forberedelse: Skriv ut et bilde av et klassisk grantre, eventuelt ha det klart på iPad e.l. Klipp ispinner i ulike lengder og legg disse i en haug på bordet. Gjennomføring: La barna starte med en hel ispinne hver. Denne pinnen er trestammen. Vis barna bildet av grantreet og innled en samtale med barna om hvordan treet ser ut. Led barnas oppmerksomhet mot at treet er bredest lengst nede og at det blir smalere og smalere mot toppen. Still spørsmål som: Hvordan kan vi beskrive grantreet på bildet? Hvis dere skal lage et tre av ispinner som ligner på treet, hvordan vil dere gjøre det? Vil dere ha litt mellomrom mellom ispinnene, eller skal de ligge helt tett? Utfordre barna til å ordne 5 – 7 ispinner i rekkefølge fra kortest til lengst på trestammen sin. Når barna har ordnet ispinnene sine kan de lime dem fast. Her ser vi hvordan to barn løser denne oppgaven: Når limet har tørket kan barna dekorere minijuletreet sitt med tusj eller maling.
Lage juletre av pinner Ta med barna på tur i skogen eller et annet sted der du vet at dere finner pinner. Foreslå for barna at de plukker med seg noen pinner som dere tar med tilbake til barnehagen. Hvis ikke barna er interessert i å plukke pinner, kan du gjøre det. Når dere er tilbake i barnehagen legger dere alle pinnene gulvet på avdelingen. Still spørsmål som: Hva er likt og forskjellig med pinnene? Hva annet legger dere merke til? Oppmuntre barna til å ordne pinnene i rekkefølge fra kortest til lengst. Still spørsmål som: Hvilken pinne er den korteste? Hvordan kan vi finne ut hvor denne pinnen skal ligge? Hvilken er den neste? Hvilken er den tredje? Hvilken pinne skal sist? Har vi en pinne som skal ligge mellom disse to? Hva gjør vi med pinnene som er like lange? Når dere har ordnet pinnene i rekkefølge, kan dere midtsstille pinnene slik at organiseringen av pinnene ser ut som et juletre. Snakk med barna om hvordan de ser dette juletreet. På bildet ser vi hvordan barna har sortert og midtstilt pinnene: Fortell barna at dere nå skal binde sammen pinnene i den ordningen de ligger i, slik at dere kan henge dem på veggen. Dere får da et juletre på avdelingen! Aktuelle spørsmål her: Skal vi ha med alle pinnene? Er det for mange, eller kanskje for få? Fest pinnene med noen centimeters mellomrom med piperensere eller tråd. Heng opp ferdig resultat. Dekorere juletre av pinner Dere kan nå dekorere juletreet slik dere ønsker. For å få et skikkelig matematisk juletre kan dere for eksempel dekorere med todimensjonale geometriske former. Da vil barna bli kjent med nye former og de kan utvikle strategier for å gjenkjenne disse når de henger opp-ned på treet. Dere trenger ark i ulike farger, saks, hullemaskin og tråd. La barna klippe ut ulike todimensjonale former i forskjellige farger og størrelser. Snakk sammen om de ulike formene barna lager. Bruk matematiske begreper som stor, liten, kant, hjørne, sirkel og firkant reflektert og aktivt. Still spørsmål som: Hva kan du fortelle om formen du har klippet ut? Hva ligner den på? Hva kan vi kalle den? Jeg ser at du har klippet ut mange former. Hva er likt og forskjellig med formene? For å kunne henge opp figurene på juletreet, så må dere lage hull og tre en tråd gjennom. Still spørsmål som: Hvilken vei ønsker du at figuren din skal henge? Hvis vi snur den opp-ned er det fremdeles samme form? Hvor på juletreet skal figuren din henge? Pynt juletreet og heng det godt synlig på avdelingen.
La barna klippe farget A4 ark i lange, smale (ca. 2 cm) rektangler fra langsiden. Da blir rektanglene ca. 21 · 2 cm. Slik lager du julelenker: ta litt lim på enden av den første strimmelen du skal bruke og lim fast den andre enden av strimmelen slik at strimmelen blir en ring. Pass på at strimmelen ikke blir vridd for da blir det et møbiusbånd. Det er det også spennende å utforske, men det kan bli en annen gang :) Tre neste strimmel gjennom den første ringen, ta lim på enden av strimmelen og lim fast den andre enden sånn at det blir en ny ring som henger fast i den første. Tre neste strimmel igjennom den forrige ringen du laget og lim sammen endene til en ny ring. Fortsett sånn til lenka har ønsket lengde. På bildene ser vi barn som lager julelenker. Del 1: Lag en julelenke som er like lang som deg selv Gi barna utfordring at de skal lage en julelenke som er like lang som seg selv. La barna få god tenketid til hvordan de vil starte og løft frem barnas ulike tankemåter underveis i prosessen. På bildene ser vi to jenter som løser utfordringen ved å sammenligne lenken med sin egen høyde. De gjør dette flere ganger i prosessen med å lage lenken for å være sikker på at den ikke blir for lang. Bruk begreper som lang, lengre, flere, færre, neste, aktivt sammen med barna. Del 2: Lag en felles lang lenke Sett sammen lenkene som barna har laget til én lang lenke. Legg lenken på gulvet og spør barna om hvordan dere kan finne ut hvor lang den er. Løft frem barnas resonnement og fremgangsmåter. Prøv ut alle ideene fra barna. Et forslag som kan komme fra barna er å måle hvor mange barn som trengs for å fylle opp lengden til lenka. Dette kan dere finne ut ved at barna legger seg ved siden av lenka og at et barn eller en ansatt teller hvor mange barn som skal til. På dette bildet ser vi ei lenke som er to barn lang. Underveis i prosessen med å lage lenker kan det være at noen barn finner ut at ei lenke med et visst antall ringer kan være lengre enn ei lenke som består av flere ringer. Utforsk sammen med barna hvordan dette kan være mulig. Still gjerne spørsmål som: Hvordan kan vi gjøre en ring større eller mindre? Hvordan henger størrelsen på ringene sammen med lengden til lenka?
Legg frem ark eller glanspapir, sakser og lim. Oppmuntre barna til å lage sirkler ved å tegne omrisset til et glass eller en liten skål og klipp dem ut. Noen barn trenger støtte for å få det til, mens andre barn kan gjøre det selv. Tilpass voksenstøtten etter barnas alder og forutsetninger. Her ser vi et barn som har tegnet en sirkel rundt ei skål og som klipper ut selv. Barna trenger to sirkler til én julekurv. Sirklene brettes på midten (farget side ut dersom dere bruker glanspapir) slik vi ser på bildet. Ta lim på nederste del av den ene halvsirkelen, både på forsiden og baksiden. Legg denne inn i den andre halvsirkelen slik at det ser ut som et hjerte. Barna skal deretter klippe ut et langt og smalt rektangel (ca 1,5-2 cm bred og 15-20 cm lang). Dette blir hempen på julekurven. Brett rektangelet på midten, ta lim nederst på yttersidene og fest hempen inni julekurven. Dekorer gjerne. Så fin julekurv!
Opplegget består av to aktiviteter elevene skal gjøre i GeoGebra. Aktivitetene forutsetter at elevene kan tegne i GeoGebra. Elevene skal først tegne en figur som er et rektangel uansett hvordan de snur og vender på den. Deretter skal de tegne et rektangel med omkrets 24. Aktivitet 1: Tegn et rektangel Oppgave 1 til elevene Åpne GeoGebra og tegn et rektangel. Dra i hjørnene til rektangelet. Hva skjer? Kommentarer til læreren Mange elever bruker verktøyet Mangekant og tegner et rektangel på rutearket i GeoGebra, mens noen bruker Linjestykke mellom to punkt. Figurene de da får er ikke rektangler, men mangekanter som tilfeldigvis har form som rektangler. Når elevene tester figurene ved å dra i hjørnene, blir figurene til uregelmessig firkanter. Klassesamtale Aktiviteten fortsetter med en klassesamtale om egenskapene til et rektangel. Resultatet kan se omtrent slik ut: Et rektangel er en firkant der To og to sider er like lange To og to sider er parallelle Alle vinkler er 90° Diagonalene er like lange Diagonalene halverer hverandre Rektangler har alle disse egenskapene, men må elevene bruke alle egenskapene for å tegne et rektangel, eller er det nok med en eller to? Elevene skal diskutere i smågrupper for å finne ut hvor mange egenskaper de trenger for å tegne et rektangel. For eksempel: «Tegner vi alltid et rektangel når vi vet at to og to sider er like lange?» eller «Finnes det firkanter som har diagonaler som er like lange, som ikke er rektangler?». Målet med diskusjonen er at elevene selv skal komme fram til at dersom alle vinkler er 90°, så er figuren et rektangel. Det betyr at alle firkanter med fire rette vinkler er rektangler. Denne egenskapen skal elevene ta utgangspunkt i når de skal tegne et rektangel i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Slå av rutenettet og koordinatsystem. Tegn et rektangel som forblir et rektangel når du drar i hjørnene. Kommentarer til læreren Elevene skal de dra nytte av at et rektangel har fire rette vinkler. I dynamisk geometri skal en figur beholde formen uansett hvordan elevene snur og vender på den, for eksempel skal et rektangel være et rektangel selv om elevene drar i hjørnene. Dette kravet gjør det annerledes å tegne en geometrisk figur med dynamisk geometriprogram enn med papir og blyant. Elevene skal slå av rutenettet og koordinatsystemet når de arbeider med geometri i GeoGebra. De har lov til å bruke alle verktøyknappene, og derfor sier vi at vi tegner, ikke at vi konstruerer. For at GeoGebra skal tolke en samling av linjestykker som en figur, må elevene bruke verktøyet Mangekant. Da får figuren navn og farge, i tillegg til at GeoGebra beregner arealet. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Velg Linjestykke mellom to punkt for å lage et linjestykke. Dette gir punktene A og B og linjestykket f. Tegn Normal linje på endepunktene. Dette gir linjene g og h. Bruk Nytt punkt for å lage et punkt C som ligger fritt på linje g. Finn det fjerde punktet/hjørnet i rektangelet ved å tegne normalen gjennom punkt C på linje g (den får navnet linje i), og deretter lage Nytt punkt i skjæringspunktet mellom linjene h og i. Gjør rektangelet ferdig ved å bruke verktøyet Mangekant. Elevene kan med fordel gjøre linjestykke f og linjene g, h og i usynlig. Elevene kan nå forsøke å dra i hjørnene for å endre på rektangelet. Da ser elevene at figuren forblir et rektangel selv om de drar i de blå hjørnene for å endre størrelse, form og plassering. Selv om elevene har jobbet med rektangel som figur helt siden barnehagen, er begrepet «rektangel» ofte ikke godt utviklet hos mange elever. De kjenner til egenskapene, men har sjelden tenkt over at de har noe å si for en tegning. De færreste har tenkt over at to og to sider automatisk blir like lange og parallelle når alle vinkler er 90°. Det er viktig at elevene slår av rutenett og koordinatsystem når de jobber med geometri. Dersom de tegner alle figurer parallelt med rutenettet, kan det føre til en svak begrepsutvikling. Aktivitet 2: Tegn et rektangel med omkrets 24 Oppgave 1 til elevene Bruk kvadratiske plastbrikker til å lage rektangler med omkrets 24. Noter løsningene i en tabell. Det er lurt å være systematisk. Se på tabellen. Skriv ned noen observasjoner. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten er målet at elevene skal tegne et rektangel med en omkrets på 24 i GeoGebra. Aktiviteten starter med at elevene lager rektangler med omkrets 24 ved hjelp av kvadratiske plastbrikker. Elevene vil oppdage at det finnes mange løsninger, og de ser også at arealet endrer seg. Forslag til tabell: Side1 Side 2 Areal 1 11 11 2 10 20 3 9 27 4 8 32 5 7 35 6 6 36 7 5 34 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11 Klassesamtale I klassesamtalen studerer elevene og læreren resultatene i tabellen. Det er viktig at elevene oppdager at tabellen er symmetrisk, samt at summen av lengden og bredden alltid er 12 og at det er halvparten av omkretsen på 24. Læreren bør også forsikre seg om at elevene kjenner formelen for omkretsen til et rektangel. Deretter skal elevene og læreren sammen komme fram til sammenhengen mellom lengden, bredden og omkretsen til et rektangel. Formelen for omkretsen til et rektangel er: o = 2a+2b I dette tilfelle blir det 24 = 2a + 2b Her har vi en likning med to ukjente, hvor de ukjente er avhengige av hverandre. Blir a større, må b bli mindre og omvendt. Hvis vi kjenner a, kan vi finne b: b = `(24 - 2a)/(2)= 12 - a` Elevene må bruke denne sammenhengen mellom a og b når de skal tegne figuren i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Lag et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra. Bruk metoden fra aktivitet 1, oppgave 2 og sammenhengen mellom side a og b i et rektangel med omkrets 24 Kommentarer til læreren Aktiviteten krever at elevene bruker kunnskaper om algebra. Mange elever ser ikke sammenhengen mellom ulike emner i matematikk, og det å bruke algebra for å lage en tegning i GeoGebra kan være helt nytt for dem. Ved å bruke algebra i varierte situasjoner, vil elevene få en dypere forståelse for emnet. Elevene bruker først firkantbrikker til å lage rektangler med omkrets 24, og da finner de et endelig antall løsninger. Sidene har bare heltallsløsninger. I GeoGebra kan vi endre sidelengdene med små steg, noe som gir uendelig mange ulike rektangler med omkrets 24. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi linjestykket navnet «a». Linjestykke a blir den første siden i rektangelet. Tegn Normale linjer på linje a i både punkt A og B. Linjene får navnene linje f og linje g. Side b i rektangelet ligger langs linje g (eller linje f). Lengden til side b avhenger av lengden til a, når omkretsen er bestemt. Velg Sirkel definert med sentrum og radius i punkt B for å finne ut hvor lang side b skal være. Skriv inn høyre delen av formelen for b (lengden av b, gitt a). Marker skjæringspunktene, og tegn rektangelet med Mangekant. Vis omkretsen og arealet til rektangelet. Omkretsen finner du ved å velge Avstand eller lengde og klikke i mangekanten. Arealet finner du ved å vise «Verdi» for mangekanten. Legg merke til at rektangelet bare har to blå punkter (punkter som elevene kan dra i). Det kommer av at bredden er avhengig av lengden (når elevene endrer på a, endrer b seg). Lagre figuren. Elevene kan teste svarene de fikk i tabellen ved å dra i ett av de blå punktene. Finn rektangelet med det største arealet. Hvor lange er sidene da? Tips til alternativt undervisningsopplegg Dette undervisningsopplegget ser på sammenhengen mellom geometri og algebra. Dersom dere ønsker å se på sammenhengen mellom geometri, algebra og funksjoner, kan dere se på dette undervisningsopplegget: Sammenhengen mellom areal og omkrets til et rektangel.
To – tre elever spiller sammen på ett spillebrett. Spillerne kaster etter tur to terninger og lager en brøk der verdien på den ene terningen er teller, og den andre er nevner. Elevene skal bedømme størrelsen av brøken de lager, finne den prosenten som svarer til brøken og legge en av brikkene på ei rute som viser denne prosenten. Eksempel: Terningene viser 3 og 4. Du kan lage brøken `(3)/(4)` og legge brikken på 75 %, eller `(4)/(3)` og legge brikken på `133(1)/(3)%`. Dersom ingen ledige ruter passer til prosentene du kan lage, legger du brikken på ei av rutene med smilefjes. Når alle seks brikkene er lagt ut, flytter du en av brikkene som står på brettet. Spillet fortsetter til en av spillerne har fått tre på rad: vannrett, loddrett eller diagonalt. Matematiske sammenhenger Når vi jobber med sammenhengen mellom brøker, desimaltall og prosent må de betraktes som ulike symbolske representasjoner av samme forholdstall. Denne kunnskapen er nyttig i mange sammenhenger, for eksempel hvis man skal regne 25 % av 120. Man kan bare dele på fire, dersom man vet at en firedel er det samme som 25 %. På samme måte kan man tenke på 10 % som en tidel, så da kan man bare dele på 10 for å finne 10 %. Denne kunnskapen kan man bruke i videre beregninger. Vet man 10 %, så er halvparten av det 5 %. Så for å finne 5 % kan man dele på 10 og deretter dele på to. Det er til stor hjelp for elevene å få mange slike erfaringer som de kan bruke som referanser i arbeid med brøk og prosent. Med utgangspunkt i kjente erfaringsreferanser som null, en halv og en hel, kan elevene bygge flere referanser som en firedel, en tidel, en femdel, en seksdel, tre firedeler osv. I spillet Tre på rad – brøk og prosent skal elevene finne sammenhenger og forklare og begrunne omgjøringene de gjør. Elevene kan også etterhvert studere spillbrettet og diskutere tallene som er valgt. Hvorfor er det akkurat de prosentene? Hvorfor er noen av dem oppført flere ganger? Tabell 1 viser en oversikt over brøkene elevene kan lage når de bruker to vanlige terninger (1-6). Med utgangspunkt i kjente sammenhenger som for eksempel at halvparten kan uttrykkes som både `(1)/(2)` og 50 %, kan elevene resonnere seg fram til hvilken prosent som stemmer med brøken de har valgt. Eksempel: Lise har laget brøken `(4)/(3)`. Hun forklarer at det må være mer enn 100 % og mindre enn 150 %, fordi "tre tredeler" er 100 % og "fire og en halv tredel" er 150 %. Lise vet at en tredel er det samme som 33,33 (med uendelig mange desimaler), så da må `133(1)/(3)%` være riktig. Hun legger brikken sin på `133(1)/(3)%`. Dersom en ønsker å utvide spillet, kan elevene bruke andre terninger (0-9, 1-12 eller 1-20). Spillbrettet må da tilpasses de nye brøkene. Å finne ut hvilke prosenter som skal stå på spillbrettet kan være en fin oppgave for elevene.
Dette er et lommeregnerspill der elevene spiller to og to sammen. Spiller 1 taster inn et tall på lommeregneren. Spiller 2 multipliserer dette tallet med et annet tall, med det målet å komme så nær hundre som mulig. Spiller 1 multipliserer det nye svaret med et nytt tall for å komme enda nærmere hundre. Spiller 1 og 2 bytter på å multiplisere med nye tall til en av dem får 100 på lommeregneren. Eksempel på hvordan et spill kan bli: Spiller nr Taster inn, multipliserer med Tall på lommeregneren Refleksjon 1 64 64 2 1,5 96 For lite 1 1,2 115,2 Femten for mye 2 0,9 102,68 Nesten. Bare tre for mye 1 0,9 93,312 For lite igjen 2 1,08 100,77696 Jeg vant! Spillerne kan diskutere om tidelsplassen må være null, om hundredelsplassen må være null osv. Læringseffekten av spillet øker dersom elevene etterhvert diskuterer strategiene de har brukt. Spillet er godt egnet til å avdekke misoppfatninger og legger opp til en kognitiv konflikt hos elevene. Når tallet på lommeregneren i eksemplet over viser 115,2, må elevene reflektere over – og teste ut – hvilke tall de kan multiplisere med for å få et mindre tall så de kommer nærmere hundre. Elevene erfarer at ved å multiplisere med tall mindre enn 1, så blir svaret mindre. Spillet utfordrer misoppfatningen om at multiplikasjon alltid gjør svaret større, og fremmer i tillegg overslagsregning. En kan lage tilsvarende oppgaver der en bare har lov å dividere. Elevene får da oppleve at divisjon kan «gi et større tall».
Forberedelse Se gjennom fortellingen på forhånd slik at dere er forberedt på forslag til leker og responser som kan komme fra barna. Oppstart Vis barna fortellingen om Hatteselgeren. Fortellingen blir fortalt på to språk samtidig. Noen barn kan legge merke til enkelte ord og uttrykk som blir gjentatt i fortellingen på et annet språk enn norsk. Bruk i så fall tid på å leke og eksperimentere med rim, rytme, lyder og ord som barna har lagt merke til. Snakk sammen om det som er likt og ulikt med norsk og det språket dere har valgt å lytte til. Fortsettelse Ta fram en kurv eller veske med ulike typer hatter og luer. La barna få beskrive hattene. Her er rike muligheter til å snakke om de ulike formene hattene har, sammenligne dem og sortere dem i grupper. Hatteselgeren har mange forskjellige hatter i veska si. Noen barn mente denne hatten var en cowboyhatt, noen mente det var en kuhatt og andre mente det kunne være en maler som hadde en hvit hatt, men som hadde malt med svart maling som hadde dryppet på hatten. Åpne opp for at barna kan få leke med hattene. Noen barn kan ha egne forslag til hvordan de vil leke: f.eks. hatteselger på torget med bod, hatter, penger, skilt o.l., Kims lek (Hvilken hatt mangler?), Gjett hva jeg jobber som (med utgangspunkt i hatten). Dersom ingen forslag kommer opp, kan du forslå at dere skal leke «Hatteselger-leken» som er beskrevet nedenfor. Hatteselger-leken Lag en salgsbod på torget for å selge hattene dere har. Dette kan være et bord, en duk, en kasse eller lignende. Snakk sammen om hvordan dere kan organisere hattene i salgsboden. Dette kan dere bruke mye tid på siden det er mange ulike måter å sortere hattene på. Her er hattene sortert i 4 grupper: hatter med kant, capser, vinterhatter og sommerhatter Foreslå for barna at hatteselgeren bør ha en oversikt over hvor mange hatter han har i boden sin, i tilfelle det kommer apekatter og stjeler en hatt. Oppfordre barna til å komme med forslag om hvordan hatteselgeren kan holde oversikt. Kanskje barna foreslår at noen hatter kan tilhøre flere grupper? Snakk i så fall sammen om hvilke egenskaper som gjør at en hatt kan høre til i flere grupper. Gutt forklarer hvordan han fant ut hvor mange hatter det er. Her skriver den voksne ned hvor mange hatter det er, men barna kan også skrive det ned Når dere har fått oversikt over hvor mange hatter dere har, er hatteselgeren så sliten at han faller i søvn. Barna kan da leke at de er røver-apekatter som vil ta noen av hattene til den sovende hatteselgeren. Barna må da være stille så de ikke vekker hatteselgeren. Når hatteselgeren våkner, må han finne ut hvor mange hatter som er stjålet. Spør barna om de kan hjelpe til med å finne ut av dette. Når hatteselgeren har funnet ut hvor mange hatter som er stjålet, kan leken starte på nytt. Bytt på hvem som stjeler hatter og hvem som er hatteselger.
Elevene arbeider i GeoGebra på hver sin PC, men de sitter i par så de kan diskutere. Opplegget har som mål å gi en dypere forståelse av arealet til trekanter. Mange elever klarer å finne arealet ved hjelp av formler uten at de forstår sammenhengen mellom variablene. I dette opplegget trenger elevene kunnskapene fra algebra for å finne alle mulige trekanter med areal 12. Forberedelse Opplegget er godt egnet til å la elevene øve på føring av oppgaver digitalt, slik de skal gjøre på eksamen. Elevene kan lage sin egen Wordfil der de skriver inn svar og limer inn bilder fra GeoGebra. Alternativt kan læreren la elevarket være tilgjengelig digitalt slik at elevene kan skrive inn svarene og lime inn resultatene fra GeoGebra. Det er en stor fordel om elevene blir kjent med utklippsverktøyet slik at de enkelt kan ta bilde av et valgt utsnitt i GeoGebra-vinduet, og deretter lime inn bildet i et tekstdokument. Vi anbefaler at elevene fester utklippsverktøyet på oppgavelinjen slik at det er lett tilgjengelig gjennom hele skoleåret. Utklippsverktøyet kan brukes i alle program, og eleven slipper dermed å forholde seg til mange ulike utskriftsmuligheter. Figur 1: Utklippsverktøy Aktivitet 1 Oppgavetekst fra elevark Bruk verktøyet Mangekant og tegn fire trekanter. Vis arealet til figurene. Flytt på hjørnene slik at alle figurene dine har areal som er så nær 12 som mulig. Lim trekantene inn i dokumentet. Beskriv så nøyaktig som mulig hvordan du har tenkt og hva du har gjort. Hvilke fellestrekk finner du mellom trekantene? Er du fornøyd med resultatet? Kommentarer til læreren Elevene skal komme fram til svaret gjennom å prøve og feile, og med litt tålmodighet klarer de fleste elever å lage trekanter med areal 12. Målet med aktiviteten er å gjøre elevene bevisst på at det finnes mange ulike trekanter med areal 12 (se tittelbilde). Læreren må godta at noen elever er fornøyde med at arealet er omkring 12. Oppgaven blir enklere ved å velge en eller ingen desimal under Innstillinger. Aktivitet 2 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebrafil. Velg Linjestykke med fast lengde. Skriv inn 8 i dialogboksen. Tegn en trekant der linjestykket med lengde 8 er en side. Vis arealet. Flytt på hjørnene slik at arealet blir lik 12. Gjør det samme en gang til slik at du har to trekanter med side 8 og areal 12 på arket. Lim trekantene inn i dokumentet. Sammenlign med figurene som du laget i aktivitet 1. Var det lettere eller vanskeligere å få lage disse trekantene? Gi en begrunnelse. Kommentarer til læreren Når elevene tegner et linjestykke med bestemt lengde, vil linjestykket alltid legge seg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet (horisontalt). Dersom elevene kun får erfaring med figurer som har sider som ligger parallelt med sidekanten, kan det føre til dårlig forståelse av egenskapene til figurer. Det er derfor lurt å be elevene om å bevege litt på linjestykket (se figur 2). Selv om den ene siden er kjent, er det ikke nødvendigvis lettere for elevene å finne trekanter med areal 12. Elevene kan ikke lenger dra i alle hjørnene til trekanten, men selv med en felles egenskap kan elevene finne mange ulike trekanter. Figur 2: Trekanter som ikke er parallelle med sidekantene til Grafikkfeltet. Aktivitet 3 Oppgavetekst fra elevark Denne oppgaven besvarer du uten å bruke GeoGebra. Bruk det du vet om trekanter. Hva må du vite for å kunne finne arealet til trekanter? Hvorfor finnes det uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8? Hva er felles for alle trekanter med areal 12 og side 8? Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene notere kunnskapene de har om beregning av areal, for eksempel kan de skrive ned formelen for arealet til trekanter og beskrive den med ord. Videre skal elevene begrunne hvorfor de kan tegne uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Elevene har arbeidet med arealformelen for trekanter mange ganger. Likevel vil mange ha vanskeligheter med å se hvordan en formel og en tegning henger sammen. Det er ikke selvsagt for alle elever at side 8 kan være grunnlinjen når den ligger på skrått på arket, eller at alle sidene kan være grunnlinjen til trekanten, og dermed brukes til å beregne arealet til trekanten. I neste aktivitet skal elevene utforske at alle trekanter med areal 12 og en side på 8 har samme høyde. Aktivitet 4 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil Tegn et linjestykke med lengde 8. Flytt litt på en av endepunktene slik at linjen ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn tre trekanter med areal 12 der linjestykket med lengde 8 er en av sidene. Hva observerer du? Tegn gjerne hjelpelinjer hvis det hjelper deg med å forklare. Kommentarer til læreren Når elevene har tegnet figuren med tre trekanter med samme grunnlinje, skal de se at det er mulig å tegne en linje gjennom alle punktene C. Denne linjen er parallell med grunnlinjen c. I GeoGebra er det ikke lett å måle avstanden mellom paralleller, og derfor forventes det ikke at elevene skal gjøre det. Hvis læreren vil vise høyden, er det enklest å tegne en loddrett linje gjennom et punkt C, finne skjæringspunktet med grunnlinjen og tegne inn linjen mellom to punkt. Figur 3 viser et eksempel på hvordan figuren vil se ut hvis elevene ikke tegner trekanter med nøyaktig areal 12. Da blir ikke høyden nøyaktig 3, og linjene er ikke parallelle. Elevene vil likevel oppfatte linjene som parallelle. Figur 3: Tre trekanter med samme grunnlinje og areal 12. Klassesamtale Når de fleste elever har kommet godt i gang med aktivitet 4 og noen har startet med aktivitet 5, er det lurt med en felles oppsummering av arbeidet så langt. Elevene arbeider ikke like fort, og derfor er det viktig å ikke vente med en oppsummerende samtale til alle elevene er ferdige. Mye av hjelpen som elevene kan gi hverandre ville da gå tapt. I klassesamtalen kan læreren kontrollere om alle elevene har forstått at det finnes en sammenheng mellom tegningene og formel for areal og hvorfor det finnes uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Ikke alle elever er klar over at avstanden mellom to parallelle linjer er lik uansett hvor de tegner den inn. Mange elever tenker at høyden må gå fra et bestemt punkt til motsatt side, så noen elever vil oppleve det som nytt at de kan tegne inn høyden hvor som helst på de to parallellene. Læreren må avgjøre hvor mye hjelp elevene trenger for å komme videre, for eksempel om elevene trenger hjelp til å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand (se figur 4). Det kan være lurt å gjøre aktivitet 5 i felles klasse siden fremgangsmåten for å tegne parallelle linjer i GeoGebra er noe forskjellig fra fremgangsmåten med papir og blyant. Ved å gjøre aktiviteten i fellesskap, får også alle elevene samme utgangspunkt for å prøve seg på aktivitet 6. Figur 4: Fremgangsmåte for å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand. Aktivitet 5 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil. Nå skal du bruke kunnskapene fra aktivitet 3 og observasjonene fra aktivitet 4 til å tegne en trekant med grunnlinje 8 og areal 12 hvor arealet ikke endrer seg uansett hvordan du flytter på hjørnene. Se på GeoGebra-hjelp dersom du trenger noen ideer. Bildet viser starten av konstruksjonen. Forklar hvordan du tenker. Kommentarer til læreren Elevene starter med å tegne grunnlinjen. Minn de gjerne om å bevege grunnlinjen slik at den ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn en parallell i avstand 3 (høyden til trekanten) og sett et punkt hvor som helst på parallellen. Tegn trekanten. Dette er en vanskelig oppgave som vi ikke kan forvente at alle elever klarer selvstendig, og derfor anbefaler elevene og læreren løser oppgaven i fellesskap. Aktivitet 6 Oppgavetekst fra elevark I denne oppgaven skal du lage en trekant med areal 12. Tallet 8 fra den siste oppgaven må du erstatte med en bokstav. Du kan velge hvilken som helst bokstav. I forklaringen er det valgt c. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi det navnet c. Når du skal tegne sirkelen, må du sette inn en formel for radius. Tenk over hvordan du regnet for å finne radius i aktivitet 5. For å gjøre ferdig trekanten, tegner du videre som i aktivitet 5. Test tegningen din ved å dra i hjørnene. Ta flere bilder og lim dem inn i dokumentet. Forklar hvorfor alle trekantene dine har areal 12. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten har elevene bruk for algebrakunnskapene sine. De begynner med et linjestykke med lengde c (grunnlinjen i trekanten). Formelen for arealet blir dermed: `h = (c * h)/(2)` For elevene kan det se ut som om dette er en likning med to ukjente, c og h. Men her er det bare h som er ukjent, mens c er lengden til grunnlinjen i trekanten. Det kan være uvant for elevene. Elevene får så en formel for høyden: `h = (12 * 2)/(c)` Hvis GeoGebra ikke tegner en sirkel, har elevene valgt for lang grunnlinje. Deretter kan elevene konstruere trekanten på samme måte som i aktivitet 5. Resultatet blir en trekant med areal 12 og tre blå hjørner som elevene kan bevege fritt. Elevene kan gjerne vise at det blir riktig selv om de bruker mange desimaler på sidelengdene. Dette står i kontrast til aktivitet 1, der det var vanskelig å få til areal 12 når elevene valgte 2 eller flere desimaler. Ekstra utfordring Aktiviteten passer for elever som vil utforske GeoGebra litt ekstra, og læreren kan gi den til elever som blir tidlig ferdig eller trenger ekstra utfordring. Oppgavetekst Lag en figur der du kan endre både areal og grunnlinje. Det vil si at du skal klare å tegne en figur med areal 10 og grunnlinje 12, og deretter endre figuren til å ha areal 18 og grunnlinje 4. Kommentarer til læreren Her må elevene velge en variabel for grunnlinje og en variabel for areal. Den enkleste framgangsmåten er at elevene starter med å lage Glider for c og A. Resten av konstruksjonen er som før, bortsett fra at elevene erstatter 8 med c og 12 med A. Ved å bevege på gliderne kan elevene stille inn nøyaktig hvilken lengde og areal de ønsker (se figur 5). Høyden til trekanten er gitt ved: `h = (2A)/(c)`, og det må elevene bruke når de skal lage sirkelen som bestemmer avstanden mellom grunnlinjen til trekanten og parallellen som høyden må ligge på (se figur 6). Figur 5: Trekant hvor elevene kan endre på grunnlinje og areal med glidere. Figur 6: Sirkel hvor radius er gitt av størrelsen på areal og grunnlinje. Oppsummering Målet med opplegget er å gi elevene en økt forståelse for geometriske sammenhenger. Ved å bruke algebra kan elevene komme fram til at sammenhengen mellom grunnlinje og høyde stemmer uansett lengden av grunnlinjen. GeoGebra gir elevene trening i bruk av dynamisk programvaren, og de blir kjent med fordeler og ulemper med digitale tegninger. At det er avgjørende å bruke den samme bokstaven bare en gang i hver tegning, tvinger elevene til en nøyaktighet som de ellers gjerne hopper over.
Opplegget består av tre aktiviteter elevene skal gjøre i GeoGebra. Aktivitetene forutsetter at elevene kan tegne i GeoGebra. Elevene skal først tegne en figur som er et rektangel uansett hvordan de snur og vender på den. Deretter skal de tegne et rektangel med fast omkrets, og til slutt skal de finne det største arealet som et rektangel med en gitt omkrets kan ha. Elevene jobber med hver sin PC, men de kan gjerne sitte i små grupper slik at de kan diskutere underveis. Aktivitet 1: Tegn et rektangel Oppgave 1 til elevene Åpne GeoGebra og tegn et rektangel. Dra i hjørnene til rektangelet. Hva skjer? Kommentarer til læreren Mange elever bruker verktøyet Mangekant og tegner et rektangel på rutearket i GeoGebra, mens noen bruker Linjestykke mellom to punkt. Figurene de da får er ikke rektangler, men mangekanter som tilfeldigvis har form som rektangler. Når elevene tester figurene ved å dra i hjørnene, blir figurene til uregelmessig firkanter. Klassesamtale Aktiviteten fortsetter med en klassesamtale om egenskapene til et rektangel. Resultatet kan se omtrent slik ut: Et rektangel er en firkant der To og to sider er like lange To og to sider er parallelle Alle vinkler er 90° Diagonalene er like lange Diagonalene halverer hverandre Rektangler har alle disse egenskapene, men må elevene bruke alle egenskapene for å tegne et rektangel, eller er det nok med en eller to? Elevene skal diskutere i smågrupper for å finne ut hvor mange egenskaper de trenger for å tegne et rektangel. For eksempel: «Tegner vi alltid et rektangel når vi vet at to og to sider er like lange?» eller «Finnes det firkanter som har diagonaler som er like lange, som ikke er rektangler?». Målet med diskusjonen er at elevene selv skal komme fram til at dersom alle vinkler er 90°, så er figuren et rektangel. Det betyr at alle firkanter med fire rette vinkler er rektangler. Denne egenskapen skal elevene ta utgangspunkt i når de skal tegne et rektangel i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Slå av rutenettet og koordinatsystem. Tegn et rektangel som forblir et rektangel når du drar i hjørnene. Kommentarer til læreren Elevene skal de dra nytte av at et rektangel har fire rette vinkler. I dynamisk geometri skal en figur beholde formen uansett hvordan elevene snur og vender på den, for eksempel skal et rektangel være et rektangel selv om elevene drar i hjørnene. Dette kravet gjør det annerledes å tegne en geometrisk figur med dynamisk geometriprogram enn med papir og blyant. Elevene skal slå av rutenettet og koordinatsystemet når de arbeider med geometri i GeoGebra. De har lov til å bruke alle verktøyknappene, og derfor sier vi at vi tegner, ikke at vi konstruerer. For at GeoGebra skal tolke en samling av linjestykker som en figur, må elevene bruke verktøyet Mangekant. Da får figuren navn og farge, i tillegg til at GeoGebra beregner arealet. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Velg Linjestykke mellom to punkt for å lage et linjestykke. Dette gir punktene A og B og linjestykket f. Tegn Normal linje på endepunktene. Dette gir linjene g og h. Bruk Nytt punkt for å lage et punkt C som ligger fritt på linje g. Finn det fjerde punktet/hjørnet i rektangelet ved å tegne normalen gjennom punkt C på linje g (den får navnet linje i), og deretter lage Nytt punkt i skjæringspunktet mellom linjene h og i. Gjør rektangelet ferdig ved å bruke verktøyet Mangekant. Elevene kan med fordel gjøre linjestykke f og linjene g, h og i usynlig. Elevene kan nå forsøke å dra i hjørnene for å endre på rektangelet. Da ser elevene at figuren forblir et rektangel selv om de drar i de blå hjørnene for å endre størrelse, form og plassering. Selv om elevene har jobbet med rektangel som figur helt siden barnehagen, er begrepet «rektangel» ofte ikke godt utviklet hos mange elever. De kjenner til egenskapene, men har sjelden tenkt over at de har noe å si for en tegning. De færreste har tenkt over at to og to sider automatisk blir like lange og parallelle når alle vinkler er 90°. Det er viktig at elevene slår av rutenett og koordinatsystem når de jobber med geometri. Dersom de tegner alle figurer parallelt med rutenettet, kan det føre til en svak begrepsutvikling. Aktivitet 2: Tegn et rektangel med omkrets 24 Oppgave 1 til elevene Bruk kvadratiske plastbrikker til å lage rektangler med omkrets 24. Noter løsningene i en tabell. Det er lurt å være systematisk. Se på tabellen. Skriv ned noen observasjoner. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten er målet at elevene skal tegne et rektangel med en omkrets på 24 i GeoGebra. Aktiviteten starter med at elevene lager rektangler med omkrets 24 ved hjelp av kvadratiske plastbrikker. Elevene vil oppdage at det finnes mange løsninger, og de ser også at arealet endrer seg. Forslag til tabell: Side1 Side 2 Areal 1 11 11 2 10 20 3 9 27 4 8 32 5 7 35 6 6 36 7 5 34 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11 Klassesamtale I klassesamtalen studerer elevene og læreren resultatene i tabellen. Det er viktig at elevene oppdager at tabellen er symmetrisk, samt at summen av lengden og bredden alltid er 12 og at det er halvparten av omkretsen på 24. Læreren bør også forsikre seg om at elevene kjenner formelen for omkretsen til et rektangel. Deretter skal elevene og læreren sammen komme fram til sammenhengen mellom lengden, bredden og omkretsen til et rektangel. Formelen for omkretsen til et rektangel er: o = 2a+2b I dette tilfelle blir det 24 = 2a + 2b Her har vi en likning med to ukjente, hvor de ukjente er avhengige av hverandre. Blir a større, må b bli mindre og omvendt. Hvis vi kjenner a, kan vi finne b: b = `(24 - 2a)/(2)= 12 - a` Elevene må bruke denne sammenhengen mellom a og b når de skal tegne figuren i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Lag et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra. Bruk metoden fra aktivitet 1, oppgave 2 og sammenhengen mellom side a og b i et rektangel med omkrets 24. Kommentarer til læreren Aktiviteten krever at elevene bruker kunnskaper om algebra. Mange elever ser ikke sammenhengen mellom ulike emner i matematikk, og det å bruke algebra for å lage en tegning i GeoGebra kan være helt nytt for dem. Ved å bruke algebra i varierte situasjoner, vil elevene få en dypere forståelse for emnet. Elevene bruker først firkantbrikker til å lage rektangler med omkrets 24, og da finner de et endelig antall løsninger. Sidene har bare heltallsløsninger. I GeoGebra kan vi endre sidelengdene med små steg, noe som gir uendelig mange ulike rektangler med omkrets 24. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi linjestykket navnet «a». Linjestykke a blir den første siden i rektangelet. Tegn Normale linjer på linje a i både punkt A og B. Linjene får navnene linje f og linje g. Side b i rektangelet ligger langs linje g (eller linje f). Lengden til side b avhenger av lengden til a, når omkretsen er bestemt. Velg Sirkel definert med sentrum og radius i punkt B for å finne ut hvor lang side b skal være. Skriv inn høyre delen av formelen for b (lengden av b, gitt a). Marker skjæringspunktene, og tegn rektangelet med Mangekant. Vis omkretsen og arealet til rektangelet. Omkretsen finner du ved å velge Avstand eller lengde og klikke i mangekanten. Arealet finner du ved å vise «Verdi» for mangekanten. Legg merke til at rektangelet bare har to blå punkter (punkter som elevene kan dra i). Det kommer av at bredden er avhengig av lengden (når elevene endrer på a, endrer b seg). Lagre figuren. Elevene kan teste svarene de fikk i tabellen ved å dra i ett av de blå punktene. Finn rektangelet med det største arealet. Hvor lange er sidene da? Aktivitet 3: Tegn arealet som en funksjon Oppgave 1 til elevene Finn en funksjon for arealet til et rektangel med omkrets 24. Gi den navnet R(x). Jobb videre med GeoGebra-fil fra aktivitet 2. Åpne Grafikkfelt 2 og klikk i feltet. Skriv funksjonen i Skrivefeltet. GeoGebra viser grafen i Grafikkfelt 2. Hva kaller vi en graf med denne formen? Koble sammen Grafikkfelt og Grafikkfelt 2 ved å skrive x = «navnet på lengden i rektangelet ditt» i Skrivefeltet. Finn skjæringspunktet mellom grafen og linjen. Hva forteller koordinatene til skjæringspunktet? Klassesamtale I helklassesamtale skal elevene forklare sammenhengen mellom de to vinduene (tegningen av rektangelet og grafen). Læreren må stille gode spørsmål som inviterer til tenking, for eksempel: Hva skjer med punktet på grafen når vi endrer lengden til rektangelet? Hva viser grafen? Hvor finner vi verdien av x-aksen i rektangelet? Hva betyr verdiene på y-aksen? Hvor finner vi dem i rektanglet? Hva betyr det at grafen er en parabel? Finn rektanglet med størst areal. Hvordan ser det ut? Hvorfor er det lurt å avgrense grafen til x-verdier mellom 0 og 12? Kommentarer til læreren Elevene skal bruke resultatene fra aktivitet 1 og 2 til å lage en funksjon som viser sammenhengen mellom arealet og omkretsen til rektangelet. Omkretsen til rektangelet er fortsatt 24. Elevene kjenner formelen for arealet til et rektangel og formelen for side b når omkretsen er 24. Ved å kombinere de to får elevene en formel for arealet til rektangelet som avhenger av lengden til side a. Formelen for arealet til et rektangel: A = a∙b Formelen for side b når omkretsen er 24: b = `(24-2a)/(2) = 12-a` Ved å sette inn uttrykket for b i formelen for A får elevene: A = `a(24 - 2a)/(2) = a(12-a)` Denne formelen kan elevene tegne i GeoGebra, men siden bokstaven A allerede er brukt i GeoGebra-filen, må funksjonen få et nytt navn, for eksempel R(x). Elevene får da følgende funksjon for arealet til et rektangel med omkrets 24: R(x) = x(12 - x) Dette er en fin anledning til å synliggjøre at dette er en kontinuerlig funksjon, i motsetning til tabellen med brikkene der funksjonen bare er definert for naturlige tall mellom 1 og 24. Forslag til fremgangsmåte i GeoGebra: Åpne filen med rektangelet med omkrets 24. Åpne Grafikkfelt 2 og klikk i grafikkfeltet for å aktivere det. Skriv funksjonen R(x) inn i Skrivefeltet og Grafikkfelt 2 viser funksjonen. Hvis den vises i Grafikkfelt, er Grafikkfelt 2 ikke aktivert. Slett funksjonen og prøv på nytt. Aktiver Grafikkfelt 2 og skriv x = a. GeoGebra tegner en loddrett linje. Finn skjæringspunktet mellom grafen og linjen. Gjør koordinatene synlige. Elevene må skrive x = a for å binde Grafikkfelt og Grafikkfelt 2 sammen. Det betyr at alle x-verdiene i Grafikkfelt 2 blir erstattet med verdien som a representerer (a er lengden av siden AB). På denne måten vil x-verdien i Grafikkfelt 2 endre seg når elevene endrer sidelengden i rektangelet. Aktiviteten lærer elevene å se sammenhengen mellom en graf og en geometrisk figur, og algebra er nødvendig for å klare å tegne figuren. Sammenhengen er dynamisk i den forstand at arealet til rektangelet endrer seg når vi flytter punktet på grafen. Årsaken er at ligningen x = a binder de to vinduene sammen, altså at x-koordinaten i Grafikkfelt 2 har samme verdi som lengden på linjestykke a i Grafikkfelt. Opplegget viser at praktisk bruk av algebra gir mening, noe som kan øke elevenes motivasjon for å lære et emne som mange oppfatter som veldig teoretisk. GeoGebra er kresen når det gjelder valg av bokstaver. Elevene kan ikke bruke den samme bokstaven som navn på ulike elementer. Det krever en nøyaktighet fra elevene som de ikke alltid er vant med, men som er viktig for senere læring. Utvidelse av oppgaven I dette opplegget er omkretsen 24, men det er også mulig å variere omkretsen. Da må elevene lage en Glider som de kan kalle for «omkrets», og så må de erstatte «24» i formlene med ordet «omkrets». Tips til alternativt undervisningsopplegg Dette undervisningsopplegget ser på sammenhengen mellom geometri, algebra og funksjoner. Dersom dere kun ønsker å se på sammenhengen mellom geometri og algebra, kan dere se på dette undervisningsopplegget: Rektangel med omkrets 24.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
