Forarbeid Elevene bør ha kjennskap til egenskaper ved geometriske former (sirkel, firkanter, trekanter). Gjennomføring av aktiviteten Elevene arbeider i grupper på fire. De fire elevene plasserer seg i et mønster slik at det bare er to forskjellige avstander mellom dem. Når elevene mener de har riktig plassering, legger de ned en stein eller annen gjenstand der de står og måler avstanden mellom gjenstandene. Avstanden mellom to gjenstander måles fra sentrum av gjenstandene. Elevene forklarer hvordan de har plassert seg og begrunner hvorfor løsningen er riktig. Diskuter om det finnes flere løsninger på problemet. Etterarbeid Elevene gjenskaper aktiviteten de gjorde ute, enten ved å bruke tellebrikker eller ved å utforske oppgaven ved hjelp av et dynamisk geometriprogram. Finnes det flere løsninger? Lærerveiledning Hensikten med oppgaven er å utvikle elevenes forståelse av geometri. Elevene skal bruke kunnskaper de har om geometriske former til å få dypere innsikt i avstander mellom punkter og linjer i figurene. De skal videre få øvelse i å lage skisser, konstruere med passer og linjal, og eventuelt tegne figurene i GeoGebra. Denne aktiviteten finner du også på mattelist.no, under tittelen Fire lys https://www.mattelist.no/425 Løsningsforslag:
Elevene bruker seg selv som konkreter. Spørsmålet de jobber ut fra: Hvor mange søsken har vi? Be elvene om å stå ved siden av hverandre på ei lang linje slik at de som er enebarn står ytterst til venstre, de som har en søsken følger etter disse, så to søsken, tre søsken osv. De teller halvsøsken etc som de vil. Dette behøver ikke nevnes hvis ingen spør, men vær raus. Det fungerer veldig godt og blir ekstra morsomt hvis det ikke er lov til å snakke mens de stiller opp. Da må de finne måter å spørre og svare hverandre på hvor mange søsken de andre har uten å bruke ord. Når alle mener de står på riktig plass, kan de spørre den de står ved siden av hvor mange søsken han/hun har for å se om de står på rett plass. Hvem står midt i rekka, og hvor mange søsken har hun/han? La elevene telle bortover i rekka ved å si høyt etter tur hvilket nummer de er i rekka, starte med 1 helt til vanstre. Be dem finne det midterste tallet. Det antall søsken denne personen har, kaller vi MEDIANEN i dette tallmaterialet. La elevene lære dette begrepet. Hvor mange søsken er det vanligste? Nå skal elevene stille på rekke med alle de som har samme antall søsken som dem selv. Det blir rekker ved siden av hverandre, noen orte og noen lange. Alle som står først i rekka si, gir hverandre hånden. Alle som står som nummer to gir hverandre hånden osv. De som ikke har noen rett ved siden av hverandre, blir stående uten å holde noen i hendene. Nå danner barna et levende søylediagram! Det antall søsken som alle de som står i den lengste rekka har, kalles TYPETALLET. NB! Det kan være mer enn ett typetall. Strekk tauet mellom de som står bakerst i hver rekke. Tauet danner et kurvediagram. Hvor mange barn ville det vært i hver familie hvis alle barna skulle fordeles likt mellom familiene (gjennomsnitt)? La elevene regne ut fortløpende hvor mange barn det ville være der hvis alle søskenene var til stede. De som er enebarn begynner å telle etter tur: 1-2-3 osv til det ikke er fler enebarn, så fortsetter de med en søsken og øker med 2 for hver gang, så de med 3 barn i familien osv, til alle barna er summert. Utfordring: Når vi nå vet hvor mange familier det er (antall barn til stede, hvis det ikke er noen søsken i klassen). Hvis vi skal ”dele ut” like mange barn til hver familie, hvor mange blir det på hver? La dem gjerne bruke hvlpemidler som tellemateriale. Her går det sikkert ikke opp, og dere vil få en diskusjone om halve og kvarte barn osv, Hva betyr det at gjennomsnittet ikke er et helt tall når det bare går an å ha et helt antall barn? Dokumentering og oppsummering Når elevene er tilbake på plassene sine, skal de tegne det de har gjort og skrive ned resultatene med forklaringer. Samtal med elevene om de matematiske begrepene som er brukt i opplegget. Utvid aktiviteten Gjenta opplegget flere ganger med andre undersøkelser som har med de enkelte elevene å gjøre. For eksempel: Når har dere bursdag? Hvor mange har rød genser, blå genser, hvit genser osv? Hvor mange tenner har dere mistet? Hvor mange kjeledyr har dere? Osv La elevene finne på selv også. Hver gang minner dere om de begrepene som kan knyttes til denne form for statistikk. (Median, typetall, søylesiagram, kurvediagram, gjennomsnitt)
Dette er en matematisk olympiade med sju øvelser/poster som omhandler måling. Olympiaden gjennomføres ute. Elevene arbeider i grupper og gjennomfører alle sju postene i gruppene. Bli enige om reglene på forhånd. Gruppene kan starte på hver sin post og gå videre til neste post når de er ferdige. Dersom det er ei gruppe på posten de kommer til, må de vente eller gå videre til neste post. Dere kan også velge at alle gruppene med lærer gjør hver post samtidig. Dette kommer an på antall elever, lærere, uteareal og tilgang på utstyr. Det passer godt å ha en lærer tilstede på øvelse 6. Hver elev eller gruppe fyller ut et svarark (vedlegg 1). Svararkene danner grunnlag for oppsummering i plenum når dere har gjennomført olympiaden. Lærerveiledning Her følger en kort beskrivelse av hver øvelse: Øvelse Aktivitet Tema og beskrivelse Utstyr 1 Størst mulig flate Areal Øvelse: Tauet er 8 meter langt. Lag en figur med så stor flate som mulig med tauet. Tegn en skisse av figuren som dere mener har størst mulig flate på svararket. Sett mål skissen 8 m tau Kvadratmeter Måleband 2 Fulltreffer Lengde (m, dm, cm) Øvelse: Den lille kulen er plassert et stykke unna streken de som kaster står bak. Hver elev kaster ei kule der de prøver å komme så nærme den minste kula som mulig. Summer avstanden til de tre nærmeste kulene og skriv på svarkortet. Det er om å gjøre å få minst mulig sum. 4 – 5 bocciakuler og ei lita kule 3 Halvliter`n Volum (desiliter) Øvelse: Gruppen får tre poser som dere skal fylle med vann. Tilsammen skal det være en halv liter vann. Alle tre posene skal inneholde vann. Når dere har blitt enige om at dere har funnet en halv liter, kontrollerer dere svaret med litermålet og skriver hvor mye vann dere hadde i posene på svararket. Ev. kan læreren kontrollere. 3 poser per gruppe, liter eller halvlitermål, vanntank/kran eller bøtte. 4 Hvor langt? Lengde (m, dm, cm) Lærer har på forhånd markert punktene A og B. Øvelse: Anslå hvor langt det er fra A til B og skriv svaret på svararket. Målebånd til læreren når A og B plasseres ut. 5 Hvor lenge er ett minutt? Tid (minutt, sekund) Øvelse: En elev på gruppa styrer stoppeklokka (eventuelt en lærer). Elevene på gruppa tar ett skritt fram når de mener det har gått ett minutt. Finn differensen mellom tida og ett minutt. Summer alle differensene i gruppa. Det er om å gjøre å få lavest mulig sum. Stoppeklokke 6 Presisjons-stafett Tid (minutt, sekund) Øvelse: Elevene i en gruppe skal i tur og orden gå en bestemt lengde og gruppa skal tilsammen bruke tre minutter. De får oppgitt mellomtidene etter at hver deltaker har fullført slik at de kan diskutere strategi og muligheter for å justere farten sin. Lærer skriver ned differansen mellom tiden gruppa bruker og tre minutter på svarkortet. Stoppeklokke 7 Hva har størst areal? Areal Lærer har på forhånd klipt ut figurer i gråpapir, voksduk, dusjforheng eller lignende som er lagt ut på posten. Sett navn på figurene (A, B, C osv). Øvelse: Elevene skal sortere figurene etter største areal. De kan bruke kvadratmetermatten til å vurdere størrelsene. Skriv bokstavene på figurene i rekkefølge, fra minst til størst areal. Kvadratmetermatte, figurer (ulik størrelse/med ulikt areal). Geometriske figurer laget av dusjforheng/voksduk som er markert med bokstaver med tusj. Spørsmål som kan passe til oppsummering: Hva var vanskelig? Og hva var lett? Hvorfor? Hvordan tenkte dere da dere løste oppgaven? Se på de ulike resultatene – hva er likt og hva er forskjellig? Hvilke begreper hadde dere behov for når dere samarbeidet? Prøvde dere noe som ikke fungerte så godt? Hva var grunnen til at det ikke fungerte så godt og hvilke endringer gjorde dere? Er det noen som vil si noe om øvelsene på denne posten/postene? Er det noen som vil tilføye noe?
Elevene skal plassere seg selv på steder ut fra instruksjoner fra læreren. Elevene skal diskutere hvordan de står plassert, og finne de riktige begrepene for å beskrive de geometriske stedene. De bør komme fram til sirkel (sirkelperiferien, omkretsen), midtnormal og parallelle linjer. Målet er å få fram sentrale egenskaper ved de geometriske stedene som blir dannet 1. Elev A får beskjed om å stille seg på et gitt punkt. Elev B får beskjed om å stille seg cirka to meter fra elev A. De andre elevene skal deretter stille med samme avstand fra elev A som elev B har gjort. Når alle elevene har stilt seg opp, skal de ha en samtale om hvordan de er plassert. 2. Elev A og elev B får beskjed om å stille seg på hvert sitt sted med cirka tre meters mellomrom. De andre elevene får beskjed om å stille seg et sted der de står like langt fra elev A som fra elev B. Når alle elevene har stilt seg opp, skal de ha en samtale om hvordan de er plassert. 3. Læreren lager ei linje på bakken (med tau eller med kritt på asfalten). Alle elevene får beskjed om å stille seg (omtrent) to meter fra linja. Når alle elevene har stilt seg opp, skal de ha en samtale om hvordan de er plassert. Lærerveiledning Elevene skal øve seg i å bruke presise begreper og forklare og begrunne egenskaper ved og sammenhenger mellom geometriske steder. Aktiviteten kan også brukes til å introdusere begrepene gjennom å studere egenskapene ved de geometriske stedene. Mulig tilnærming til oppgaven Hele klassen deltar i en felles aktivitet ute. Etterarbeidet foregår i klasserommet i små grupper, med felles oppsummering i klassen. Ta med hele klassen ut i skolegården eller til et annet egnet uteområde. Læreren gir introduksjonene og leder diskusjonen om hvordan elevene har plassert seg. Hvor er det mulig å stå? Hvilke figurer/mønster danner elevene? Hvilke egenskaper kjennetegner de geometriske stedene? Oppgave1 Elev B står to meter fra A. Resten av elevene kan stå alle steder som er to meter fra (cirka to meter). Elevene står på sirkelperiferien eller på omkretsen av sirkelen. De danner en figur med radius to meter. Alle punktene med en bestemt avstand til A, danner en sirkel med sentrum i A. Oppgave 2 Elevene kan stå alle steder som er like langt fra A som fra B. Resten av elevene danner ei rett linje mellom elev A og elev B (blå linje på figuren). Alle punkter som ligger like langt fra A som fra B, danner midtnormalen til AB. Oppgave 3 Elevene kan stå alle steder som er to meter fra linja på bakken (blå linje). Elevene danner ei rett linje som er parallell til denne linja. Alle punkter som ligger to meter fra denne linja vil ligge på ei parallell linje (grønne linjer). Som figuren viser, kan er det to parallelle linjer, en på hver side av den blå linja. Når dere er ferdig med oppgavene 1– 3, kan dere fortsette arbeidet inne (enten umiddelbart eller i neste matematikkøkt). Etterarbeid: Elevene rekonstruerer aktivitetene de gjorde ute. Det kan skje ved bruk av plastbrikker og tegninger. Brikkene representerer elevene. Elevene legger opp brikkene på samme måte som de stilte seg opp ute, og elevene kan tegne figurene/de geometriske stedene. Elevene skal diskutere det de har tegnet, og finne de riktige begrepene/navnene på det de har tegnet. De bør komme fram til sirkel, midtnormal og parallelle linjer (har de fått med seg begge to?). Deretter kan elevene konstruere de geometriske stedene ved hjelp av passer og linjal eller et dynamisk geometriprogram. Aktiviteten følges opp med samtale undervegs om begrep og bevisstgjøring av egenskaper til de geometriske stedene. Få fram elevenes tanker og hvordan de nærmet seg løsningene, ikke bare det endelige resultatet. Bruk riktige begreper, og utfordre elevene til å være presise når de snakker og skriver. Forslag til flere geometriske steder og utvidelse av aktiviteten finne du på mattelist.no: https://www.mattelist.no/430
Forarbeid Aktiviteten krever ikke noe spesielt forarbeid. Gjennomføring av aktiviteten Læreren presenterer oppgaven muntlig. Elevene kan be om å få opplysninger gjentatt og eventuelt notere stikkord. Finn 30 kongler. Fordel konglene i fem grupper etter følgende opplysninger: I den første og den andre gruppen er det til sammen 14 kongler. I den andre og den tredje gruppen er det til sammen 10 kongler. I den tredje og den fjerde gruppen er det til sammen 9 kongler, og i den fjerde og den femte gruppen er det til sammen 12 kongler. Hvordan tenkte dere for å finne antall kongler i hver gruppe? Etterarbeid (inne) Elevene gjenskaper aktiviteten, og presenterer løsningene for hverandre. Har alle tenkt likt? Lag lignende oppgaver til hverandre. Lærerveiledning Hvordan tror du elevene dine vil løse oppgaven? Er det en spesiell problemløsingsstrategi du ønsker å fremheve under oppsummeringen av oppgaven? Hvordan startet elevene? Hvordan resonnerte de i fortsettelsen? Diskuter likheter og forskjeller mellom strategiene elevene har brukt.
Lag et stort rektangel som skal forestille omrisset til et blomsterbed. Finn kongler, pinner, steiner, blader eller lignende som skal forestille de enkelte blomstene i bedet. Elevene skal arbeide i par eller små grupper og dele blomsterbedet etter følgende opplysninger: Det skal være tulipaner i halve blomsterbedet. I tre firedeler av resten av bedet skal det være snøklokker. Det skal være pinseliljer i halvparten av det som er igjen. I resten av bedet skal det være påskeliljer. I hvor stor del av hele blomsterbedet er det påskeliljer? Hvordan tenkte dere da dere delte inn blomsterbedet i de ulike områdene? Er det noen som tenkte annerledes? Hva er likt og hva er forskjellig i de ulike bedene? Elevene skal forklare og begrunne løsningene sine for de andre gruppene. Lærerveiledning Forarbeid: Elevene bør ha arbeidet med brøkbegrepet før de gjør aktiviteten. Finn fram nødvendig utstyr og velg et uteareal som passer til aktiviteten. Gjennomføring av aktiviteten: Elevene arbeider i par eller små grupper. Hver gruppe lager et rektangel som representerer blomsterbedet ved hjelp av kritt, tau eller pinner og tape. Rektanglet kan også tegnes i sand. Elevene skal følge instruksjonene i oppgaven, plassere «blomster» i de ulike delene, og finne ut hvor stor del av hele blomsterbedet som kan brukes til påskeliljer. Elevene skal forklare og begrunne løsningene sine. Eksempel på løsning: Etterarbeid inne: Elevene skal arbeide i de samme gruppene som ute. De skal lage en tegning av bedet de lagde, og skrive navn på blomstene i de ulike områdene. Hvor stor del av bedet er tulipaner, snøklokker, pinseliljer og påskeliljer? Hvordan kan du skrive det? Eksempel på skriftliggjøring: Tulipaner: `(1)/(2)` bed Snøklokker: `(3)/(4)` av `(1)/(2)` bed = `(3)/(8)` av hele bedet Pinseliljer: `(1)/(2)` av `(1)/(8)` bed = `(1)/(16)` av hele bedet. Påskelinjer: `(1)/(16)` av hele bedet. Områdene til tulipaner, snøklokker og pinseliljer blir til sammen: `(3)/(8)` + `(1)/(16)` = `(8)/(16)` + `(6)/(16)` + `(1)/(16)`= `(15)/(16)` Område til påskeliljene blir `(16)/(16)` -`(15)/(16)` = `(1)/(16)` av hele blomsterbedet. Utvidelse/endring av oppgaven: 1) Endre spørsmålet: Hvor mange prosent av blomsterbedet er påskeliljer? Vise og forklare svaret ut fra blomsterbedet de har laget (figuren) Symbolsk: Påskeliljer: `(16)/(16)` -`(15)/(16)` = `(1)/(16)` og `(1)/(16)` = 0,0625 = 6,25 % Diskuter sammenhengen mellom brøk og prosent. 2) Endre alle opplysninger i oppgaven til prosenter i stedet for brøkdeler.
Lag grupper med åtte elever. Elevene skal lage et 3x3 rutenett og stille seg i hver sin rute. Et av hjørnene i rutenettet skal være tomt. Målet er at eleven som står i det motsatte hjørnet (diagonalt), til slutt skal stå i den ruta som er tom ved start. Det kan til enhver tid være kun en elev i hver rute. Elevene må bli enige om strategi (hvem skal/kan flytte seg for hvert flytt). Ett flytt betyr at en av elevene flytter seg til en tom rute, enten ved å gå fram, tilbake, til høyre eller til venstre. Elevene må holde rede på hvor mange flytt de trenger å ta for å nå målet. Hvor mange flytt er det mulig å klare det på? Figuren illustrerer åtte elever i et 3x3 rutenett, hvor ruta i et hjørne er ledig. Målet er at elevene med capsen til slutt skal stå i den ruta som er ledig ved start. Lærerveiledning Forarbeid: Aktiviteten krever ikke annet forarbeid enn at elevene lager rutenettet ute. Gjennomføring av aktiviteten: I denne aktiviteten skal elevene bli enige om en strategi for å finne færrest mulig antall flytt i rutenettet. Utvidelse av oppgaven – generalisering: Utvidelsen av rutenettet og testing av antall flytt kan gjøres ute eller inne. Inne kan elevene tegne rutenettet og bruke plastbrikker å flytte på. Elevene kan lage hypoteser og teste om de stemmer. Eksempler på spørsmål Hvordan blir det hvis vi utvider rutenettet til 16 (4x4) ruter og øker til 15 elever? Hva hvis det er 25 (5x5) ruter og 24 elever, eller 36 ruter og 35 elever? Kan dere beskrive sammenhengen mellom størrelsen på rutenettet og antall flytt? Kan dere uttrykke denne sammenhengen generelt? Læreren observerer hvilke strategier elevene bruker. Et hint til elevene kan være å arbeide systematisk og lete etter mønster ved for eksempel å lage en tabell. Hvor mange flytt? Rutenett Antall flytt Differanse i antall flytt mellom rutenettene Sammenhengen mellom rutenett og antall flytt 2 x 2 5 8 8 · 2 - 11 3 x 3 13 8 8 · 3 - 11 4 x 4 21 8 8 · 4 - 11 5 x 5 29 8 8 · 5 - 11 n x n 8 · n - 11 Utvidelse av oppgaven – algoritmisk tenking: Denne utvidelsen kan være et etterarbeid, og kan foregå vekselsvis inne (lage og justere algoritmer) og ute (teste algoritmene). Elevene skal lage en algoritme som beskriver forflyttingen i 3x3 rutenettet (en trinnvis beskrivelse). Målet er at eleven som starter i rute nummer 1 til slutt skal stå i rute nummer 9. Alle elevene starter med ansiktet vendt samme vei. Elevene kan gå enten gå fram eller tilbake, snu seg til høyre eller til venstre. En og en elev utfører en handling om gangen, dvs enten snu seg eller gå. Når algoritmen er ferdig, må den testes og eventuelt justeres. Testing og justering gjentas til algoritmen fungerer. Elevene må selv finne ut hvilken notasjon de vil bruke (tekst, tegninger eller symboler). Elev i rute 6 går fram (rute 9) Elev i rute 5 snur mot venstre Elev i rute 5 går fram (rute 6) … …
{"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/420850351.jpg?itok=NRWBCYCW","video_url":"https://vimeo.com/420850351","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Aktivitet Aktiviteten egner seg til å introdusere variabelbegrepet og symbolsk algebra. Læreren starter med å gå med normal skrittlengde og fot, og elevene skal beskrive hendelsen med egne ord og symbolsk. Etter at elevene har etablert en forståelse for hva symbolene representerer, skal de arbeide sammen to og to. De skal lage algebraiske uttrykk for hverandre, finne ut hvor langt de har gått og diskutere hvorfor samme uttrykk gir ulike avstander. Se lærerveiledning for gjennomføring og forslag til etterarbeid. Lærerveiledning Vi bruker ofte bokstaver for tall som varierer. Utfordringen for mange elever er å forstå at bokstavene er variabler, og ikke en forkortelse for selve objektet eller handlingen. Elevene møter ofte oppgaver med variabler som de ikke har noe forhold til. Eksempel på oppgave fra læreboka kan være: Gjør uttrykket enklere: 15y – 3x + 4 + y – 5 Aktiviteten Skritt og fot gir en alternativ innfallsvinkel til algebra. Elevene skal beskrive en praktisk hendelse de selv er med på, med egne ord og med tall og variabler. Aktiviteten er ment å skape undring hos elevene, der de må reflektere over hvorfor samme uttrykk gir ulike resultat. Læreren introduserer aktiviteten og drøfter med elevene hva som ligger i begrepene skritt og fot i denne sammenhengen, og det må konkluderes med at det egentlig er snakk om skrittlengde og fotlengde. Aktiviteten skal bidra til en forståelse for at s og f er variabler, og at avstanden vil variere avhengig av skrittlengde og fotlengde til de som utfører handlingen. Felles aktivitet, ledet av lærer. Læreren stiller seg opp foran gruppa, går tre like lange skritt framover og stopper opp. Så tar læreren to nye skritt, og ber elevene beskrive de som skjedde. Et eksempel kan være: Du gikk tre skritt forover og deretter to skritt til forover. Læreren setter en fot foran og tett inntil den andre, og elevene foreslår at dette kan beskrives som fot (miniskritt, museskritt eller lignende). Læreren går fire fot framover, stopper opp og ber elevene beskrive det som skjer. Læreren skriver det elevene sier. Det kan for eksempel være: Du gikk tre skritt forover, deretter to skritt og fire fot (retorisk algebra - matematiske oppgaver skrevet med vanlige ord). Dersom forslaget ikke kommer fra elevene, kan læreren spørre om det samme kan utrykkes på denne måten: 3 skritt + 2 skritt + 4 fot (synkopert algebra – blanding av tekst og symboler). Handlingen kan også utrykkes som 3s + 2s + 4f (symbolsk algebra). Elevene kan bruke andre bokstaver, for eksempel 3a + 2a + 4b, så lenge det kommer fram hva bokstavene representerer. Læreren går på nytt og ber elevene skrive hva som skjer (læreren går slik: 2s + 5f – s + 3f – 2s). Samtale om hvordan elevene har beskrevet hendelsen. Læreren ber en elev om å starte på samme sted og gå etter samme uttrykk (2s + 5f – s + 3f – 2s). Eleven ender opp et annet sted enn læreren. Elevene diskuterer årsaker. Avstanden de gikk var ulik fordi de har ulik skritt- og fotlengde. Størrelser som kan variere kaller vi variabler, og vi bruker ofte bokstaver for variable størrelser. I denne sammenhengen vil det si at vi kan bruke samme utrykk uansett hvem som går, i stedet for at alle lager hvert sitt regnestykke. Elevene kan prøve å finne ut om læreren kunne oppnådd det samme ved gå på en annen måte, ved å se på uttrykket: 2s + 5f – s + 3f – 2s. De kommer fram til at 2s + 5f – s + 3f – 2s er det samme som 8f – s. Læreren sjekker ved å gå 8f – s og ser om hun ender opp på samme sted som sist. Kort oppsummering med elevene. Få fram at uttrykket beskriver lengden på den avstanden man går, og at den avhenger av skritt- og fotlengde i tillegg til antall skritt/fot man går. Elevene arbeider i par eller små grupper Etter at det er etablert en forståelse for hva bokstavene uttrykker, arbeider elevene sammen to og to. De blir enige om en beskrivelse av hvordan de skal gå, for eksempel utrykket 5s + 7f – 2s + 3f – s. Elevene starter samme sted og går etter samme beskrivelse. Ender de opp på samme sted? Hvorfor er ikke 5s + 7f – 2s + 3f – s alltid samme lengde? Hva er det som varierer? Elevene skal beregne sin egen gjennomsnittlige skrittlengde ved å gå 10 skritt og måle avstanden. De måler lengden til sin egen fot og beregner hvor langt de har gått ved å sette inn verdiene for s og f i utrykkene 5s + 7f – 2s + 3f – s eller 2s + 10f. Eksempler: Ida: 3,5 meter Gjennomsnittlig skrittlengde: 60 cm Fotlengde: 23 cm 5s + 7f - 2s + 3f - s = 5 · 60 + 7 · 23 - 2 · 60 + 3 · 23 - 60 = 350 Arne: Omtrent 4 meter Gjennomsnittlig skrittlengde: 67 cm Fotlengde: 27 km 2s + 10f = 2 · 67 + 10 · 27 = 404 Elevene lager et nytt uttrykk, bruker verdiene for egne skritt og fot og beregner avstanden. Deretter går de slik uttrykket beskriver og måler lengden fra startstedet til stedet de stopper. Hvordan passer beregnet avstand med målt avstand? Hva kan årsaken til eventuell forskjell være? Elevene ser om de kan gjøre uttrykket enklere, og sjekker om de da ender opp på samme sted som sist. Elevgruppene kan lage og bytte algoritmer med hverandre, og prøve å gå slik algoritmene beskriver. Før de går, kan de prøve å gjøre uttrykkene så enkle som mulig. Om ønskelig kan aktiviteten brukes som et innspill i diskusjon om behovet for standardiserte enheter. Fot er en eldre lengdeenhet som opprinnelig er basert på en gjennomsnittlig fotsåle, ca 30 cm. Lengden av en fot varierte mye fra sted til sted. For eksempel var den sumeriske fot omtrent lik 26 cm, mens den opprinnelige russiske fut var hele 35 cm. De store variasjonene i enhetsverdien var en av de viktigste årsakene til at arbeidet med felles internasjonale målenheter ble igangsatt på 1600-tallet. Enheten fot ble avviklet i Norge da metersystemet ble innført i 1875. Nå brukes enheten normalt i betydningen britisk foot, som etter 1959 har verdien 30,48 cm. (Store norske leksikon) Etterarbeid La elevene arbeide med oppgaver i boka, som for eksempel: Gjør uttrykkene enklere: a – 2b + 4a + 7b – 3a + b 15y – 3x + 4 + y – 5 Knytt utrykkene til Skritt og fot og diskuter begrepet variabler. Hva kan a og b, x og y representere? Hva kan tallene 4 og 5 være dersom beskrivelsen er av en lignende hendelse?
{"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/421428317.jpg?itok=So2Tg1P2","video_url":"https://vimeo.com/421428317","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Aktivitet Flaskene plasseres i et trekantmønster i enden av «banen». Hver elev får minst ett forsøk på å velte så mange flasker som mulig, ved å for eksempel trille en ball. Elevene noterer poengene sine. Dersom det er flere grupper som spiller på hver sin bane, kan gruppene konkurrere mot hverandre. Vinneren kan være eleven eller gruppene høyest poengsum, de som er nærmest et måltall eller medianen, eller etter andre kriterier. Lærerveiledning Forarbeid: Praktiske forberedelser med flasker og klistremerker/tallkort. Diskutere regler og elevene må vite hva og hvordan de skal notere poeng og eventuelle utregninger. Læreren kan velge det faglige innholdet etter tema eller nivå. Tallene på flaskene kan være heltall, desimaltall, brøker eller prosenter, positive eller negative tall. I stedet for tall kan læreren velge å bruke bokstaver eller algebraiske uttrykk på flaskene. Gjennomføring av aktiviteten: Her er noen forslag til faglig innhold og gjennomføring. Velg det som passer best til elevene dine. Summer (eller multipliser) tallene som står på flaskene som er veltet. Summer tallene på flaskene som er veltet, og trekk fra summen på de som står igjen. Bruk tallene på flaskene som er veltet og de fire regneartene til å komme nærmest mulig et måltall. Noter bokstavene eller utrykkene på flaskene som veltet. Trekk et kort for å få vite verdiene på bokstavene. Beregn poeng. Læreren observerer elevene, lytter til forklaringer og resonnement og stiller spørsmål til hvordan elevene tenker. Etterarbeid: Ta utgangspunkt i noen kast elevene gjorde ute. Eksempler på spørsmål: Hvordan tenkte du dere da du kom fram til svaret? Var det noen som tenkte annerledes? Hvordan vil dere skrive regnestykket? Kan vi komme nærmere måltallet med de samme tallene? Disse to tenkemåtene/skrivemåtene kan være et fint utgangspunkt for en matematisk samtale med elevene. Det kan dreie seg om likhetstegnets betydning, hvordan hele operasjonen kan utrykkes i ett regnestykke, regnetegn, fortegn og bruk av parenteser. Eksempel 1: Elevene skulle summere tallene på flaskene som veltet. I et av kastene til Anne, veltet fire flasker. På de fire flaskene stod tallene 5, -2, 7 og 3. Anne summerte i hodet: Sju og tre er ti, pluss fem er 15, minus 2 er 13. Hvordan vil elevene uttrykke regnestykket skriftlig når tallene skal summeres? Eksempel 2: Elevene skulle bruke de fire regneartene og komme så nærme et måltall som mulig. I en av omgangene var måltallet 25. Oda veltet fem flasker, med tallene 2, 7, 5, -3, 6. Oda tenkte: To multiplisert med sju er 14, pluss fem er 19, pluss seks er 25, minus tre er 22. Hvordan vil elevene utrykke dette skriftlig? Kan de komme nærmere måltallet med de samme tallene ved å endre rekkefølge og/eller regnearter? Eksempel 3: I dette eksemplet var det bokstaver og algebraiske uttrykk på flaskene. Etter hvert kast fikk elevene trekke et kort for å vite verdiene på bokstavene. I første runde veltet tre flasker da Ole kastet. De tre flaskene har utrykkene (a + 2b), a og b2. Ole noterte utrykkene og trakk et kort der det stod a= 4 og b = 1. Ole regnet i hodet og fikk 11 til svar. Hvordan vil elevene utrykke regnestykket skriftlig? Hva hvis verdien av en eller begge bokstavene var negative?
Aktivitetene bygger på oppgaver hentet fra https://undergroundmathematics.org/quadratics/geogebra-constructions-quadratic. Elevene jobber på hver sin PC. De sitter sammen i små grupper (2-4 elever) slik at de kan diskutere. Utgangspunktet for opplegget er de tre ulike uttrykk som alle representerer en andregradsfunksjon: `f(x)=ax^(2)+bx+c` `f(x)=k(x-r)(x-s)` `f(x)=t(x-m)^(2)+n` Opplegget krever at elevene kjenner fordelene til de ulike skrivemåtene, og dette har de jobbet grundig med i Utforske andregradsfunksjoner 1. For eksempel at de kan lese av konstantleddet direkte fra uttrykk 1, at de kan lese av nullpunktene fra uttrykk 2 og at de kan lese av ekstremalpunktet fra uttrykk 3. 1. `f(x)=ax^(2)+bx+c` Skjæring med y-aksen Om grafen har topp- eller bunnpunkt 2. `f(x)=k(x-r)(x-s)` Nullpunkt Om grafen har topp- eller bunnpunkt 3. `f(x)=t(x-m)^(2)+n` Ekstremalpunkt Om grafen har topp- eller bunnpunkt Elevene åpner en ny fil i GeoGebra når de starter på en ny aktivitet. Det er viktig for å unngå konflikter med bruk av bokstaver. Aktivitet 1 Dette opplegget krever bruk av algebra og gode kunnskaper i GeoGebra. Vi anbefaler derfor at klassen gjennomfører denne aktiviteten i fellesskap slik at alle elevene er kjent med hvordan de skriver inn punkter i et funksjonsuttrykk i GeoGebra. Åpne GeoGebra. Sett et punkt A på y-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktet og som følger med når du flytter på punktet. Kommentarer til læreren Elevene kan gjerne forsøke litt selv først. De vet at en funksjon `f(x)=ax^(2)+bx+c` skjærer y-aksen i punktet (0, c), men utfordringen er å bruke GeoGebra slik at grafen «henger fast» i punktet elevene har valgt. Mange elever vil skrive inn funksjonen, lage glidere og flytte på gliderne til funksjonen går gjennom punktet. Men da vil ikke grafen følge med når elevene flytter på punktet. Elevene må i stedet knytte y-verdien til punktet på y-aksen med c-verdien i funksjonsuttrykket. Det gjør de ved å skrive `f(x)=ax^(2)+bx+y(A)` og lage glidere for a og b. I GeoGebra gir y(A) y-verdien til punkt A og x(A) gir x-verdien til A. Grafen følger med når elevene beveger på punktet. Aktivitet 2 Elevene skal tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter som ligger på x-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom begge punktene. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn to punkter A og B på x-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A og B. Flytt på punktene A og B. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter. Elevene er mest vant til å få oppgitt andregradsfunksjonen, mens i denne aktiviteten skal de finne en andregradsfunksjon som passer til to punkter på x-aksen. Dette er en innfallsvinkel som kan gi elevene en dypere forståelse av andregradsfunksjoner. De fleste elevene vet at nullpunkter er punkter hvor y-verdien er null, men mange vil ha problemer med å bruke den informasjonen når de skal løse oppgaven i GeoGebra. Her må elevene bruke det de har lært i aktivitet 1 for at grafen skal følge etter. Hvis elevene skal lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter, er det lettest å ta utgangspunkt i det andre uttrykket for andregradsfunksjoner, nemlig `f(x)=k(x-r)(x-s)` hvor r er x-verdien til nullpunkt A (r, 0) og s er x-verdien til nullpunkt B (s, 0). Parameter k kan de ikke erstatte og den blir derfor en glider. Det kan være interessant for elever som blir raskt ferdig å se hva som skjer når k endrer verdi. Noen elever vil bli overrasket over å se at det finnes uendelig mange grafer som går gjennom de to punktene på x-aksen. Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 3, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig. Forslag til fremgangsmåte: Tegn to punkter A og B på x-aksen. Punktene skal være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)` , der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B. Funksjonen blir dermed: `f(x)=k(x-x(A))(x-x(B))`. Parameter k blir til en glider. Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A og B når du flytter på punktene. Aktivitet 3 I denne aktiviteten skal elevene tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter på x-aksen og ett punkt på y-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom de tre punktene. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn to punkter på A og B på x-aksen og punkt C på y-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A, B og C. Flytt på punktene A, B og C. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten vil mange elever ta utgangspunkt i resultatet fra aktivitet 2. De har antakeligvis oppdaget at k-verdien endrer krumningen til grafen, og dermed også hvor grafen krysser y-aksen. Elevene må finne ut hvilken k-verdi som gjør at grafen krysser y-aksen i punkt C, og da må de bruke algebra. Hvis elevene står fast, kan læreren hjelpe dem til å finne sammenhengen mellom y-verdien til funksjonen når x = 0 og y-koordinaten til punkt C. I motsetning til grafen i aktivitet 2, er denne grafen entydig. Elever som trenger utfordringer kan gjerne forklare hvorfor det er slik. Forslag til fremgangsmåte: Tegn punktene A (r, 0) og B (s, 0) på x-aksen og punkt C (0, c) på y-aksen. Punktene A og B skal fortsatt være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)`, der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B. Verdien til k forteller hvor mye grafen bøyer seg, og elevene skal finne k som gjør at krumningen blir slik at grafen går gjennom punkt C (0, c) på y-aksen. Vi setter x = 0 og f(0) = c. Det gir ligningen: c = k(0-r)(0-s) som forenkles til `k = (c)/(rs)`. Funksjonen blir dermed: `f(x)=(y(C))/(x(A)·x(B))(x-x(A))(x-x(B))` Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A, B og C når du beveger på punktene. Aktivitet 4 Elevene skal nå finne en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt. Grafen skal følge etter når elevene flytter punktet. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn ett punkt A. Tegn en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt. Flytt på punkt A. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren Elevene har arbeidet med fordelene til uttrykket i Utforske andregradsfunksjoner 1, og nå skal de ta i bruk det de har lært. I denne aktiviteten er uttrykk 3 mest hensiktsmessig å bruke. Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 2, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig. Denne grafen er ikke entydig. Elevene kan finne nye grafer ved å endre på t-verdien. Forslag til fremgangsmåte I uttrykket `f(x)=t(x-m)^(2)+n` er punkt (m, n) ekstremalpunktet til grafen, Lag et vilkårlig punkt A. `f(x)=t(x-x(A))^(2)+y(A)`er da en funksjon som har A som ekstremalpunkt. Parameter t blir til en glider. Oppsummering I oppsummeringen forteller elevgruppene hvordan de arbeidet, hvilke funksjonsuttrykk de brukte og hvorfor. Læreren setter fokus på hensiktsmessig bruk av de tre skrivemåtene for funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
