I dette opplegget skal elevene undersøke den momentane vekstfarten til polynomfunksjoner og etter hvert bli kjent med begrepet derivasjon. Begrepene momentan vekstfart i punktet og stigningstallet til tangenten i punktet er sentrale. Bruk begrepene hyppig i samtale med elevene. Målet er at de til slutt vet at derivasjon faktisk er å finne momentan vekstfart til en funksjon i et punkt, at vekstfarten representeres ved stigningstallet til tangenten i punktet, og at det er denne vekstfarten vi kaller den deriverte til funksjonen i punktet. De skal ikke bare assosiere derivasjon med derivasjonsreglene de etter hvert lærer. Merk at vi ikke innfører selve ordet derivasjon før elevene har arbeidet med opplegget en god stund. Elevene skal oppdage mønstrene selv. Nesten alle tabellene har tomme rader hvor elevene kan velge egne x-verdier eller funksjoner. Når elevene tror de har funnet et mønster, kan de selv teste om det stemmer for andre tilfeller. Hvis mønsteret elevene har funnet er feil, kan samme metode avsløre at noe ikke stemmer, og at de må studere problemet på nytt. Utfordre elevene til å prøve seg frem. Mens de arbeider, har læreren mulighet til å gå rundt og observere og snakke med dem. Prøv å oppmuntre elevene, og sett dem på sporet uten å gi dem løsningene. Det er fornuftig å ta noen stopp underveis der klassen snakker sammen om det de arbeider med, og det de har kommet frem til. Hvis læreren ønsker at noen elever skal presentere egne løsninger for klassen, er det lurt å avtale dette på forhånd. Aktivitet 1 Elevene starter med aktivitet 1 på elevarket. De skal tegne polynomfunksjoner i GeoGebra og undersøke stigningstallet til tangenten i gitte punkter. Målet er at de skal finne et mønster for stigningstallet til tangentene. For alle funksjonene gjelder følgende: Lag en ny fil i GeoGebra til hver funksjon. Lag et punkt på grafen og tegn tangenten til grafen i punktet. Tips: Verktøyet Stigning viser stigningstallet til tangenten. Dra i punktet for å finne stigningstallet til tangenten i gitte punkter. Noter i skjemaet. Kan du gjette hva stigningstallet til tangenten vil bli i et annet punkt på grafen? Skriv det du gjetter i skjemaet og kontroller etterpå i GeoGebra. Kommentarer til læreren La elevene arbeide i eget tempo og oppsummer i helklasse etterpå. Hvilke mønster har elevene funnet? Hvordan har de beskrevet mønstrene? Har de brukt ord, symboler eller kanskje en tegning? Skriv opp forslagene på tavla. Diskuter likheter og ulikheter. For eksempel er «Jeg dobler x’en» eller «2x» to representasjoner av samme uttrykk. I begynnelsen bruker elevene ofte begge representasjonene, men etter hvert vil nok de fleste synes det enklest å beskrive mønsteret med et algebraisk uttrykk. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene sammenligne utvalgte funksjoner. Målet er at de skal finne ut hvordan små endringer i funksjonsuttrykket påvirker stigningstallet til tangenten. Kommentarer til læreren Elevene tegner tre og tre funksjoner i samme GeoGebra-fil. Bruk god tid til å sammenligne uttrykkene, grafene og stigningstallene. Hva er likt, og hva er forskjellig? Hva er mønsteret? Hvordan kan elevene uttrykke det, både med ord og algebraisk? Finnes det flere funksjoner som følger samme mønster? Andre spørsmål: Hvorfor får tangentene til `a(x)=x^(2)` og `c(x)=x^(2) + 3` samme stigingstall i samme x-verdi? Hvorfor må stigningstallet til tangentene til `a(x)=x^(2), j(x)=x^(3)` og `k(x) = x^(4)` være forskjellig ved samme x-verdi? Hva må regelen være når vi har funksjoner med flere ledd? Aktivitet 3 Aktiviteten starter med en helklassesamtale hvor læreren introduserer begrepet derivasjon og skrivemåten med den lille «apostrofen». Når vi deriverer en funksjon, får vi en ny funksjon som gir oss momentan vekstfart (tangentens stigningstall) i et hvilket som helst punkt på grafen. Til slutt skal elevene generalisere reglene for derivasjon. Kommentarer til læreren Elevene skal først skrive ned mønstrene fra aktivitet 1 og 2. Utfordre dem til å bruke algebraiske uttrykk. Så skal elevene prøve å finne en generell regel for derivasjon av polynomer ved å undersøke polynomer av høyere grad enn i de to første aktivitetene. For mange elever er det motiverende å finne mønsteret på egen hånd. La de gjerne teste funksjoner de velger selv også. Etter at regelen `q(x)=x^n` gir `q'(x)=nx^(n-1)` er etablert, er det nyttig å se spesielt på tilfellene der eksponenten er 1 og 0. Til slutt skal elevene forklare hva derivasjon er med ord. En mulig elevforklaring kan være at derivasjon gir oss den momentane vekstfarten (tangentens stigningstall) i et hvilket som helst punkt på grafen. Eller de kan skrive at den deriverte til et polynom vil være en grad lavere. Det forklarer hvorfor to funksjoner har den samme deriverte hvis bare konstantleddet er forskjellig. Oppsummering Elevene har fått varierte erfaringer med vekstfart og derivasjon. Bruk elevenes beskrivelse av derivasjon som utgangspunkt for å snakke om hva derivasjon er. De har også funnet en generell regel som gjør at de kan derivere alle polynomfunksjoner. I oppsummeringen er det viktig å vektlegge sammenhengen mellom momentan vekstfart til en funksjon i et punkt, stigningstallet til tangenten i punktet og den deriverte i punktet. Test elevenes forståelse ved å be de finne den momentane vekstfarten til forskjellige funksjoner ved en gitt x-verdi. Oppfordre elevene til å bruke metoden fra dette opplegget når de senere skal derivere ulike funksjoner. Da kan de sjekke at reglene stemmer. Uttrykkene for den deriverte gir elevene mulighet til å regne ut den momentane vekstfarten til en funksjon i et hvilket som helst punkt.
Aktivitet 1 Følgende ord vises for elevene: vektor, skalar og produkt. Elevene jobber individuelt i 2-3 minutter. De skal notere ned forklaringer på ordene uten å bruke hjelpemidler. I en felles klassesamtale noterer læreren alle ord og uttrykk som blir nevnt på tavla. På forhånd bør hun ha forberedt en oversikt over hvilke ord og uttrykk hun forventer at elevene kommer med og laget en plan for hvordan hun vil sortere dem. Mulige elevsvar: Skalar: tall, det vanlige Produkt: multiplikasjon, faktorer, gangetabellen, ganging Vektor: lengde, retning, kraft, fysikk, [1,2], `((1),(2)), <1,2>, veca` Deretter presenterer læreren læringsmålet for timen ved å notere følgende på tavla: Skalarprodukt vektor · vektor = skalar Kommentarer til læreren Undervisningen starter med noe som er kjent, noe som hjelper elevene med å sette det nye i sammenheng med det de kan fra før. Læreren kan gjerne tipse elevene om at ordet skalarprodukt består av to deler. De kjenner ikke til ordet skalarprodukt, men de kjenner til delene, skalar og produkt. Til slutt kan læreren skrive læringsmålet vektor · vektor = skalar og overskriften skalarprodukt på tavla. Målet for timen er å få en forståelse for hva skalarproduktet egentlig er, ikke bare hvordan de regner det ut. Skalarprodukt blir også kalt for prikkprodukt (dot product). Aktivitet 2 Læreren skriver ned følgende uttrykk på tavla, gjerne på forhånd: `[3,4] · [5,7] = 43 ` `[2,6] · [4,4] = 32` `[8, -4] · [5,9] = 4 ` `[2,2] · [-12,5] = -14 ` Elevenes oppgave blir å finne ut hvordan de skal regne ut svaret for å få riktig resultat. De diskuterer fremgangsmåten i par. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 72 - 20 +36 = -16 ` Elevene tester regler som de kan fra før. Her bruker de regelen om multiplikasjon av to parenteser. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 72 + 20 +36 = 24 ` Noen prøver å endre operasjonstegn for å tilpasse svaret. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 36 = 4 ` Riktig svar Når elevene mener at de har funnet riktig regneregel, kan læreren gi flere oppgaver slik at elevene kan teste om regelen fortsatt stemmer. Læreren kan utfordre elevene til å formulere en regel for å beregne skalarproduktet med ord og algebraisk. Under læringsmålet kan læreren nå føye til at klassen har funnet en måte beregne skalarproduktet på. Det er viktig å framheve at skalarproduktet er et vanlig tall. Det er ikke selvsagt for elevene. Et mulig svar kan være: Vi finner skalarprodukt ved å multiplisere førstekoordinatene og addere produktet av andrekoordinatene: `[a,b] · [c,d] = ac + bd ` Kommentarer til læreren I denne aktiviteten finner elevene først ut hvordan de regner ut skalarproduktet av to vektorer. Læreren skal ikke forklare fremgangsmåten på forhånd, men la elevene finne ut av det selv. Erfaring tilsier at elevene finner regneregelen ganske fort. For å være helt sikker på at alle får den tida de trenger til å prøve og feile, er det lurt å ha en del ekstraoppgaver tilgjengelig. Da har alle elevene noe å gjøre enten de regner raskt eller ikke. Det er ikke nødvendig at alle elevene løser alle oppgavene. Etter at elevene har løst oppgaver og diskutert, skal klassen sammenfatte hvordan de regner ut skalarproduktet. Læreren skriver opp regnemåten med ord og med formel. Bruk begrepene skalarprodukt, vektor og skalar i klassesamtalen. Vær nøye med å notere fremgangsmåten slik elevene vil ha det, uansett om det virker litt kronglete. Det er viktig at elevene øver seg på å formulere matematiske sammenhenger med ord. Aktivitet 3 På tavla står følgende: `[ , ] · [ , ] = 0 ` Oppgaven til elevene er å finne eksempler som gjør at påstanden blir sann. Det er en fordel at de jobber i par. Etter en stund samles eksemplene til elevene på tavla. Kommentarer til læreren Gi elevene nok tid til å finne mange eksempler. Elevene tilpasser arbeidet til egne kunnskaper og ferdigheter og eksemplene vil derfor få ulik vanskelighetsgrad. Læreren kan gjerne utfordre elever til å finne to vektorer med ulike tall som har skalarprodukt 0. I oppsummeringen skal elevene vise fram eksemplene sine og prøve å finne sammenhenger. Noter eksemplene i rekkefølgen de blir nevnt i. Mulige eksempler fra elevene: a) `[4 ,2] · [5 ,-10] = 0 ` b) `[2 ,2] · [2 ,-2] = 0 ` c) `[2 ,4] · [6 ,-3] = 0 ` d) `[3 ,4] · [-4 ,3] = 0 ` Svar b) er matematisk sett det enkleste, to like tall og ett minustegn. En rundgang i klasserommet viser derimot at svar av typen d) gjerne forekommer hyppigst. I svar av typen a) og c) har elevene antagelig valgt en annen strategi. De har valgt ett tall og så har de funnet frem til to multiplikasjoner med det valgte tallet som produkt. Elevene vil ganske raskt oppdage at det er nødvendig med negative tall. Kan det være flere negative tall? Lærerens oppgave er å vise sammenhengen mellom de ulike løsningene. For eksempel at `[6 ,8] · [-4, 3] = 2[3 ,4] · [-4, 3] = 0` og `[4 ,2] · [5, -10] = 2[2 ,1] · 5[1, -2] = 0` er variasjoner av type d). Aktivitet 4 Elevene arbeider på papir. De velger et regnestykke fra aktivitet 3 og tegner vektorene som hører til i et koordinatsystem. Gi gjerne et startpunkt slik at elevene ikke tegner alle vektorer i origo. Så skal elevene bruke linjal og forlenge vektorene til linjene skjærer hverandre. Be dem å gjøre det samme med flere eksempler. Målet er at elevene oppdager at hvis skalarproduktet er 0, står vektorene vinkelrett på hverandre. Læreren bruker elevenes eksempler som utgangspunkt for klassesamtalen. Kommentarer til læreren Noen elever blander sammen punkt og vektor. De tegner en vektor mellom to punkter i stedet for å tegne to vektorer. Det vil si at de blander sammen [ , ] med ( , ). For eksempel tegner elevene ofte [4 ,2] · [5 ,-10] som vektor mellom punkt (4, 2) og punkt (5, -10). Repeter gjerne forskjellen på de to skrivemåtene før elevene starter. Aktivitet 5 I aktivitet 4 har elevene oppdaget at vektorene står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet er 0. Nå skal de undersøke om setningen også gjelder motsatt vei. Det vil si at hvis to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet 0. Deretter skal elevene undersøke når skalarproduktet blir positivt og negativt. Til slutt blir elevene introdusert for en annen definisjon av skalarproduktet. Oppgaven blir å finne sammenhengen mellom de to uttrykkene for skalarproduktet. Elevene kan gjerne arbeide i par, men det er viktig at alle bruker GeoGebra og at de skriver på hvert sitt elevark. La elevene jobbe i eget tempo. Det er ikke nødvendig at elevene har løst alle oppgavene før klassen begynner med oppsummeringen. Oppgave 1 Tegn tre vektorer med ulik lengde på hver av de to linjene og gi dem navnet `veca, vecb...` Noter vektorene med vektorkoordinater i tabellen. Velg én vektor fra hver av linjene og regn ut skalarproduktet. Lag minst fire eksempler. Noter dine matematiske observasjoner. Oppgave 2 Lag en figur som tilsvarer denne figuren i GeoGebra. Tallene dine vil være forskjellige fra tallene på bildet. Undersøk hvordan skalarproduktet endrer seg når du endrer vinkelen mellom vektorene. Bruk matematiske begreper når du noterer observasjonene dine. Oppgave 3 Formelen for skalarprodukt blir ofte oppgitt slik: `vecu · vecv = |vecu| · |vecv| · cos alpha` der `alpha`er den minste vinkelen mellom de to vektorene. Forklar formelen med ord. Hvorfor blir skalarproduktet 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre? Ta utgangspunkt i formelen og skriv ned din matematiske tankerekke. Oppgave 4 Nå skal du utforske sammenhengen mellom formelen `vecu · vecv = |vecu| · |vecv| · cos alpha` og det du har lært om skalarprodukt så langt. Lag tegningen i GeoGebra. Bruk samme punkter. Bruk vektorkoordinatene til å regne ut `vec(AC) · vec(CB)` og `vec(AC) · vec(CD)` Bruk navnet til vektorene og gjør de samme beregningene i Algebrafeltet. Dra svarene inn i Grafikkfeltet. Tips: Det er lettere å holde oversikt om du endrer navnene til uw og uv. Bruk navnet til vektorene og regn ut `|vec(AC)| · |vec(CD)| · cos alpha`. Gi svaret navnet uwcos og dra uttrykket inn i Grafikkfeltet. Dra i figuren for å se om sammenhengen som du har funnet alltid stemmer. Bruk matematiske begreper til å forklare hvorfor alle utregningene gir det samme svaret. Kommentarer til læreren La elevene arbeide i eget tempo. Det er ikke nødvendig at alle kommer helt i mål før oppsummeringen. I aktivitet 4 fant elevene ut at vektorene står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet er 0. I oppgave 1 utforsker elevene den motsatte sammenhengen. Altså hvis to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet 0. Det er viktig å poengtere at akkurat denne setningen gjelder begge veier, men at det ikke er slik for alle matematiske sammenhenger. I oppgave 2 skal elevene bruke GeoGebra til å utforske verdien til skalarproduktet. Observasjonene skriver de ned på elevarket. Læreren går rundt i klasserommet for å se hvordan elevene formulerer svarene sine. På den måten kan hun bestemme en hensiktsmessig rekkefølge for presentasjonen av elevenes svar og begrunnelser. I oppgave 3 blir elevene presentert for formelen for skalarproduktet. Først blir de bedt om å forklare formelen med ord, altså hva formelen sier at de skal gjøre for å regne ut skalarproduktet. Så må elevene bruke trigonometri til å forklare hvorfor skalarproduktet er 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre. Elevene lærte om trigonometriske sammenhenger i 1T. Målet med oppgave 4 er å forklare hvorfor tre forskjellige utregninger kan gi det samme svaret. Oppgaven er omfattende og trenger en god oppsummering. Elevene starter med å tegne en gitt figur i GeoGebra. De bruker det som de har lært for å beregne skalarproduktet på papir. Etterpå gjør elevene de samme beregninger i Algebrafeltet. Elevene vil oppdage at de tre regnestykkene gir samme verdi, uansett om de drar i figuren. At u×v og u×w gir det samme resultatet strider mot elevenes erfaringer fra multiplikasjon. De ser at jo at vektor w er lengre enn vektor v, noe som også skulle tilsi at skalarproduktet blir større. Ved å bruke kunnskap fra 1T om at `|vecv| = |vecw| · cos alpha` kan elevene vise sammenhengen mellom de to uttrykkene for skalarproduktet. Dette er en god anledning til å diskutere hva det betyr at vektorer har både lengde og retning. Måten vektorene er tegnet på viser sammenhengen `|vecv| = |vecw| · cos alpha` tydelig. Projeksjonen av vektor w på samme linje som vektor u henger da sammen med oppdagelsen av at skalarproduktet er størst når vektorene peker i samme retning, altså når α er 0˚ (cos 0˚ = 1). Og at skalarproduktet er 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre, altså når α er 90˚ (cos 90˚ = 0) Under oppsummeringen er det en fordel at læreren kan vise fram og arbeide med figuren. Gi skalarproduktene navn etter vektorene som er brukt i utregningen. For eksempel uv som navn for skalarproduktet u∙v. Oppsummeringen bør vektlegge at: En vektor er bestemt ved både lengde og retning. Koordinatformen viser både lengden og retningen til vektoren. Skalarproduktet blir 0 når vinkelen mellom vektorene er 90°, altså når vektorene står vinkelrett på hverandre. Skalarproduktet blir størst når vektorene peker i samme retning. Fordelene og ulempene ved de ulike formlene Som avslutning kan elevene bevise at sammenhengen mellom formlene gjelder når to vektorer peker i samme retning, altså når α er 0˚. Forslag til bevis Vi har to vektorer `vecu = [a,b]` og `vecv = [c,d]`. Skalarproduktet til vektorene er `vecu · vecv = ac + bd`. Siden vektorene skal peke i samme retning, men kan ha ulik lengde, kan vi skrive `vecv = [c,d] = [na,nb]`. `vecu · vecv = |vecu||vecv| cos alpha` = |[a, b]| |[na,nb]| cos 0°` = `(sqrt(a^(2)+b^(2))) (sqrt((na)^(2)+(nb)^(2))) · 1` = `sqrt((a^(2)+b^(2))(n^2a^(2)+n^2b^(2))` = `sqrt((a^(2)+b^(2))(a^(2)+b^(2))n^2 ` = `(a^(2)+b^(2))n` = `a(na)+b(nb)` = `ac + bd`
Filmene er knyttet til Rammeplanens område ”antall, rom og form”. Aktivitetene vil også være relevant for begynneropplæring i matematikk, eventuelt også for andre som er interessert i å lære mer om metoden utematematikk og til å finne inspirasjon og ideer som lett kan brukes på mange trinn. Inspirasjonsfilmer Tall og telling {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/iMI0xTiNDIU.jpg?itok=9xrOhEbc","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=iMI0xTiNDIU","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Tall og mengde {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/Is0k0HF9OAw.jpg?itok=JpQNzkAp","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=Is0k0HF9OAw","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Målinger {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/w9PjyHUyvxA.jpg?itok=0FDEEQD3","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=w9PjyHUyvxA","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Mønster {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/TTGZTGoUOrQ.jpg?itok=03UQ4m3t","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=TTGZTGoUOrQ","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Sortering {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/1v8DtD-WwNs.jpg?itok=5cGwl7RO","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=1v8DtD-WwNs","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Introduksjon til utematematikk {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/_pVkOR6gVtI.jpg?itok=DE7TZhgz","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=_pVkOR6gVtI","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Utematematikk som metode {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/MXG3woRLtJA.jpg?itok=wHjYO2kn","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=MXG3woRLtJA","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} I tillegg til filmene finnes det et hefte med en enkel oversikt over det som er viktig og grunnleggende innenfor hvert tema. Opplegget kan brukes til systematisk planlegging som sikrer struktur og oversikt i læringsarbeidet. Her finnes også opplegg som utdyper viktige prinsipper og grunnleggende konsepter for temaet. Test Hei og hå Test test test
Har du oppdaget at naturen er full av bokstaver og tallsymboler? Sommerfuglen har en hvit c under vingene. Bregnen Strutseving ser ut som tallsymbolet 9. Det kan være spennende å gå ut og lete etter alfabetets og tallsymbolenes former i naturen. Elevene kan gå i grupper, og ta bilder av symbolene de finner ute i nærmiljøet. Når elevene kommer tilbake kan de laste opp bildene på en pc, og beskjære bildene slik at detaljene kommer fram. Deretter kan bildene presenteres på mange måter. Elevene kan for eksempel lage en plakat med en oversikt over alle bokstavene/tallsymbolene eller en presentasjon i PowerPoint. Se eksempel her: https://www.naturfag.no/binfil/download2.php?tid=2104062 Mens dere ser på bildene, kan du stille spørsmål som: Hva er likt og forskjellig med de ulike 5-tallene (eller for eksempel bokstaven A) dere har tatt bilde av? Hvordan kan vi være sikre på at det er det samme (tall-)symbolet når de ikke ser helt like ut? Hvordan ser tallene ut når vi skriver for hånd? Skriver alle tallene/bokstavene på samme måte? Hvilket tallsymbol eller bokstav fant dere flest/færrest av? Hvordan kan dette ha seg, tror du? Fant vi alle tallene i tallrekka/ bokstavene i alfabetet, eller er det noen som mangler? Kan vi finne tallsymboler/bokstaver andre steder i naturen? Hvorfor tror dere at det finnes (tall)symboler i naturen? Mulig utvidelse Bildene kan skrives ut og lamineres til tallkort eller bokstavkort som kan brukes til å lage regnestykker med tallene og ord med bokstavene. Memoryspill er også en mulighet. Dersom dere har laget både tallkort og bokstavkort kan elevene forsøke å bruke bokstavene til å skrive ordet som tallkortet representerer. Får de tallkortet med tallsymbolet 5, kan de skrive ordet fem med bokstavkortene og få erfaring med at tallet kan representeres på ulike måter. For ytterligere utvidelse kan de i tillegg hente fem gjenstander for å øve på å finne mengden som tallsymbolet representerer. Aktiviteten er en bearbeidet versjon av denne aktiviteten fra naturfag.no: https://www.naturfag.no/forsok/vis.html?tid=717613
Del elevene i par eller grupper og be dem lage femmermengder. Elevene kan velge selv om de vil samle bare like gjenstander (for eksempel fem steiner, fem kongler, fem skjell, fem blader, fem pinner) i mengden sin, eller blande ulike gjenstander. Deretter organiserer elevene mengden sin slik de selv ønsker. De kan spre gjenstandene utover, legge dem tett i tett, organisere dem som på terningen, legge dem i sirkel, legge dem på linje osv. I diskusjonen med elevene må dere fokusere på kardinaltallet i hver mengde og samtale om hvordan femmermengdene er like og forskjellige. Dere kan sammenligne gjenstandene innad i hver mengde (her er det tre store blader og to små skjell), eller sammenligne gjenstandene mellom mengder (her er det fem små steiner tett i tett og der er det fem store biler på parkeringsplassen – det er like mange). Still spørsmål som: Hvordan kan vi se at det er fem i denne mengden? Er det noen som ser det på en annen måte? Hva er likt og forskjellig med gjenstandene i mengden? Hvordan kan det være fem både her... og der...? Hvordan vil du plassere gjenstandene slik at mengden er lett å telle/se? Hvordan kan du legge gjenstandene dine slik at det er lett å se hvor mange det er? Oppsummert: Det er altså like mange i to femmermengder selv om objektene i den ene er større eller mindre enn i den andre, eller gjenstandene i den ene er spredd utover et større område, eller gjenstandene i de to mengdene er organisert forskjellig. Å få forståelse av «like mange» innebærer at barna abstraherer fra tingene selv og kun ser på antallet (kardinaltallet) i mengden. Antallet er likt, selv om gjenstandene ikke er like.
Ingen beskrivelse
Stikkord Utforske, observere, beskrive, resonnere, lage hypoteser, begrunne, sammenligne Aktivitet Del elevene i grupper på 3-4 elever. Hver gruppe får en eller flere bokser med hemmelig innhold. Gjennom å observere og utforske (riste på, lytte, veie) boksene, skal gruppene prøve å resonnere seg fram til hva boksene kan inneholde. Først skal de lage hypoteser kun ut fra observasjonene sine. Deretter kan du gi dem noen ulike alternativer til mulig innhold som de vurderer, og som de bruker til å formulere nye hypoteser. Du kan også la de ulike elevgruppene velge innhold i bokser som andre grupper skal gjette. La elevene undre seg og begrunne sine resonnement: Hvor stort er det som er inni boksen? Hvor mange ting tror dere det er inni boksen? Hva kan det ikke være i boksen? Hva tror du det er i boksen? Elevene må bruke begreper for å sammenligne størrelser på de ulike boksene og beskrive innholdet. Relevante begreper er større, høyere, lengre, kortere, tyngre, lettere, bredere, smalere. Elevene erfarer måleenheter når de legger merke til at det går flere objekter i boksen hvis hvert objekt er mindre, og færre objekter i boksen hvis objektene er større. Elevene møter sammenhengen mellom enheter og antall som trengs for å fylle opp et volum. Elevene møter og bruker begreper knyttet til form når de beskriver boksene. Noen er runde som en sylinder, noen er formet som en kube, og noen er kanskje som et firkantet prisme. Elevene beskriver det de tror er inni boksen. Da er begreper som rund, tung, lett, myk, hard, mange, få, kantete og avlang nyttige. Elevene må prøve å finne ut hvor mange objekter det er i boksen. De møter da tall som antall. Kan det være bare én? Eller kanskje to eller tre? Eller kanskje hundre? Når dere åpner boksen, kan barna se direkte hvor mange det er, hvis antallet er lite. Hvis det er et stort antall, må de telle for å finne det ut.
Om prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Elevene skal bruke GeoGebra for å trene på algoritmisk tenking i arbeidet med rette linjer. Algoritmisk tenking handler om å dele opp en utfordring og løse hver del systematisk. Det er sentralt når elevene skal utvikle egne strategier og fremgangsmåter i matematikk. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Vi har valgt å dele inn undervisningsopplegget i to deler. I Algoritmisk tekning med GeoGebra 1 har Matematikksenteret valgt å dra nytte av samarbeidet vi har med Kikora. Oppgavene er tilpasset Kikora sin plattform slik at elevene får umiddelbar tilbakemelding underveis i arbeidet. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 starter elevene arbeidet med blanke ark i GeoGebra. De må arbeide uten støtten fra de trinnvise instruksjonene i Kikora. Undervisningsopplegget er en del av et internasjonalt prosjekt. Derfor ønsker vi tilbakemeldinger fra dere som bruker undervisningsopplegget med elever. Hvordan arbeidet elevene med oppgavene? Hvor lenge arbeidet de konsentrert? Hvilken aktivitet var mest utfordrende for elevene? Send tilbakemeldinger til kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra. Introduksjon Undervisningsopplegget er en videreføring av Algoritmisk tenking med GeoGebra 1, men kan også brukes uavhengig. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 1 fikk elevene støtte av de trinnvise instruksjonene i Kikora. Mange elever vil oppleve de matematiske utfordringene som mer krevende når de skal begynne med blanke ark i GeoGebra. Det er viktig at elevene bruker elevarket aktivt underveis, laster ned GeoGebra-filene og tar bilder av arbeidet i GeoGebra. Vi anbefaler at de har elevarket digitalt. Da kan de skrive inn tekst og lime inn bilder ved hjelp av Utklippsverktøy. Hvis elevene skal ha elevarket på papir, må størrelsen på svarboksene justeres før utskrift. Opplegget starter med en innføring i ettpunktsformelen. Videre oppdager elevene at de ved å tegne mange tangenter, kan få et bilde av grafen. Til slutt blir de kjent med en metode for å nærme seg nullpunkter ved hjelp av tangenter (Newton-Raphsons metode). Aktivitet 1: Ettpunktsformelen Oppgaver på elevarket Tegn funksjonen `g(x)= -(3)/(4)x`. Lag punktet A = (2, 3). Bruk formelen y = a(x-x1) + y1 for å tegne en linje som er parallell med g(x) og går gjennom A. Gjør det samme for B = (-4, 1). Lag et uttrykk for stigningstallet a til en rett linje gjennom to punkt. Forklar sammenhengen mellom uttrykket og ettpunktsformelen. Kommentarer til læreren Elevene skal lage parallelle linjer som står gjennom gitte punkter. Formelen er gitt og de fleste elevene vil forstå at de må sette inn koordinatene til punktet i formelen. Utfordre elevene til å forklare hvorfor linjene blir parallelle. Legg også merke til at GeoGebra gir linjene navn automatisk. Hvis elevene vil gi en linje navnet h, må de skrive h: y = …. . Den siste oppgaven viser sammenhengen mellom stigningstall og ettpunktsformelen. Når elevene lager et uttrykk for a, vil de se at det er en omskriving av ettpunktsformelen. Hjelp elevene med å forstå hvorfor de kan erstatte y2 med y og x2 med x. Det vil gjøre det lettere for dem å forstå operasjonstegnene i formelen. Aktivitet 2: Tangenter til f(x) = x2 Oppgaver på elevarket Tegn parabelen `f(x)=x^(2)` Lag punkt P=(p,p2) Lag et uttrykk for tangenten i P og skriv det inn i GeoGebra. Test om tangenten følger med når du beveger P. Sett sporing på tangenten og animer glider p. Bruk kommandoen Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>) for å tegne mange tangenter. Du må bruke variabelen p når du lager uttrykket for tangenten. Varier intervall og trinnlengde for å få et bilde som ligner det over. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene tegne mange tangenter til en parabel på to ulike måter, med Vis spor og Følge. Ved å tegne mange tangenter vil de få et godt bilde av hvordan parabelen ser ut. Tips gjerne elevene om å skjule funksjonen. Da vil det bli enda tydeligere at tangentene gir formen til parabelen. De starter med å lage en tangent til parabelen i et gitt punkt, Be elevene om å se på aktivitet 1 dersom de trenger hjelp til dette. Først lager de mange tangenter ved å bruke Vis spor. Deretter lager elevene lage mange tangenter ved å bruke Følge-kommandoen: Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>). Denne kommandoen er antakeligvis ukjent for elevene derfor er det viktig at de blir kjent med hvordan den fungerer. Hva skjer om de endrer trinnlengden? Hva skjer om de endrer start- eller sluttpunktet? Elevene må bruke variabelen p når de lager et uttrykk for tangenten til parabelen. Vanligvis ville vi kalt p for en parameter, men her bruker vi variabel for å følge GeoGebra sin terminologi. Forslag til uttrykk for tangenten: y = f’(p)(x-p) + p2 y = f’(p)(x-p) + f(p) f’(p)(x-p) + p2 f’(p)(x-p) + f(p) Eksempel på løsning i GeoGebra: Følge(y = f’(p)(x-p) + p2, p, -20, 20, 0.5) Hvis GeoGebra ikke vil tegne tangentene, har elevene antakeligvis brukt t(x) eller lignende i uttrykket. Følge-kommandoen forstår ikke den skrivemåten. Når elevene skal skrive inn lange kommandoer, er det lurt at de utvider Algebrafeltet slik at de ser hele kommandoen. Det gjør det lettere å holde oversikten og å oppdage feil. Aktivitet 3: Tangenter til f(x) = ax2 + bx + c Oppgaver på elevarket Tegn en tangent til f(x)=ax2+bx+c i punkt P = (p, f(p)). Linjen skal være en tangent selv om du endrer verdiene til a, b, c og p. Bruk Følge-kommandoen for å tegne mange tangenter til parabelen. Kommentarer til læreren Aktiviteten er en fortsettelse av aktivitet 2. Elevene skal bruke variabler (parametere) for å definere funksjonen. Det gir mulighet til å utforske mer. Mange elever vil bli overrasket over at uttrykket for tangenten ikke endrer seg selv om funksjonen er gitt av a, b og c. Det gir en god mulighet til å diskutere fordelene ved å bruke algebra. Eksempel på løsning i GeoGebra: Følge(y = f’(p)(x-p) +f(p), p, -10, 10, 0.2) Aktivitet 4: Tangenter til andre grafer Oppgaver på elevarket Nå skal du selv velge en funksjon. Tegn funksjonen. Tegn én tangent til funksjonen din. Tegn mange tangenter. Noter hva du har regnet ut og hva du har skrevet i GeoGebra. Lim inn bilder av løsningen din i elevarket. Kommentarer til læreren Aktivitet 1-3 har gitt elevene erfaringer som de kan dra nytte av når de skal lage mange tangenter til en valgt funksjon. De har sett at de kan skrive uttrykket for tangenten på samme måte uansett hvor komplisert funksjonen er, og slike erfaringer kan føre til dypere forståelse for funksjoner og tangenter. Ved å bruke skrivemåtene f(x) og f’(x) i GeoGebra, reduserer elevene sannsynligheten for skrivefeil. Det gir også mulighet til å utforske mer avanserte funksjoner. Minn elevene på å gjøre gode notater underveis i arbeidet. Notatene skal gjøre det mulig for andre å gjenta det elevene har gjort. Elevene vil ha bruk for det senere, ikke minst med tanke på digital eksamen i matematikk. Aktivitet 5: Nullpunkt med tangenter Oppgaver på elevarket Med Newton-Raphsons metode kan du nærme deg nullpunkter ved hjelp av tangenter. Studer tegningen. Forklar med dine egne ord hvordan metoden fungerer. Lag deg en andregradsfunksjon som har to nullpunkter. Bruk metoden for å finne en tilnærming til nullpunktene til funksjonen. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene undersøke en tegning som viser hvordan Newton-Raphsons metode fungerer. De vil oppdage at metoden går ut på å lage tangenter til funksjonen, og deretter bruke nullpunktet til tangentene for å finne en tilnærming til funksjonens nullpunkt. Læreren må på forhånd bestemme om elevene kan bruke alle kommandoer, eller om de for eksempel bare får bruke CAS. Når de mener at de har funnet en god tilnærming, kan de sammenligne den med nullpunktet til funksjonen. De fleste elevene vil finne en tilnærming til det første nullpunktet uten store utfordringer. Men hvordan skal de finne en tilnærming til det andre nullpunktet? Hvordan påvirker valg av startpunkt resultatet? Elevene vil oppdage at resultatet er avhengig av om de velger startpunkt til høyre eller venstre for x-verdien til ekstremalpunktet. Hvorfor blir den første tilnærmingen dårlig hvis de velger startpunkt nær x-verdien til ekstremalpunktet? Og hva skjer om de velger startverdi nøyaktig lik x-verdien til ekstremalpunktet? Hvorfor blir det slik? I GeoGebra er det lett å gjøre justeringer underveis. Elevene kan endre funksjonsuttrykk og startpunkt med noen få tastetrykk. Oppfordre elevene til å utforske metoden, gjerne ved å undersøke andre typer funksjoner. Hvorfor fungerer metoden? Finnes det funksjoner metoden ikke fungerer på? Hvilke egenskaper må funksjonen ha for at metoden skal fungere? Oppsummer elevenes resultater i helklasse. Eksempel på løsning med Algebrafelt: Eksempel på løsning med CAS: Avslutning I dette undervisningsopplegget har elevene fått varierte erfaringer med tangenter. Ved å bruke skrivemåter som f(p) og P = (p, f(p)), blir det lettere for elevene å fokusere på de matematiske sammenhengene. I tillegg unngår de å bruke mye tid på å skrive lange, kompliserte uttrykk (og å rette opp skrivefeil som ofte følger med). Elevene har sett hvordan tangenter kan vise formen til tilhørende funksjon og at de kan gi en tilnærming til funksjonens nullpunkt. Utforskingen av Newton-Raphsons metode gir innblikk i både matematiske sammenhenger og matematikkens historie. Den viser hvor mye regning som må til for å finne en tilnærming til et nullpunkt. Slike beregninger er utgangspunktet for programmering av bl.a. GeoGebra.
Om prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Elevene skal bruke GeoGebra for å trene på algoritmisk tenking i arbeidet med rette linjer. Algoritmisk tenking handler om å dele opp en utfordring og løse hver del systematisk. Det er sentralt når elevene skal utvikle egne strategier og fremgangsmåter i matematikk. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Vi har valgt å dele inn undervisningsopplegget i to deler. I Algoritmisk tekning med GeoGebra 1 har Matematikksenteret valgt å dra nytte av samarbeidet vi har med Kikora. Oppgavene er tilpasset Kikora sin plattform slik at elevene får umiddelbar tilbakemelding underveis i arbeidet. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 starter elevene arbeidet med blanke ark i GeoGebra. De må arbeide uten støtten fra de trinnvise instruksjonene i Kikora. Undervisningsopplegget er en del av et internasjonalt prosjekt. Derfor ønsker vi tilbakemeldinger fra dere som bruker undervisningsopplegget med elever. Hvordan arbeidet elevene med oppgavene? Hvor lenge arbeidet de konsentrert? Hvilken aktivitet var mest utfordrende for elevene? Send tilbakemeldinger til kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra. Introduksjon I dette undervisningsopplegget skal elevene finne algoritmene som ligger bak verktøytastene i GeoGebra. Elevene skal først bruke et verktøy for å se hvordan det fungerer og deretter lage uttrykkene som gir ønsket resultat. Elevene arbeider på hver sin PC i par eller små grupper. De har hvert sitt elevark som de fyller ut underveis. Det er enklest for elevene å holde oversikten om de får elevarket på papir. Mange av oppgavene tar utgangspunkt i formelen for lineære funksjoner, y = ax + b. Elevene må være kjent med hvordan de finner stigningstallet og konstantleddet når to punkter er gitt. For å finne stigningstallet bruker de x- og y-koordinatene. For å finne konstantleddet bruker de stigningstallet og koordinatene til et punkt som ligger på linjen. Elevene må også kjenne skrivemåten x(A) som gir x-koordinaten til punkt A og tilsvarende. Det kan de lære om i Lær GeoGebra: Funksjoner 2. I de tre første oppgaverekkene bruker elevene skrivemåten for linjer, y = ax + b og ikke funksjoner f(x) = ax + b. Årsaken er at det fungerer bedre i GeoGebra. For en del elever vil det også være lettere å se sammenhengen mellom punkter og uttrykk med denne skrivemåten. For å skille linjene fra hverandre, må elevene gi dem navn, g: y = ax + b. Skrivemåten blir forklart, men minn de om det ved behov. I oppgaverekke 4 bruker elevene skrivemåten for funksjoner. Hvis elevene har mange objekter av en type, kan Algebrafeltet bli uoversiktlig. Da kan de krympe en objekttype ved å trykke på streken foran navnet på objekttypen. Det er nyttig når elevene ikke trenger å se alle objektene i Algebrafeltet, men fungerer bare når objektene er sortert etter objekttype. De fleste oppgavene slutter med at elevene skal bevege figuren. Ved å utnytte de dynamiske mulighetene i GeoGebra, kan elevene avgjøre om det de har gjort gjelder alltid, noen ganger eller aldri. Aktivitet 1: Linje gjennom to punkter Elevene skal gjøre oppgaverekke 1 i Kikora (oppgave 1.1 – 1.4). Målet med oppgavene er at elevene skal finne uttrykket for en linje gjennom to vilkårlige punkt. I den første oppgaven er alle verktøy tilgjengelige. Elevene noterer uttrykket til linjen på elevarket. Det er dette uttrykket elevene vil komme fram til når de regner ut stigningstallet og konstantleddet med tallverdiene til x- og y-koordinatene. Elevene vil oppdage at punkter og linje henger sammen om de bruker x(A), y(A), x(B) og y(B). Men når punktene A og B har samme x-koordinat, forsvinner linjen. For å unngå dette, må elevene bruke GeoGebra-kommandoer som minner om programmering. Kommandoen Dersom( <Vilkår>, <Så>, <Ellers> ) sørger for at linjen alltid er synlig. Elevene vil også ha bruk for kommandoen senere i opplegget. Kommentar til læreren Innholdet i disse oppgavene er sentralt i arbeidet videre så bruk god tid. Elevene skal bruke x(A), y(A), x(B) og y(B) i uttrykkene sine for å få objektene til å henge sammen. Notasjonen x(A) betyr at GeoGebra skal bruke verdien til x-koordinaten til punkt A. Hvis elevene beveger på punkt A, bruker GeoGebra den nye verdien. Tilsvarende for y(A), x(B) og y(B). Denne notasjonen er nyttig i dette opplegget og i mange andre sammenhenger. Legg vekt på at i kommandoen Dersom( <Vilkår>, <Så>, <Ellers> ) skriver elevene unntaket først og det generelle til slutt. Det er ikke alle elever som forstår hvorfor linjen blir borte når A og B har samme x-koordinat. Be elevene om å sjekke uttrykket for stigningstallet. De vi se at nevneren blir null når x(A) og x(B) har samme verdi. Noen spørsmål som kan hjelpe elevene videre: Hva kjennetegner en rett linje? Hvor finner du konstantleddet i uttrykket til linjen? Hvor finner du stigningstallet i uttrykket til linjen? Hvor finner du konstantleddet på grafen? Hvor finner du stigningstallet på grafen? Aktivitet 2: Midtnormal Elevene skal gjøre oppgaverekke 2 i Kikora (2.1 – 2.4). Målet med oppgavene er at elevene skal lage en midtnormal uten å bruke verktøyet eller den innebygde kommandoen Midtnormal. I første oppgave bruker elevene Midtnormal for å se hva målet med oppgaverekken er. Formelen for å finne midtpunktet til et linjestykke står på elevarket. Elevene må forklare hvorfor formelen er riktig. Også denne oppgaverekken slutter med en Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>) kommando. Kommandoen er nødvendig for å tegne midtnormalen når linjestykket AB er horisontalt. Kommentar til læreren I den første oppgaven skal elevene bruke verktøy eller kommando for å finne midtpunktet og midtnormalen. Dersom de prøver å gjøre det samme i de neste oppgavene, vil de ikke få godkjent i Kikora. Elevene må skrive inn matematiske uttrykk. Noen elever vil trenge hjelp til å finne stigningstallet til midtnormalen. Be elevene om å tegne noen linjer med kjent stigningstall i GeoGebra. Tegn en normal på hver linje og sammenlign stigningstallet til de to linjene. Elevene vil oppdage at hvis stigningstallet til en linje er a, så er stigningstallet til normalen til linjen `(- 1)/(a)`. Noen spørsmål som kan hjelpe elevene videre: Hvordan finner du midtpunktet til en horisontal linje? Hvordan finner du midtpunktet til en vertikal linje? Hva ser du når du sammenligner stigningstallet til linjestykket og midtnormalen? Hvorfor blir midtnormalen borte når A og B har samme x-koordinat? Aktivitet 3: Tyngdepunktet i en trekant Elevene skal gjøre oppgaverekke 3 i Kikora (3.1 – 3.6). Målet er å finne tyngdepunktet til trekanten. Tyngdepunktet er punktet der medianene skjærer hverandre. En median går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående siden. I første oppgavene skal elevene bruke Midtpunkt eller sentrum for å finne tyngdepunktet til trekanten. Elevene noterer koordinatene til punktet. I de neste oppgavene skal de lære å finne tyngdepunktet uten å bruke verktøyet. Elevene starter med å finne midtpunktet til sidene. Deretter lager de uttrykket for linjen gjennom et hjørne og midtpunktet på motstående side, slik som de gjorde i første oppgaverekke. Kommentar til læreren På elevarket er det laget en tegning av trekanten som elevene kan bruke som skisse. Ved å bruke den blir det enklere til å ha kontroll over alle punkter og linjer. Elevene får lov til å bruke den innebygde kommandoen Skjæring for å finne tyngdepunktet. Elever som trenger ekstra utfordringer, kan å finne skjæringspunktet med CAS. GeoGebra gir alle objekter navn automatisk. I oppgave 3.2 er det derfor lurt at elevene lager midtpunktene i samme rekkefølge som står på i oppgaven (og på elevarket), slik at punktene får riktig navn med en gang. Noen oppgaver er delt i to i Kikora slik at det ikke skal være for mange steg. Da starter den andre oppgaven med resultatet av det elevene har gjort i den første oppgaven. Aktivitet 4: Tangenten til parabler Elevene skal gjøre oppgaverekke 4 i Kikora (4.1 – 4.4). Målet er at elevene skal bli bedre kjent med ettpunktsformelen. På forhånd må de vite at den deriverte i et punkt er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet. Elevene arbeider med funksjoner. I første oppgave oppdager elevene hvordan formelen f(x) = a(x - x1) + y1 fungerer. Resten av oppgaverekken følger samme oppskrift som tidligere oppgaverekker. Først bruker elevene verktøy for å lage tangenten til en funksjon, og deretter skal de bruke uttrykk og kommandoer for å gjøre det samme. Kommentar til læreren Elevene skal bruke det de har lært om funksjoner og GeoGebra til å lage en dynamisk tegning som viser sammenhengen mellom tangent og funksjon. Notasjonene x(A) og f(x(A)) er sentrale. Ved å bruke disse skrivemåtene kan elevene lage dynamiske figurer, samtidig som de unngår slurvefeil som ofte kommer når de skal skrive inn lange uttrykk i GeoGebra. I oppgave 4.4 skal elevene skrive A = (a, f(a)) for å lage et punkt på grafen til f. GeoGebra lager da en glider a som styrer punkt A. Oppsummering Det er mulig å oppsummere det faglige innholdet underveis, for eksempel etter en oppgaverekke, eller når elevene er ferdig med alle oppgavene. I oppsummeringen er det viktig å få fram verdien av algebra. Elevene er nødt til å bruke variabler for å gjøre figurene dynamiske. I tillegg gjør bruk av variabler det lettere for elevene å se sammenhenger. Elevene har også sett litt bak verktøyene i GeoGebra. De har gjort seg erfaringer om hvordan de kan lage matematiske uttrykk som gir de resultatet de ønsker og hvordan de kan få objekter til å henge sammen. I tillegg har de erfart hvordan programmerere må tenke når de lager verktøy. For eksempel måtte de omdefinere uttrykket for linjen i oppgave 1.4 slik at den ikke forsvant når x-verdiene til punktene var like. Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 er en fortsettelse av dette undervisningsopplegget og elevene skal arbeide videre med tangenter. De starter med blanke ark i GeoGebra uten Kikora som støtte.
Aktivitet: Forslag: NIM er et spill som gir barn erfaringer med mengder og antall. Hensikten med spillet er å resonnere seg fram til en strategi som gjør at du vinner. Slik spiller dere: To og to spiller sammen. Hvert par spiller med 21 pinner som ligger i en haug. Annenhver gang skal de ta pinner fra haugen. Hver gang er det lov til å ta enten 1 eller 2 pinner. Spillet er slutt når det ikke er flere pinner igjen. Den som tar den siste eller de to siste pinnene vinner spillet. Lærerveiledning: Hva ønsker vi med denne aktiviteten Gjennom spillet kan barna utvikle resonnement og forståelse når de utarbeider en vinnerstrategi. Spillet gir også erfaring med mengder og antall. Mulig tilnærming Introduser spillet i en gruppe, f.eks. ved at dere spiller sammen og snakker høyt om det dere gjør. Etter hvert kan du foreslå at barna spiller sammen to og to. Oppfordre barna til å legge merke til når de vinner og om de finner et system for det. For å oppdage et system må barna få spille mange ganger. Still spørsmål underveis, for eksempel: Hva legger dere merke til? For å finne fram til en vinnerstrategi, kan det være nyttig å holde oversikt over hvem som starter og vinner, og hvor mange pinner som er på bordet til enhver tid. Gode veiledningsspørsmål: Hva kan skje hvis det er igjen 3 pinner på bordet? Enn 4, 5 eller 6? Hvor mange pinner ligger det igjen på bordet når du er sikker på å vinne eller tape? Har det noe å si om du er den som starter spillet? Ser du noe mønster? Finnes det en regel? Du kan f.eks. observere at barna sier eller gjør: «Er det igjen 3 og det er min tur, så har jeg ikke sjans til å vinne». Hvis du slipper å begynne, og har skjønt systemet, så kan du alltid vinne Men har du ikke skjønt systemet, så kan du justere og få kontroll på spillet ved å se på hva som blir igjen «Jeg tar bare motsatt av det den andre gjør» - da får vi hele tiden fjernet 3 pinner fra bordet. Altså har spillet noe med 3-gangen å gjøre og det er verdt å legge merke til når antall pinner er 3, 6, 9, 12, 15 og 18. I problemløsning kan det være en god strategi å tenke baklengs. Det er viktig at barna får holde på lenge med denne aktiviteten. Strategien er ikke å avsløre metoden, men å jobbe fram mot metoden. For å koble dette til matematikk kan det være hensiktsmessig å utfordre barna til å begrunne strategien sin. Noen av dem som har funnet en metode for å vinne spillet ser en kobling mot tre-gangen. Det er mulig å fjerne 3 pinner fra haugen i hver omgang. Da vil resten være 0 ettersom det er 21 pinner i haugen og 21 er et tall i tregangen. Forenkle: Prøve med 9, 12 eller 15 pinner, slik at det blir lettere å se mengden som er igjen på bordet Hjelp til med å holde oversikt over antall pinner som ligger igjen på bordet To eller flere barn spiller mot èn voksen Utvide: Hva med 24 pinner? Hva skjer om du tar 1, 2 eller 3 pinner (da er det 4-gangen som gjelder og systemet blir at du fjerner 4 om gangen) Kan man finne en vinnerstrategi om dere blir tre personer?
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
