Oppgave til elevene Ta bort rutenett og koordinatsystem. Tegn en rettvinklet trekant. Velg Glider og lag en Heltallsglider fra 3 – 15. Lag en Regulær mangekant på hver trekantside. Antall hjørner skal være navnet til glideren. Vis arealene. Dra i glideren. Lag en hypotese, og test den. Kommentar til læreren Gi oppdraget muntlig eller vis det på storskjerm. Tilpass forklaringene i oppgaven til elevene. Kanskje er det lurt å lage glideren i hel klasse? Elevene kan lage en rettvinklet trekant ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Når de har laget figuren, skal de undersøke den. Observasjonene støtter elevene i å utvikle en hypotese. Deretter kan de teste hypotesen, og eventuelt revidere den. Elevene vil oppdage at Pytagoras’ setning stemmer uansett hvor mange sider den likesidede (regulære) mangekanten har. Elever som trenger ekstra utfordringer, kan teste om sammenhengen gjelder andre figurer også. For eksempel kan de undersøke halvsirkler. I GeoGebra er verdien til halvsirkler lengden av buen. For å finne arealet kan de regne det ut eller bruke verktøyet Sirkelsektor gjennom tre punkt. Oppsummering Dynamisk geometri gir elevene mulighet til å observere matematiske sammenhenger. Observasjonene beviser ikke en sammenheng, men de kan gi grunnlag for å lage en hypotese. Det er det viktig å få fram i klassesamtalen hvor elevene deler det de har funnet ut. Fortell gjerne at matematikere har bevist at sammenhengen gjelder så lenge figurene er formlike, og at det kan de selv også bevise etter hvert. Utvidelse For elever i den videregående skolen er å lage et bevis for at sammenhengen gjelder for likesidede trekanter, en fin introduksjon til bevisføring. Noen vil også kunne lage et generelt bevis for alle likesidede mangekanter. Utfordre gjerne elevene til å lese og prøve å forstå et bevis for at sammenhengen gjelder for alle formlike figurer (eksempel: https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#7). Forslag til bevis for likesidede trekanter:
Oppgave til elevene Tegn et kvadrat. Vis arealet og beveg slik at arealet blir 1. Lag konstruksjonen slik som på bildet: Fortsett på samme måte til du har minst fem kvadrater. Vis arealet til kvadratene. Dra i start-kvadratet. Hva skjer? Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om summen av kvadrater. Bruk erfaringene fra Kvadrat + kvadrat = kvadrat dersom elevene har gjort den aktiviteten. Hvilket areal har et kvadrat hvis det er summen av to kvadrater med areal 1? Hvordan vil dere tegne et slikt kvadrat? Hva med et kvadrat med areal 3, areal 4, areal 5 og så videre? Elevene skal komme fram til at de kan bruke Pytagoras’ setning og et kvadrat med areal 1 (sidelengde 1). Kvadratene er arbeidskrevende å tegne på papir, men i GeoGebra går det ganske raskt. For å få en dynamisk figur som er lett å utforske, lager elevene et vilkårlig kvadrat, for eksempel med Regulær mangekant. Hvis de starter med et kvadrat med side og areal 1 blir figuren statisk. Elevene kan se starten på konstruksjonen på bildet. På bildet er Stråle gjennom to punkt brukt for å forlenge sidene til kvadratene, men elevene kan også bruke Linje. Underveis i arbeidet kan det være lurt å gjøre hjelpelinjene usynlige. Da er det enklere å beholde oversikten. Tips elevene om verktøyet Passer som gjør det lett å sette av lengder. Forslag til konstruksjon: Oppsummering Når elevene har laget og utforsket figuren sin, forsetter økten i hel klasse. Studer og diskuter oppdagelser elevene har gjort. For eksempel hvordan arealet endrer seg hvis start-kvadratet har areal 4, hvor store arealene er hvis start-kvadratet er 1,5 eller hvordan sidelengden øker når start-kvadratet har sidelengde 1. Støtt elevene i å finne forklaringer på hvorfor det er slik. Kanskje noen elevpar har laget figurer som oppfører seg annerledes. Hva er grunnen til det? Elevene kan også lage formler som for eksempel beskriver hvordan arealet øker.
Alle bruker hver sin PC med GeoGebra, men la de arbeide i par slik at de kan diskutere underveis. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktiviteten Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik differansen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Kommentar til læreren Elevene bør ha gjennomført opplegget Kvadrat + kvadrat = kvadrat først. Der brukte elevene sidelengdene til de to start-kvadratene til å lage katetene i en rettvinklet trekant. Da fikk kvadratet på hypotenusen areal lik summen av arealet til de to kvadratene. Ta utgangspunkt i erfaringene fra det opplegget. Nå skal elevene tegne et kvadrat som har areal lik differansen mellom arealene til to kvadrater. Da må de bruke sidelengden til et av kvadratene som katet og sidelengden til det andre som hypotenus. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Minn gjerne elevene på hva dynamisk betyr. I GeoGebra kan elevene tegne det nye kvadratet på ulike måter. Programmet har mange verktøy tilgjengelig slik at elevene kan følge sin egen strategi. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram løsningen sin, gjerne noen som har brukt farger aktivt. Ha fokus på hvilke matematiske sammenhenger de har brukt. Diskuter gjerne hvorfor kvadratet noen ganger forsvinner hvis noen elever har oppdaget det.
Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik summen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om hva elevene tenker på når de hører «Pytagoras’ setning». Vanlige elevsvar: a2 + b2 = c2 kat2 + kat2 = hyp2 katet2 + katet2 = hypotenus2 Rettvinklet trekant Hypotenus Katet Mange elever tenker på «Pytagoras’ setning» kun som en algebraisk formel. Utfordre elevene til å forklare sammenhengen geometrisk. Sørg for at elevene forstår at a2, b2 og c2 er kvadrater. Pytagoras’ setning sier da at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. I opplegget skal de bruke denne sammenhengen i GeoGebra. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Elevene kan tegne det nye kvadratet på ulike måter, avhengig av kunnskapene deres i matematikk og i GeoGebra. Uansett hvordan de lager kvadratet skal figuren være dynamisk. Det vil si at dersom elevene endrer størrelsen på et av de to start-kvadratene så skal GeoGebra også endre størrelsen på det nye kvadratet. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram og forklarer hvordan de har kommet fram til løsningen sin. Oppfordre til å bruke matematiske begreper som katet, hypotenus, areal og kvadrat. Opplegget Kvadrat - kvadrat = kvadrat passer bra som en fortsettelse.
Elevene arbeider i par eller små grupper slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett, samt at de har sortert objekter etter type og ikke får navn på nye objekt. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn en trekant. Vis arealet og dra i trekanten til arealet blir 15. Bruk verktøyet Penn og sett et merke i et av hjørnene. Dra i dette hjørnet til du finner en ny trekant med areal 15. Merk plasseringen til hjørnet med Penn. Fortsett på samme måte. Dra alltid i det samme hjørnet! Observer og lag en hypotese. Tegn en ny trekant for å bekrefte/avkrefte hypotesen. Kommentar til læreren Gi oppgaven muntlig. Skriv gjerne stikkord på tavle eller storskjerm. Hvis elevene har lite erfaring med GeoGebra, kan det være lurt å lage trekanten i hel klasse og vise hvordan verktøyet Penn fungerer. Det er viktig at elevene drar i det samme hjørnet når de utforsker. De kan godt gi punktet en annen farge slik at det skiller seg fra resten. Minn elevene på at de må velge Flytt før de leter etter en ny trekant. Mange elever vil lage en hypotese om at trekanten får samme areal når punktet de beveger ligger på en linje parallell med motstående side. Men stemmer det alltid? Elevene kan teste hypotesen ved å ta utgangspunkt i trekanten de allerede har laget. Først tegner de en linje som går gjennom punktet de har beveget og som er parallell med motstående side i trekanten (grunnlinjen). Så lager de en ny trekant som har samme grunnlinje og som har det tredje punktet på den parallelle linjen. De kan også teste hypotesen ved lage to parallelle linjer. Så tegner de en trekant som har hjørnene på linjene. Hvis elevene bruker punktene som er på de parallelle linjene fra før når de tegner trekanten, blir det vanskelig å bruke figuren til å undersøke hypotesen. Da styrer nemlig punktene både plasseringen av de to parallelle linjene og av trekanten. Tips elevene om å lage en trekant uten å bruke punktene i stedet. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis. Pass på at klassen får se løsningsmetoder der ulike hjørner blir brukt. Opplegget kan gi elevene en dypere forståelse av sammenhengen mellom grunnlinje, høyde og areal i trekanter. Avstanden mellom to parallelle linjer er konstant, og i en trekant er denne avstanden høyden. Fortsett gjerne med noen av aktivitetene fra Trekant med areal 12.
Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant. Tegn et kvadrat på alle sidene i trekanten. Gi kvadratene ulik farge og vis arealene. Dra i punktene og observer. Lag en hypotese. Kommentar til læreren Elevene starter med å lage en dynamisk, rettvinklet trekant. Det kan de for eksempel gjøre ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Så skal elevene lage et kvadrat på hver side. De kan bruke Regulær mangekant eller konstruere kvadratene og deretter bruke Mangekant. Minn gjerne elevene om at de kan bruke angre-knappen dersom et kvadrat legger seg over trekanten. Figuren gir elevene mulighet til å utforske sammenhengene mellom kvadratene, nemlig at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Setningen er oppkalt etter Pytagoras (ca 570-490 f.Kr.) selv om den var kjent lenge før hans levetid (https://no.wikipedia.org/wiki/Pytagoras). GeoGebra gir elevene mulighet til å undersøke mange eksempler med samme figur som utgangspunkt siden de kan endre sidelengdene til trekanten. Dette er en av fordelene med å bruke dynamiske geometriprogram i forhold til papir og blyant. Vær oppmerksom på at siden GeoGebra runder av til én desimal kan det skje at summen ikke stemmer helt nøyaktig. Diskuter gjerne hvorfor med elevene. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Noen elever har kanskje oppdaget at summen av arealet til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Mens andre har oppdaget at differansen mellom arealet til kvadratet på hypotenusen og arealet til kvadratet på en av katetene er lik arealet til kvadratet på den andre kateten. Det gir en god mulighet til å sammenligne ulike forklaringer. Oppfordre de til å bruke matematiske begreper som kvadrat, katet, hypotenus og areal.
Om Erasmus+-prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Prosjektet går ut på å lage ulike undervisningsopplegg hvor elevene skal utvikle sin algoritmiske tenking. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Algoritmisk tenking 1 og Algoritmisk tenking 2 er også laget i forbindelse med dette prosjektet. Har du prøvd ut opplegget med elever? Send oss gjerne en tilbakemelding (kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra). Innledning Opplegget handler om Titanic-forliset. Elevene får et utdrag av passasjerlisten i et Excel-ark. Så får de en oppskrift på hvordan de kan finne ut om kvinner og barn ble reddet først fra Titanic. Start gjerne med å se et utdrag av en film om forliset. For eksempel: https://www.youtube.com/watch?v=rs9w5bgtJC8 (ikke se på hele). Elevene arbeider så med elevheftet og Excel-arket. Det er lurt om elevene har hver sin PC, men skriver i et felles elevhefte. Da får begge øving i Excel, kan sammenligne svarene og samarbeide om tekstsvarene. På den første siden i heftet er det noen forklaringer som er viktig for det videre arbeidet. Blant annet skal de lagre regnearket med navnet på gruppen. De blå boksene på elevheftet inneholder spørsmål som elevene skal besvare med egne ord. I de gule boksene skal elevene skrive inn resultatene fra beregninger i Excel. Elevene skal levere regnearket så det er viktig at de tar vare på alle beregninger og kommentarer/overskrifter. Kommentar til læreren Tilpass opplegget til kunnskapene elevene har. Mange formler er godt forklart i elevheftet, men å bruke dem kan fortsatt være vanskelig for elever som har lite erfaring med Excel. Elevene kan søke etter tips og hjelp på https://support.microsoft.com/nb-no/excel. Bli kjent med Titanic-filen I spørsmål 1 blir elevene kjent med regnearket. De undersøker hvilke data regnearket inneholder og hvordan de er oppgitt. Kommentar til læreren Gi elevene god tid til å undersøke dataene. Excel-filen inneholder flere ark. Det er viktig at elevene ikke gjør endringer i Passasjerliste, original slik at de har mulighet til å kopiere dataene derfra ved behov. Problemstilling: Kvinner og barn først? Elevene skal svare på om kvinner og barn ble reddet først gjennom mange oppgaver. Elevheftet forklarer hva de skal gjøre og hvordan. Kommentar til læreren Elevene skal undersøke om den uskrevne loven om at kvinner og barn skal reddes først i en nødssituasjon. Siden datasettet ikke inneholder informasjon om tid, skal elevene i stedet undersøke om kvinner og barn hadde større sannsynlighet for å overleve Titanic-forliset. Hvis det stemmer, er det grunn til å tro at kvinner og barn ble reddet før menn. Elevheftet oppfordrer elevene til å slette kolonner som inneholder data de ikke trenger. Det gjør regnearket mer oversiktlig når elevene skal arbeide med en konkret problemstilling. Behold gjerne passasjernummer slik at det er mulig å sjekke at for eksempel sortering er riktig utført. Om elevene vil beholde navn eller noe annet er det også i orden. Elevene skal bruke ulike formler i Excel. Elevheftet forklarer hvordan elevene skal bruke dem, men det kan være lurt å minne elevene om følgende: Desimaltegn er komma (,). Trykk på kolonnenavn for å markere hele kolonnen (A:A). I formler må tekstvariabler ha anførselstegn rundt (ˮmannˮ). I formler må de bruke semikolon (;) mellom ulike betingelser. Det kan være enklere å kopiere og endre formlene enn å skrive de på nytt hver gang. Bruk Excel som kalkulator. I spørsmål 3 skal elevene sammenligne to metoder de har brukt (i Excel-oppgave 5 og 6) for å beregne sannsynligheten for å overleve for voksne menn, voksne kvinner og barn. I Excel-oppgave 5 har elevene regnet ut sannsynligheten for å overleve ved å dele antall voksne menn som overlevde på det totale antallet overlevende. I Excel-oppgave 6 har de regnet ut sannsynligheten for å overleve ved å dele antall voksne menn som overlevde på det totale antallet menn som var på Titanic. Tilsvarende for voksne kvinner og barn. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive med egne ord hva som skiller de to metodene og å vurdere hvilken metode som gir et mest riktig svar på om kvinner og barn ble reddet først. Det kan hjelpe elevenes resonnering om de tenker seg at det for eksempel bare var et barn om bord og det overlevde. Hva bør sannsynligheten da være for å overleve som barn? Og hva blir den med de to metodene? Oppsummering Oppsummer spørsmål 3 og konklusjonen i en klassesamtale. Velg ut elevpar med ulike begrunnelser til å presentere og diskuter gjerne forskjeller og likheter. Veien videre Elevene har brukt passasjerlisten til å finne ut om kvinner og barn hadde større sannsynlighet for å overleve enn menn. Kanskje elevene lurer på om noe annet påvirket sannsynligheten for å overleve? Eller kanskje det underveis har dukket opp andre spørsmål elevene har lyst til å finne svar på? Datasettet gir mulighet til å undersøke mange ulike problemstillinger.
Elevene arbeider i par eller små grupper slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett, samt at de har sortert objekter etter type og ikke får navn på nye objekt. Se Lær GeoGebra for veiledning (for eksempel GeoGebra-tips for lærere). Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn et linjestykke med lengde 9,4. Tegn en rettvinklet trekant. Linjestykket skal være en side i trekanten. Vis vinklene. Dra i trekanten. Er trekanten alltid rettvinklet? Kan start-linjestykket være katet i trekanten? Kan det være hypotenus? Kommentar til læreren Gi oppgaven muntlig. Skriv gjerne stikkord på tavle eller storskjerm. Forklar begrepene katet og hypotenus om elevene ikke kjenner disse. Hvis elevene har lite erfaring med GeoGebra, kan det være lurt å starte med å lage linjestykket i hel klasse. Vurder også om elevene skal starte med et linjestykke uten fast lengde. Da vil trekanten bli mer dynamisk, men det vil være mer utfordrende for elevene å fokusere på den rette vinkelen. Elevene bør lage et nytt linjestykke for hver trekant de undersøker. Minn de på å bevege et objekt om gangen. I denne aktiviteten er det lettest å tegne trekanten hvor start-linjestykket er en katet. Elevene kan for eksempel tegne en normal linje i et av punktene. Eller de kan lage en vinkel med fast størrelse (90°) i et av punktene. Begge måter gir en dynamisk, rettvinklet trekant. Det er mer krevende å lage en trekant hvor start-linjestykket er hypotenus. Elevene starter med å lage et linjestykke som skal være hypotenus. Da vet de at de to andre sidene i trekanten skal være kateter og at vinkelen mellom disse er 90°. Så kan elevene for eksempel tegne en av katetene, lage en normal i endepunktet og forsøke å få linjen til å treffe endepunktet til hypotenusen (se grønn figur). Eller de kan lage en trekant (Mangekant) og forsøke å få vinkelen mellom sidene til å bli 90° (se lilla figur). Det er lurt å tipse elevene om verktøyet Penn. Det kan de bruke til å markere mens de utforsker. Elevene vil oppdage at start-linjestykket kun blir hypotenus hvis det tredje punktet ligger på halvsirkelen over hypotenusen. Denne matematiske sammenhengen heter Tales’ setning. Den er oppkalt etter Tales fra Milet (ca. 625 f.Kr – ca. 545 f.Kr) som regnes den første matematikeren og den første naturvitenskapsmannen (https://no.wikipedia.org/wiki/Tales_fra_Milet). Når elevene har oppdaget sammenhengen, kan de lage en dynamisk, rettvinklet trekant med hypotenusen som start-linjestykke. Noen elever glemmer å bruke de matematiske egenskapene når de skal lage en dynamisk, rettvinklet trekant. Disse tegner enda et linjestykke (i et av punktene) som de drar slik at vinkelen mellom linjestykkene er 90°. Når elevene drar i trekanten, vil de oppdage at den ikke alltid er rettvinklet. At vinkelen endrer seg, er en god anledning til å snakke om egenskapene til rettvinklede trekanter og hvordan vi må bruke dem for å lage en dynamisk figur. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis. Pass på at klassen får se forskjellige løsningsmetoder, både med linjestykket som katet og som hypotenus. Elevene vil ha stor nytte av å kunne lage dynamiske, rettvinklede trekanter når de senere skal bli kjent med Pytagoras’ setning.
Elevene må kjenne til derivasjon fra før og ha arbeidet med funksjoner i GeoGebra. Undervisningsopplegget Introduksjon til derivasjon er et godt utgangspunkt. Opplegget handler om både den første- og andrederiverte. Det er også mulig å bare jobbe med den førstederiverte (aktivitet 1 og 2). Opplegget legger vekt på at elevene bruker egne ord for å beskrive matematiske sammenhenger. De må resonnere og argumentere for løsninger. Til slutt blir de bedt om å skrive en oppsummerende tekst der de generaliserer sammenhengen mellom funksjonen og dens deriverte. Elevene arbeider i par på hver sin PC og med hvert sitt elevark. På den måten kan de diskutere underveis, samtidig som begge øver på å bruke GeoGebra og å notere ned matematiske observasjoner. Undervisningsopplegget inneholder relativt selvinstruerende oppgaver. Elevene skal være aktive i utforskingen av temaet. Still spørsmål som får elevene til å resonnere og diskutere underveis. Gode spørsmål: Hvorfor tror dere det er slik? Hva forventer dere? Hva mener dere om det? Hvordan ser grafen til `f(x)` ut når stigningstallet til tangentene er positive? Hvordan ser grafen til `f´(x)` ut der `f(x)` har et topp eller bunnpunkt? Aktivitet 1: Funksjonen Elevene starter med å tegne funksjonen `f(x) = x^(3) - x^(2) - 4x +4`. Så tegner de tangenten i et punkt på grafen og viser stigningstallet til tangenten. Deretter skal de tegne fortegnslinjer for graf og stigningen til tangenten, og sammenligne disse. Målet er at elevene skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og stigningstallet til tangenten. Kommentar til læreren Aktiviteten gir elevene øving i å veksle mellom representasjonene graf og fortegnslinje. GeoGebra gjør det lett å tegne grafer og tangenter og å finne ulike verdier, og elevene kan dermed fokusere på de matematiske sammenhengene. Elevene har ofte ulike innfallsvinkler til hvordan de jobber med en oppgave, og det er viktig at de engasjerer seg i hverandres resonneringer og diskuterer underveis. Gode spørsmål: Hvordan gjorde dere dette? Hvordan tenkte dere for å finne ut av det? På hvilken annen måte kunne dere finne ut av det? Aktivitet 2: Den deriverte I denne aktiviteten skal elevene undersøke stigningstallet til tangenten grundigere. Resultatene skal de sammenligne med grafen til funksjonen og grafen til den deriverte til funksjonen. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og grafen til stigningstallet, `g(x)`. De skal også komme fram til at grafen til `g(x)` er lik grafen til `f´(x)`. Kommentar til læreren Elevene skal lage en ny graf, `g(x)`, hvor de bruker stigningstallet til tangenten som y-verdi. De bør være nøyaktige når de lager skissen siden de etter hvert skal sammenligne den med grafen til den deriverte til `f(x)`, tegnet i GeoGebra. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale hvor elevene får presentere og diskutere de matematiske sammenhengene de har funnet. Vektlegg at grafen til den deriverte egentlig er en graf av stigningstallene til tangentene til `f(x)`. Aktivitet 3: Den andrederiverte Elevene skal tegne grafen og fortegnslinjen til den andrederiverte til `f(x)` i GeoGebra. De skal så sammenligne grafen til den andrederiverte med grafene til `f(x)` og den deriverte. Kommentar til læreren Elevene arbeider med den andrederiverte på samme måte som for den deriverte. Elevarket introduserer elevene for begrepet hul side. De blir bedt om å tegne grafen til `f(x)` i to koordinatsystemer, ett der `f´´(x)` er negativ og ett der `f´´(x)` er positiv. Erfaringsmessig er det lettere for elevene å forstå hva den hule side betyr når de splitter funksjonen i vendepunktet. Påpek sammenhengen med grafen til `f(x)`. Til slutt skal elevene oppsummere sammenhengene de har funnet mellom funksjonen og dens deriverte og andrederiverte med egne ord. Elevarket oppfordrer elevene til å bruke matematiske begreper som stigningstall, tangent, bunnpunkt med mer. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive matematikk med ord. Klassesamtaler hvor elevene viser fram og diskuterer eksempler på forklaringer kan bidra til at elevene utvider repertoaret sitt. Oppsummering En fin innfallsvinkel til å oppsummere alle aktivitetene kan være å be elevene forklare sammenhengene til noen andre enn samarbeidspartneren sin. Bruk så elevenes arbeid som utgangspunkt for en klassesamtale om funksjonen og de deriverte. Elevene kan fortsette med aktiviteten fra Mattelist for å øve på å sammenhengen mellom funksjonen, førstederivert og andrederivert. Utvidelse Det er mulig å tilpasse opplegget til elever som trenger større utfordringer. Eksempel 1 Gitt den deriverte funksjonen `h´(x) = 3x^(2) - 2x - 4` Skisser grafen til `h´(x)`. Hvordan vil funksjonen `h(x)` se ut? Skisser den i samme koordinatsystem som `h´(x)`. Eksempel 2 `k(x)` er en tredjegradsfunksjon. Dere får vite at `k´´(x) = -2x+3`. Skisser grafen til `k(x)`. Utfordre elevene til å lage oppgaver til hverandre.
Elevene skal utforske et tre som forgrener seg etter et gitt mønster. Mønsteret er et godt utgangspunkt for å undersøke ulike rekker og følger. Elevene skal så lage generelle uttrykk som viser sammenhengen. Til ett av uttrykkene bruker de GeoGebra som hjelp. Start med en klassesamtale slik at alle elevene forstår hvordan figuren er bygget opp. Aktivitet 1 Målet med aktiviteten er at elevene skal bli kjent med mønsteret og forsøke å lage et generelt uttrykk for sammenhengen. Oppgave fra elevark Figuren er laget slik at grenene deler seg i to. Hver nye gren er halvparten så lang som den foran. Tenk at dere lager uendelig mange grener. Fyll ut tabellen. Sammenlign løsningen deres med andre elevgrupper. Forklar hvordan dere har tenkt. Kommentar til læreren Elevene arbeider i par eller små grupper. Etter en stund skal de sammenligne resultatene med andre par/grupper og forklare hvordan de har tenkt. På den måten kan elevene sjekke egne resultater og unngå at for eksempel regnefeil ødelegger for det videre arbeidet. Det er ikke nødvendig at alle elevene har fylt ut hele tabellen før de sammenligner svarene og læreren inviterer til klassesamtale. De fleste elever vil finne antall nye grener, lengden til en av de nye grenene og total lengde av alle grenene til sammen, når antall steg er et bestemt tall. Når de skal finne lengden fra rot til tupp kan det være lurt å tegne figuren så det blir lettere visualisere. Hvis elever strever, kan de fylle ut tabellen kolonne for kolonne istedenfor rad for rad. Da kan de følge samme tankegangen fra steg til steg. I den siste raden skal elevene lage generelle uttrykk for steg n. Det vil være utfordrende for mange elever. Oppfordre de til å beskrive mønsteret med ord først så kan det bli lettere å lage et algebraisk uttrykk. Å finne uttrykket for total lengde fra rot til en tupp er det mest utfordrende. Det er ikke nødvendig at elevene finner et generelt uttrykk før de starter på aktivitet 2. Der skal de bruke GeoGebra som støtte til å lage et uttrykk for sammenhengen. Steg Antall nye grener Lengden til en av de nye grenene Total lengde til alle genene Total lengde fra rot til tupp 0 1 `1` `1` `1` 1 2 `(1)/(2)` `2` `1 + (1)/(2) = (3)/(2)` 2 4 `(1)/(4)` `3` `1 + (1)/(2) +(1)/(4) = (7)/(4)` 3 8 `(1)/(8)` `4` `1 +(1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8)` ... n `2^(n)` `(1)/(2^(n))` `n+1` Det finnes flere strategier for å komme fram til et generelt uttrykk for lengden fra rot til en tupp. Noen elever vil oppdage at lengden fra rot til tupp alltid er 2 minus lengden til den siste nye grenen, uten å sette opp regnestykker. Elever som løser oppgaven med strategi 2 bruker det de har lært om potenser. De ser at oppgaven handler om potenser av 2. Elever som løser oppgaven med strategi 3 legger sammen brøkene og betrakter mønsteret i teller og nevner hver for seg. Steg Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 0 2 minus lengden til den siste nye grenen 1 1 1 `1 + (1)/(2) = (3)/(2)= 2 - (1)/(2^(1))` `1 + (1)/(2) = (3)/(2) = (4-1)/(2) = ((2^(n)-1)/2^(1))` 2 `1 + (1)/(2) + (1)/(4) = (7)/(4) = 2 - (1)/4 = 2 - (1)/(2^(2)` `1 + (1)/(2) + (1)/(4) = (7)/(4) = (8 -1)/4 = (2^(3) - 1)/(2^(2)` 3 `1 + (1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8) = 2 - (1)/8 = 2 - (1)/(2^(3)` `1 + (1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8) = (16 -1)/8 = (2^(4) - 1)/(2^(3)` ... n `2 - (1)/(2^(n))` `(2^(n + 1) - 1)/(2^(n))` Hvis alle strategiene blir brukt i klassen, er det en god anledning til å repetere potensreglene for å vise at uttrykkene er riktige. `(2^(n + 1) - 1)/(2^(n)) = 2^(n + 1)/(2^(n)) - 1/2^(n) = (2^(n)· 2)/(2^(n)) - 1/2^(n) = 2 - (1)/(2^(n))` Aktivitet 2 Målet med aktiviteten er å lage et generelt uttrykk for total lengde fra rot til tupp med hjelp av GeoGebra. Gi elevene oppgaven muntlig: Legg tallene fra Steg og fra Total lengde fra rot til tupp inn i regnearket i GeoGebra (steg 72 kan de utelate). Velg Lag liste med punkter. Lukk regnearket. Undersøk punktene i Grafikkfeltet. Lag en funksjon som passer til punktene. Kommentar til læreren Elevene er vant til å finne formler ved hjelp av regresjon i GeoGebra, men til denne oppgaven passer ingen av de forhåndsdefinerte funksjonene. I stedet skal elevene bruke de dynamiske egenskapene til GeoGebra som støtte når de resonnere seg fram til riktig uttrykk. Aktiviteten vil derfor også passe for elever som allerede har funnet det generelle uttrykket. På bildet er det tatt utgangspunkt i f(x) = 2x. Elevene kan observere at grafen har en form som ligner, men at den har feil retning. Bildet viser mulige tilnærminger. Grafen h(x) har riktig form, men ligger for lavt i forhold til punktene. Elevene vet at ved å endre konstantantleddet kan de endre hvor grafen skjærer y-aksen. Hvis de lager en glider, kan de flytte grafen opp og ned langs y-aksen. Gode spørsmål: Har dere sett en type graf som kan passe til punktene? Hvilke typer funksjoner går alltid gjennom punktet (0,1)? Tegn inn funksjonen `f(x) = 2^(x)` Hvordan passer den til punktene? Hvordan kan dere endre funksjonsuttrykket slik at grafen «bøyer seg» en annen vei? Hvordan kan dere flytte grafen langs y-aksen? Kan en glider hjelpe dere? Noen elever synes at det vanskelig å finne generelle formler. GeoGebra kan gi disse elevene god støtte i arbeidet. I denne aktiviteten kan ikke elevene bruke en av de forhåndsdefinerte funksjonene i regresjonsanalysen, men de må bruke kunnskapene de har om funksjoner. Vis fram ulike fremgangsmåter og drøft uttrykkene elevene har funnet i en klassesamtale. Oppfordre elevene til å sette ord på hvilke matematiske egenskaper de har brukt for å komme fram til et uttrykk som passer til punktene. Aktivitet 3 Be elevene undersøke hva som skjer med grafen når n blir uendelig stor. Hvor langt blir det fra rot til tupp? Utfordre dem til å vise det på flere måter. Kommentar til læreren Observer hvilke metoder elevene bruker. Når elevene har funnet flere ulike løsninger, kan gruppene få vise fram og forklare hvordan de har tenkt. Det er viktig å få fram at det finnes mange muligheter for å finne en løsning på denne utfordringen. Elevene kan da oppdage at ulike kompetansemål henger sammen. For mange elever vil dette gi en aha-opplevelse som kan bidra til dybdelæring. Grafisk løsning Tegn grafen til uttrykket og velg Asymptote. Summen nærmer seg 2 hvis n blir uendelig stor. Grenseverdi ved regning: Dette er en god repetisjon av algebra. Utfordringen er å omforme 2n+1 slik at elevene kan forenkle brøken. `lim_(n->oo)(2^(n+1)-1)/(2^(n)) = lim_(n->oo) ((2^(n+1))/2^(n) - (1)/(2^(n))) = lim_(n->oo) ((2·2^(n))/2^(n) - (1)/(2^(n))) = 2 - lim_(n->oo) (1)/2^(n) = 2` Grenseverdi som sum av en uendelig geometrisk rekke Lengden øker slik: `1 + (1)/(2) +(1)/(4) + (1)/(8) +(1)/(16)...` Den totale lengden er en geometrisk rekke hvor `k = (1)/(2)` og `a_(1) = 1`. `s = (a_(1))/(1-k) = (1)/(1- (1)/(2))= 2`
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
