De brikkene vi bruker er formet som likesidete trekanter, kvadrater, rektangler, sekskanter og sirkler. Brikkene har tre ulike farger (rød, gul og blå), to ulike størrelser (stor og liten) og to ulike tykkelser (tynn og tykk). Dersom gruppa blir for stor, kan det bli mye venting. Forarbeid: La barna få leke fritt med de logiske brikkene. Legg merke til hva barna gjør og hvordan de bruker brikkene og snakk sammen om dette når leken er over. Snakk om figurenes egenskaper. Gjennomføring: Plasser tre mengderinger i ulik farge slik at de overlapper hver andre (se bilde nederst til høyre). Be barna legge de logiske brikkene etter forskjellige instrukser, som for eksempel Blå ring: Trekanter Gul ring: Store figurer Rød ring: Røde figurer Alle barna får en brikke hver som de skal plassere og fortelle hvorfor de plasserer den som de gjør. Still mange spørsmål til barna Hva skal vi gjøre hvis en trekant er både stor og rød? Hvor kan vi plassere en liten, gul sekskant? Hva vil dere gjøre dersom en sirkel er stor og rød? Dersom opplegget skal tilpasses yngre barn kan dere bruke to ringer (se bilde øverst). Forslag til videre arbeid/tips/variasjon Oppgaven kan varieres ved å definere andre egenskaper ved figurene som skal plasseres i ringene. Her fins uendelig mange variasjoner. Faglig, didaktisk input og refleksjon: Det er viktig at vi som voksne ikke alltid krever fasitsvar av barna. Lytt til barnas svar og forsøk å forstå hvordan de resonnerer. Barnas svar er ofte begrunnet i egenskaper vi voksne ikke tenker over, men som er vesentlig for barna. Barnas løsninger skal være utgangspunkt for videre utforsking og læring. Veiled dem videre ved å stille gode spørsmål og diskuter ulike løsninger på sortering etter egenskaper. De logiske brikkene vi bruker her, representerer kun én type trekanter og sekskanter, de regulære, og kun rettvinklede firkanter. Barna må bevisstgjøres om at figurer har navn etter antall kanter og at det finnes mange ulike trekanter, firkanter og sekskanter som ikke fins blant disse brikkene. Overlappende ringer som brukes i denne aktiviteten kalles Venndiagram etter John Venn som var en britisk matematiker på 1800-tallet. Ringene brukes i mengdelære og viser den logiske forbindelsen mellom ulike grupper av ting. I skolen brukes venndiagram spesielt i forbindelse med kombinatorikk og sannsynlighetsregning.
Gjennomføring Hva er tid? La barna få si hva de tenker på når de hører ordet tid. Ta fram og la barna få se forskjellige timeglass. Kanskje har noen av barna sett et timeglass før? De kjenner det kanskje fra spill de har hjemme eller i barnehagen? Hvor lang tid tar det før sanden renner ut? Ta fram et timeglass som viser 60 sekunder/et minutt. Her kan det være moro å øve på å telle ”sekunder-fort”. Sjekk ved å snu timeglasset, telle opp fra 0 - 60 og neste runde fra 60 og ned til 0. Det er om å gjøre å klare det akkurat likt med at sanden renner ut. Barna gjennomfører aktivitet på tid. Klarer vi å plassere riktig antall tellebrikker på hvert tall på tallinjen før sanden har rent ut? Klarer vi å rydde vekk lekene før sanden renner ut? Bruk timeglasset i hverdagsaktiviteter! Forslag til videre arbeid/tips/variasjon Ta frem og sammenlign ulike klokker, vekkeklokke, klokke på mobiltelefon, pulsklokke, digital klokke med mer. Faglig, didaktisk input og refleksjon Når vi ber barna si hva de tenker når vi snakker om tid, kan det være at noen av barna intuitivt vil forstå og bemerke at når det gjelder tid, så handler det om et annet tallsystem. (60-tallsystemet). Barn bør få erfaring med at det finnes flere forskjellige tallsystemer. Det kan vi gjøre på mange forskjellige måter. For eksempel ved å legge opp til at de får bestemme sitt eget system når de leker butikk og lager sine egne penger med ulik verdi.
To eller tre elever spiller sammen. Hver gruppe bestemmer seg or et tall som er "blinken". Enten kan læreren bestemme på forhånd hvilke regneoperasjoner elevene skal bruke, eller så kan elevene selv velge dette ut fra hvilket nivå de befinner seg på. For de yngste elevene kan det være nok med + og -, men det går an å ta med multiplikasjon og divisjon for å gi elevene ekstra utfordringer. Elevene på gruppa kan kan kaste en terning for å avgjøre hvem som skal starte spillet. Den med flest øyne på terningen starter. Hun kaster alle de 5 terningene på en gang, og prøver ved hjelp av de valgte regneoperasjonene å kome så nært blinken som mulig. Alle tallene terningene viser skal brukes, men bare en gang. Spørsmål læreren kan stille gruppene underveis i prosessen: Hvilket tall skal vi velge som blink? Dersom vi holder oss til + og - , hva er det største tallet og hva er det minste tallet vi kan velge som blink? Hvilke valg har du for å komme nærmest mulig blinken? Ser du noe umiddelbart som det lønner seg å gjøre? Hvorfor? Prøv deg gjerne fram dersom du er usikker. Eksempel: Gruppa har på forhånd bestemt at blinken skal være 25. Terningene viser 6, 5, 5, 3, 1. Da vil for eksempel 6 • ( 3+1) + 5 : 5 = 25. Selvsagt kan man også velge andre muligheter. Den som treffer blinken eller kommer nærmest får et poeng. Hvis en eller flere av motspillerne etterpå treffer blinken blir det uavgjort, og de får et poeng hver. Når alle spillerne på gruppa har kastet terningene og bygd ett tall, kan de enten spile på nytt med samme blink, eller velge en annen blink. Elevene skriver poengene i en tabell, og det er om å gjøre å få flest poeng. Variasjonsmuligheter Begrens eller utvid hvilke regnearter det er lov å bruke. Kast med flere terninger. Kast med minst 7 terninger og la det være lov å lage flersifra tall. La 1000 være blink. La spilleren som ikke kaster bestemme blinken. Tall mellom 5 og 30, ikke lov å tenke mer enn 10 sekunder etter kastet.
Kortene fordeles likt mellom spillerne. Legg til side kort som blir til overs. Hver spiller legger kortene foran seg med billedsiden ned. For hver runde legger hver spiller opp et kort. Det største kortet vinner runden og får alle de andre kortene. Gevinsten legges i en egen bunke. Når spillerne har brukt opp kortene de fikk utdelt, starter de på gevinstbunken. Spillet fortsetter til en spiller sitter igjen med alle kortene. Dersom to spillere legger opp like kort, blir det krig. Det kan være lurt å la elevene diskutere hva de skal gjøre når det oppstår krig. Ta også med hva som skjer dersom krigen ikke er de høyeste kortene på bordet (to tiere og en konge). Det tradisjonelle spillet Krig har følgende regler: To like kort vinner alltid over kort som ikke er like. Dersom det kommer opp flere par med like kort, vinner det høyeste paret. Tre like kort vinner alltid over et par. Krigen avgjøres ved at spillerne først legger ut tre kort med billedsiden ned. Det fjerde kortet snus og det høyeste av fjerde-kortene vinner potten inkludert de snudde kortene. Dersom fjerdekortene er like gjennomføres prosedyren på ny. Husk at dette er en av mange måter å løse krigen på. Elevene kan komme opp med vel så gode løsninger. Ingen løsning er bedre enn den andre, men de ulike løsningene gir ulike spill.
Forberedelser I dette opplegget skal vi bruke esken i midten på figur 1. Til hvert sett: Klipp ut et kvadrat i rødt papir som passer nøyaktig inn i esken. Legg det inn i bunnen av esken. Legg så tilbake de fire gule trekantene og det blå pappkvadratet som ligger i midten. Hvis det ikke ligger noe blått kvadrat i midten (kvadrat på hypotenusen), må slike også klippes ut og legges inn. Undervisningsopplegget På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Opplegget inneholder et visuelt «bevis» for Pytagoras setning. Det er mangelfullt som bevis, men likevel ganske overbevisende. Grunnen til at dette ikke er noe fullgodt bevis, er at vi påstår at vi får kvadrater, uten å vise hvorfor det virkelig er slik. Opplegget er helt «algebrafritt» i pkt. 1–5. Målet er at elevene skal se hvordan de kan løse oppgaver med Pytagoras setning uten å bruke algebra og løse likninger. Det er nok å ha en figur til hjelp. For en del elever er det et rimelig læringsmål. Det er viktig at også elever som behersker algebra godt, får med seg denne måten å tilnærme seg Pytagoras setning på. I pkt. 6 innføres bokstaver som navn på sidene, og vi ender med den kjente formelen for Pytagoras setning: a2 + b2 = c2. Introduksjon av undervisningsopplegget Be elevene skrive opp alt de husker om rettvinklede trekanter og Pytagoras setning. Ta det opp i fellesskap, hør hva elevene allerede kan, og bruk anledningen til å supplere og korrigere eventuelle misforståelser. 1 Begynn med esken der brikkene ligger, slik: Kommentar til læreren Det ligger et blått pappkvadrat inne i eskene. Hvis dette mangler, bør det legges et slikt kvadrat inn i eskene. a Hvorfor kaller vi de fire trekantene for rettvinklede trekanter? Skriv med egne ord. b Den blå firkanten i midten er et kvadrat, vi kaller den kvadratet på hypotenusen. Hvorfor? Skriv og forklar. De resterende oppgavene finner du i kopieringsoriginalene. f Hva kan vi si om arealet av det store blå kvadratet i forhold til arealene av de to røde kvadratene? Regelen du har funnet, kalles Pytagoras setning. Skriv regelen i ruta nedenfor. Kommentar til læreren La elevene arbeide seg gjennom pkt. a, hvor de skal prøve å formulere skriftlige svar i alle rutene. Læreren kan benytte anledningen til å se hvordan enkeltelever arbeider, og det er mulighet til å ha små samtaler med dem. Når elevene er ferdig med dette punktet, bør læreren stoppe opp og samtale med elevene i plenum. Hva har de skrevet? Hvorfor har de skrevet det slik? Det er mange måter å uttrykke seg på, og alle utsagn som er riktige, må verdsettes. Mange elever fanger opp gode tips og ideer fra andres forklaringer. Det er like viktig å kunne være god til å lytte som å være god til å forklare. Samtidig er dette en anledning for læreren til å fange opp og avklare misforståelser. Hensikten med opplegget er at elevene skal forstå hva Pytagoras setning egentlig sier om rettvinklede trekanter og kvadratene på sidene. Det er fint om de formulerer setningen i pkt. f med ord, for eksempel «Arealet av det blå kvadratet er like stort som arealene av de røde kvadratene til sammen» eller «Arealet av kvadratet på hypotenusen er like stort som arealet av kvadratene på katetene til sammen». 2 Eksempel: Vi tenker oss at alle de rettvinklede trekantene har en katet som har lengde 3, en katet som har lengde 4, og hypotenus med lengde 5. a Hvor stort er arealet av det blå kvadratet i dette tilfellet? b Hvor store er arealene av de to røde kvadratene? c Stemmer regelen til Pytagoras i dette tilfellet? Skriv og forklar. Kommentar til læreren Stans etter pkt. 2 og hør hva elevene har kommet fram til her. Diskusjon/samtale. Har elevene forstått sammenhengen mellom de to figurene? Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt 6. tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det må selvsagt bruke algebra. Men med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Når du samtaler om løsninger med elever, så spør «Hvorfor gjør du slik?» eller «Hva har du gjort her?» for å få tak i hva eleven har tenkt. Slike spørsmål bør man også stille til elever som ser ut til å løse alle oppgavene uten problemer. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene. 5 Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 13 m lang, og den korteste kateten er 5 m. Hvor lang er den andre kateten? Kommentar til læreren Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt. 6 tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det, må selvsagt bruke algebra. Med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene.
Arbeidsform Elevene sitter i grupper på fire rundt et bord. To og to skal arbeide sammen, men de fire har på denne måten mulighet til å diskutere og dele ideer med hverandre underveis. Opplegget starter inne med undersøkende aktiviteter. Deretter går alle ut for å gjøre målinger og samle inn data. Elevene går inn igjen for å gjøre beregninger. Klassen trekker konklusjoner og setter ord på hva de har lært, under ledelse av læreren. Læreren har en viktig oppgave som igangsetter, «los» og inspirator under hele økta, i tillegg til at han eller hun skal sørge for at de nye begrepene blir innført på en faglig forsvarlig måte. Elevene skal gå fra det kjente (formlike trekanter) til det ukjente (sinus, cosinus og tangens), slik at det blir naturlig for dem å innføre de nye begrepene. De skal raskt få se hva dette kan brukes til i praksis ved å gjøre egne observasjoner, målinger og beregninger. Denne introduksjonen skal gjøre dem i stand til å arbeide videre med trekantberegning. De skal være med å utlede arealsetningen, cosinussetningen og sinussetningen i de kommende timene. På dette nivået anbefales det å bruke nabovinkler for en logisk utvidelse av sinus og cosinus til vinkler mellom 90 og 180 grader. Læreren kan på forhånd ha tegnet en trekant på tavla som forklarer hvordan klinometeret virker. Møbler rommet og legg geobrett og strikk på pultene på forhånd for å spare tid. Læreren må også ha tenkt ut to høye ting i skolens nærområde som elevene skal bestemme høyden til. Vi brukte to av skolens bygg. Læreren bør tenke gjennom hvordan hun eller han skal sette i gang elevene. En fin regel er å si minst mulig, men nok til at elevene kommer i gang. Når de er i gang med ulike utforskinger, går læreren rundt og svarer på spørsmål og kommer med innspill som får elevene videre. Introduksjon (5 min) Legg et geobrett på overhead. Legg en vinkel med toppunkt i nederste venstre hjørne. Spør om noen kan lage en rettvinklet trekant der denne vinkelen er med. La en elev komme opp og gjøre det. Utforsking (15 min) Oppgave til eleven: - Lag din egen vinkel med toppunkt i nederste venstre pinne (ikke maken til lærerens). - Lag ulike rettvinklede trekanter der denne vinkelen er med i trekanten. Kommentar til læreren Gå rundt og se hva elevene gjør. Noen vil bare lage trekanter med den rette vinkelen rett til høyre for den første vinkelen (langs grunnlinja). Noen vil helt sikkert også lage den rette vinkelen over grunnlinja. Når elevene har laget fire eller fem trekanter, samles dere ved geobrettet på overhead. Få elevene til å lage trekanter. Spørsmål til elevene: Hva er felles for alle disse trekantene? Svar: De er formlike. Spørsmål til elevene: Hva vet dere om formlike trekanter? Svar: Forholdet mellom to sider i én trekant er lik forholdet mellom to tilsvarende sider i en annen trekant. Introduser begrepene motstående og hosliggende katet. Innføring av nye matematiske begreper (10 min) La elevene måle forholdet mellom Motstående katet og hypotenusen i alle trekantene sine. Snakk litt om gjeldende siffer. Hosliggende katet og hypotenusen i alle trekantene. Motstående katet og hosliggende katet i alle trekantene. Når dere sammen har konstatert at disse forholdene er konstante, er det lekende lett og naturlig å introdusere forholdene i a, b og c som henholdsvis sinus, cosinus og tangens til vinkelen elevene begynte med. Læreren viser på tavla hvordan vi kan bruke dette til å beregne ukjente sider i en rettvinklet trekant når vi kjenner en vinkel og en side. Anvendelser, datainnsamling (30 min) Elevene introduseres for klinometeret. Læreren demonstrerer hvordan det kan brukes til å måle siktevinkel. Elevene tar med målebånd, klinometer, kladdebok og blyant ut. Gruppene foretar vinkelmålinger og avstandsmålinger ute. Hvert par skal finne siktevinkelen til toppen av to høye ting i tre ulike avstander, for eksempel 5 m, 10 m og 15 m. De skal også notere hvor høyt de vil anslå de ulike tingene de måler, til å være. Bearbeiding av data, presentasjon av resultater (20 min) Etter at målingene er foretatt, går alle inn igjen. Elevene bruker sine egne data til å regne ut høydene. Be dem tegne figur. Tegn inn en rettvinklet trekant som kan brukes til å beregne høydene. Diskuter enten samlet eller ved bordene om de skal bruke sinus, cosinus eller tangens. Hvordan skal de kompensere for høyden over bakken hvor de måler vinkelen fra? (Noen elever vil sikkert legge seg ned for å unngå å måtte legge til egen øynehøyde.) Be elevene sammenlikne de beregnede verdiene med verdiene de gjettet. Hvorfor ble det riktig/feil? Felles oppsummering og diskusjon La elevene først få si hva de har lært. Pass på å få med de presise definisjonene av sinus, cosinus og tangens. Utfordre dem gjerne til å finne eksempler på situasjoner der trigonometri vil være nyttig for å kunne foreta beregninger. NÅ er det på sin plass å fortelle elevene at de må PUGGE definisjonene av sinus, cosinus og tangens, og at de må lære hva som menes med motstående og hosliggende katet til en vinkel i en rettvinklet trekant. Avslutt timen med å si at dere skal arbeide videre med trigonometri og se hvordan det også kan brukes til å beregne sider, vinkler og areal i trekanter som ikke er rettvinklet. Film {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/xt46aZApMJE.jpg?itok=QQZ8Fm-i","video_url":"https://youtu.be/xt46aZApMJE","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]}
Elevene arbeider med andregradsfunksjoner hvor funksjonsuttrykket er oppgitt på formen f(x) = ax2 + bx + c og på faktorisert form. La elevene oppdage sammenhengene selv, og oppfordre dem til å diskutere underveis og til å bruke matematiske ord og uttrykk. Bruk helklassesamtaler for å løfte fram oppdagelser. Aktivitet 1 Klassen gjør første aktivitet sammen. Læreren tegner grafene til f(x) = x2 - 7x + 10 og g(x) = (x - 2)(x - 5) i GeoGebra og klassen studerer grafene. Målet er at elevene skal oppdage at andregradsuttrykkene gir den samme grafen. Kommentar til læreren Gode spørsmål: Hva oppdager dere? Hvorfor er det slik? Hva slags funksjoner er f og g? Hva er nullpunktene til funksjonene? Vi sier at funksjonen g er skrevet på faktorisert form. Hvorfor? I tillegg til å snakke om spørsmålene nevnt over, er det viktig at elevene forstår hva faktorisert form betyr og hva som er fordelen med den. På elevarket er det satt av plass til at elevene kan oppsummere helklasseaktiviteten med egne ord. Aktivitet 2 Elevene arbeider med aktivitet 2 på elevarket. Utgangspunktet er funksjonsuttrykk gitt på faktorisert form, og elevene skal finne nullpunktene og funksjonsuttrykk på formen f(x) = ax2 + bx + c. Målet er at de skal generalisere sammenhengen mellom uttrykkene. Kommentar til læreren Hvis klassen har gjennomført opplegget Andregradsfunksjoner 4, er sammenhengen mellom andregradsfunksjon på faktorisert form og dens nullpunkter kjent. Nå skal de lage et generelt uttrykk som beskriver sammenhengen mellom faktorisert form og formen f(x) = ax2 + bx + c. På elevarket skal elevene først se på noen konkrete eksempler og deretter prøve å lage et generelt uttrykk som viser sammenhengen med a, b og c. Siden alle uttrykkene består av to parenteser med kun én x i hver, vil a = 1 for alle uttrykkene. Ved å multiplisere sammen parentesene i k(x) = (x + s)(x + t) og samle ledd av samme grad, kan elevene komme fram til at k(x) = x2 + (s + t) x + (s ∙ t). Altså er b = s + t og c = s ∙ t. Aktivitet 3 Elevene tar utgangspunkt i funksjonsuttrykk på formen f(x) = ax2 + bx + c. Målet er å bruke sammenhengen fra aktivitet 2 for å omskrive uttrykkene til faktorisert form. Kommentar til læreren Å kunne skrive funksjonsuttrykket til andregradsfunksjoner om til faktorisert form er en nyttig metode for å finne nullpunktene til funksjonen på. Det er også kjekt hvis brøker eller brøkfunksjoner inneholder andregradsuttrykk. Aktivitet 4 Elevene undersøker andregradsfunksjoner hvor a ≠ 1. Målet er å utvikle metoden fra aktivitet 2 og 3 til å gjelde for alle andregradsfunksjoner. Kommentar til læreren De starter med å sammenligne en andregradsfunksjon hvor a = 1 med en funksjon hvor alle ledd er doblet. Funksjonene har like nullpunkter og forskjellig krumning. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive matematikk med egne ord. Spørsmålene «Hva er forskjellig?» og «Hva er likt?» kan hjelpe elevene i gang. Forslag til regel for å faktorisere: Hvis x = s og x = t er nullpunktene til en andregradsfunksjon, f(x) = ax2 + bx + c, kan f faktoriseres slik: f(x) = a(x - s)(x - t). Oppsummering Avslutt med en helklassesamtale. Løft fram matematiske ord og uttrykk som elevene bruker. Gode spørsmål: Hva er fordelen med faktoriserte uttrykk? Hva er sammenhengen mellom faktorisert form og nullpunkter? Hva er sammenhengen mellom faktorisert form og a-b-c-form? Har alle andregradsfunksjoner en faktorisert form? Hvorfor/hvorfor ikke?
Elevene skal arbeide med andregradsfunksjoner med to nullpunkter. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og nullpunkter. Aktivitet 1 I første aktivitet tegner læreren grafen til f(x) = (x + 2)(x + 3) og leder en klassesamtale med fokus på: Hva slags funksjon er f? Hva mener vi når vi snakker om nullpunktene til funksjonen? Hvor finner vi nullpunktene til funksjonen f, og hva er de? Hva er sammenhengen mellom nullpunktene og funksjonsuttrykket? Kommentar til læreren Still spørsmålene og la elevene forklare og begrunne. Hvis elevene ikke oppdager det selv i løpet av klassesamtalen, så gjør de oppmerksomme på at hele funksjonsutrykket blir 0 når uttrykket i en av parentesene blir 0. At et produkt blir lik 0 når en faktor er lik 0 er noe mange elever vet, men det er fint for dem å se hvordan de kan utnytte den egenskapen i praksis. Be gjerne elevene å regne ut funksjonsverdien til nullpunktene, f(-2) og f(-3), for å vise det enda tydeligere. Aktivitet 2 Elevene arbeider med ulike andregradsfunksjoner og nullpunktene deres. Oppgave 1: Finn nullpunktene til g(x) = (x + 1)(x + 4). Oppgave 2: Finn nullpunktene til h(x) = (x – 1)(x + 5). Oppgave 3: Funksjonen i har nullpunkter i x = -2 og x = 3. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Oppgave 4: Finn nullpunktene til j(x)= x2 – 5x + 4. Kommentarer til læreren Del oppgavene med elevene og la elevene arbeide i par eller små grupper. Oppfordre dem til å gjette før de sjekker i GeoGebra. Oppgave 1 og 2 er oppgitt på samme form som i aktivitet 1, f(x) = (x + r)(x + s), og elevene kan løse dem på samme måte. I oppgave 3 er nullpunktene oppgitt, og elevene kan tenke baklengs for å løse oppgaven. I oppgave 4 er funksjonsuttrykket gitt på formen som kanskje er mest kjent for elevene. Elevene kan løse oppgaven ved å finne nullpunktene ved regning eller med GeoGebra. De kan også bruke oppgave 1 som utgangspunkt og endre fortegn. Oppsummer aktiviteten kort før aktivitet 3. Ha gjerne fokus på sammenhengen mellom oppgave 1 og 4. Aktivitet 3 Elevene lager lignende oppgaver til hverandre. Kommentar til læreren La elevene arbeide i par eller små grupper. Oppfordre dem til å lage varierte oppgaver. Hvis noen trenger hjelp til å komme i gang, kan de bruke uttrykket f(x) = (px + q)(rx + s) som utgangspunkt. Før de løser oppgavene som medelevene har laget (uten digitale verktøy), skal de gjette hva de tror løsningen kan være. Og etter at de har funnet en løsning, skal de bruke GeoGebra for å kontrollere om løsningen er riktig. Oppsummering La elevene oppsummere individuelt ved å lage et notat til fremtidige, glemsomme seg. Notatet bør inneholde eksempler av varierende vanskelighetsgrad og ting eleven mener det er viktig å huske. Øving Skriv opp ni oppgaver fordelt på tre ulike vanskelighetskategorier og la elevene velge hvilke oppgaver de gjør selv. Forslag: Mild Finn nullpunktene til a(x) = (x – 3)(x + 1). Finn nullpunktene til b(x) = (5 – x)(x – 2). Funksjonen c har nullpunkter i x = 6 og x = -1. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Medium Finn nullpunktene til f(x) = (3x – 1)(x + 2). Finn nullpunktene til g(x) = (6 – 3x)(4x + 2). Funksjonen h(x) har nullpunkter i x = 1/2 og x = -1. Den har også et toppunkt. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Spicy Finn nullpunktene til n(x)= -x2 + 10x – 21. Funksjonen m(x) har nullpunkter i x = -3 og x = 2/3. Den har også et toppunkt som har funksjonsverdi større enn 5. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Funksjonen o(x) har bare ett nullpunkt. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Bruk gjerne en blanding av oppgaver som du har forberedt og oppgaver som elevene har laget.
Elevene skal lage ulike rektangler som har en omkrets på 24 lengdeenheter. En lengdeenhet er sidelengden til én brikke. Deretter skal de bruke regresjon for å komme fram til et uttrykk som beskriver arealet som en funksjon av sidelengden. La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Aktivitet 1 Elevene lager ulike rektangler med omkrets 24 ved å bruke kvadratiske brikker. De skriver opp sidelengde og areal i en tabell. Kommentar til læreren Oppfordre elevene til å tegne skisser av rektanglene, inkludert sidelengde og areal. Deretter samler de observasjonene i en tabell der rektangelets lengde er x-verdien og arealet er y-verdien. Hvis skolen ikke har kvadratiske brikker, kan elevene bruke fyrstikker eller tegne rektangler på ruteark. x, sidelengde y, areal Aktivitet 2 Elevene bruker regresjon i GeoGebra for å finne et funksjonsuttrykk. Kommentar til læreren Hvis elevene har brukt regresjon i GeoGebra tidligere, er aktiviteten en fin repetisjon. Hvis ikke, er det en fin aktivitet for å introdusere det til elevene. For at GeoGebra skal kunne finne et passende funksjonsuttrykk, må elevene først skrive inn x- og y-verdiene i hver sin kolonne i Regneark-vinduet. Deretter merker de alle verdiene og velger Regresjonsanalyse. Elevene kan velge ulike regresjonsmodeller, men vil raskt oppdage hvilken som passer best til punktene, nemlig et andregradspolynom. Oppsummering La elevene diskutere sammenhengen mellom rektangel og graf/funksjonsuttrykk i par. Etterpå er det fint med en oppsummering i helklasse. Gode spørsmål: Hva forteller grafen? Hva forteller toppunktet? Hva er den minste verdien for sidelengden til rektangelet? Hvorfor? Hva er den største verdien for sidelengden til rektangelet? Hvorfor? Det kan være fint å introdusere begrepene gyldighetsområde/definisjonsmengde og verdimengde for elevene i oppsummeringen. Den praktiske konteksten kan gjøre det lettere for elevene å forstå hva begrepene betyr. I tillegg viser opplegget hvordan de kan bruke en funksjon til å beskrive en geometrisk sammenheng. Oppleggene Andregradsfunksjoner 4 og Sammenhengen mellom arealet og omkretsen til et rektangel passer fint som fortsettelse.
Elevene skal bli kjent med hvordan koeffisientene til andregradsfunksjonen påvirker grafen. De bruker GeoGebra i utforskningen og arbeider parvis med hvert sitt elevark. Elevene bør skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Oppfordre elevene til å bruke begrep som funksjonsuttrykk, graf, ekstremalpunkt, toppunkt, bunnpunkt, andregradskoeffisient, førstegradskoeffisient og konstantledd. Prøv ut aktivitetene på forhånd slik at du vet hva elevene skal gjøre og hvilke problemer som kan oppstå, både faglige og tekniske. Minn elevene på å teste løsningene sine i GeoGebra. Aktivitet 1-3 Elevene skal variere én og én koeffisient ved hjelp av glidere i GeoGebra. De skal observere og beskrive hvilke egenskaper til grafen som endrer seg og som ikke endrer seg. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf når koeffisientene varierer. Kommentar til læreren Sørg for at elevene kjenner til begrepene koeffisient og variabel. I uttrykket elevene skal arbeide med står koeffisientene a, b og c for ukjente tall som er faste, mens variabelen x står for et ukjent tall som kan variere. Elevene kan ha nytte av å bruke sporing av punkter når de undersøker funksjonene. For eksempel ved å tegne ekstremalpunktet til funksjonen, høyreklikke på punktet og velge Vis spor. Når elevene beveger på en glider, vil GeoGebra tegne sporet til ekstremalpunktet. Det kan gjøre det lettere å beskrive hva som skjer. Når alle elevene har skrevet ned sine observasjoner fra aktivitet 1, kan det være lurt med en klassesamtale for å komme fram til hva en god beskrivelse bør inneholde. Velg ut noen elevpar som presenterer sine beskrivelser, og bruk disse som utgangspunkt for samtalen. Ved å undersøke likheter og ulikheter til hverandres beskrivelser, kan elevene bli bedre til å beskrive matematiske observasjoner med egne ord. Aktivitet 4 Elevene skal bruke erfaringene fra aktivitet 1-3 til å lage funksjoner som oppfyller gitte kriterier. Målet er at de skal få varierte erfaringer med andregradsfunksjoner. Kommentar til læreren I de fleste oppgavene skal elevene starte med å tegne en funksjon. Så skal de resonnere seg fram til hvordan de kan endre funksjonsuttrykket slik at grafen tilfredsstiller nye kriterier. Oppfordre elevparene til å lage hypoteser, resonnere og diskutere muntlig før de tester løsningene sine i GeoGebra. Elevene kan også lage oppgaver til hverandre. Oppsummering La elevene dele beskrivelsene fra aktivitet 1-3. Snakk også om utvalgte oppgaver fra aktivitet 4. Hvordan har elevene løst oppgavene og hvordan har de tenkt? På forhånd kan du gjerne spørre noen elevpar om å presentere løsningen sin og forklare hvordan de har tenkt.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
