Vis bilde med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert. Etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på dem måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere. Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut. De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «8 · 6» blir drøftet nærmere nedenfor. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder. Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a · (b · c) Prikkene kan betraktes som åtte grupper med seks prikker i hver gruppe. Gruppene er fordelt på to rader, med fire grupper i hver rad. Faktorene 6, 4 og 2 vil da inngå i utrykkene. Antall prikker per rad kan regnes ut først og antallet dobles. For elevene kan det da være naturlig å foreslå notasjonen (6 · 4) · 2, fordi det beskriver rekkefølgen i tankegangen deres. Andre mulige betraktninger: 6 · (4 · 2) – Seks prikker i hver gruppe, fire grupper som speiles. (6 · 2) · 4 – Seks prikker som er speilet. Det er fire slike grupper. (4 · 2) · 6 – Fire grupper på ei rad i to like rader, multiplisert med 6 prikker i hver gruppe. Tar man utgangspunkt i at kommutativ egenskap ved multiplikasjon er kjent for elevene fra før, kan man diskutere assosiativ egenskap ved multiplikasjon. Distributiv egenskap: a · (b + c) = ab + ac Figuren til høyre viser en annen måte å betrakte bildet på. Man ser fire grupper med prikker som består av ti prikker i midten og to på kantene. En symbolsk beskrivelse kan da være (10 + 2) · 4. Bildet kan også betraktes som fire tiere og fire toere, altså som (10 · 4 + 2 · 4). En sammenligning av de to betraktningene gir en illustrasjon av den distributive egenskapen. Symbolsk beskrivelse Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 6 · 4 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 6 · 4 → 24 · 2 → 48 Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og strukturen i tallet 48.
Klassen eller gruppa sitter i lyttekroken. Vis fram bildet på smartboarden eller overhead: Først skal elevene tenke gjennom spørsmålene individuelt i to-tre minutter. Deretter setter de seg sammen to og to, eller tre og tre, og diskuterer det de har kommet frem til. Til slutt presenterer hver gruppe det de har blitt enige om. Dette kalles IGP-metoden: først individuelt arbeid, så diskusjon i par/grupper før læreren leder en oppsummering i plenum. Spørsmål til diskusjon: Er det noen tall på bildet som har samme verdi? I tilfelle hvilke? Grupper dem som er like og forklar hvorfor de har samme verdi. Er 0,30 det samme som 0,3? Hvorfor eller hvorfor ikke? Har det noe å si for verdien til et tall at du legger til en 0 på slutten? Diskuter og begrunn. Kommentarer til læreren Få elevene til å bruke de riktige begrepene under diskusjonene. Ha fokus på posisjonssystemet og bruk begreper som enere, tiere, tideler, hundredeler osv.
Lag kort med desse påstandane på: Når vi skal multiplisere med 10, kan vi henge på ein null bak på talet. Når vi multipliserer, blir svaret større. Vi kan ikkje dividere eit lite tal med eit stort tal. Tal med mange siffer har større verdi enn tal med få siffer. Elevane skal arbeide i grupper og diskutere dei ulike påstandane. Gjennom diskusjonen skal dei sortere korta etter om dei alltid er sanne, er sanne av og til eller aldri sanne. Gruppene presenterer korleis dei har sortert påstandane i ein felles diskusjon i klassen etterpå. Gruppene må argumentere og forklare løysinga si. Vidare arbeid: Gruppene kan lage eigne kort, med ei anna problemstilling, som ei anna gruppe skal sortere. Felles oppsummering i klassen etterpå.
Læreren skriver regnestykkene 12 ∙ 5 og 6 ∙ 10 på tavla, spør om relasjonen mellom svarene (om de er like, ulike). Lærer skriver to nye regnestykker: 8 ∙ 25 og 4 ∙ 50. Her skal man gå dypere inn og prøve å få frem at den ene faktoren er halvert mens den andre er doblet. Diskusjon om hva som skjer (gjennom en regnefortelling/illustrasjon) når det ene tallet dobles og det andre halveres i multiplikasjon - hvorfor svaret blir det samme. Læreren presenterer det tredje paret av regnestykker, 244 ∙ 23 og 122 ∙ 46 og spør om svarene blir like eller ikke. Dette er "stygge tall", elevene ledes til ikke å regne, men heller å resonnere på samme måte som i stad. Generaliserer på denne måten begrunnelsen fra forrige eksempel og får mulighet til å diskutere (og argumentere) om halvering/dobling generelt. De matematiske sammenhengene i opplegget blir drøftet nærmere nedenfor. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Læreren bør gi elevene tid til å tenke. Les mer om oppgavestreng-aktiviteter på sidene til MAM-prosjektet. Matematiske sammenhenger Oppgaver: 12 ∙ 5 6 ∙ 10 8 ∙ 25 4 ∙ 50 244 ∙ 23 122 ∙ 46 Hensikten med aktiviteten er at elevene skal utforske og resonnere omkring egenskaper ved tall og regneoperasjoner ved å bruke ulike representasjoner. Mer spesielt, oppgavestrengen legger til rette for en diskusjon om halvering/dobling i multiplikasjon: hvis en av faktorene i et multiplikasjonsstykkedobles og den andre faktoren halveres, forblir produktet det samme. Regnefortelling og illustrasjon brukes til å resonnere om konkrete regnestykker og til å argumentere for halvering/dobling i multiplikasjon av hele tall. Utvikling av strategier innen multiplikasjon Halvering/dobling er en generell egenskap ved multiplikasjon. Hvis en av faktorene i et hvilket som helst multiplikasjonsstykke dobles og den andre faktoren halveres, forblir produktet det samme. Denne egenskapen ved multiplikasjon kan brukes som en strategi innen multiplikasjon. For eksempel, for å regne ut 36 ∙ 25 kan man bruke halvering/dobling til å komme frem til et regnestykke som er lettere å regne ut, som 36 ∙ 25 = 18 ∙ 50 = 9 ∙ 100. Et annet eksempel er 1,5 ∙ 32 = 3 ∙ 16 = 6∙ 8. I andre regnestykker, som 244 ∙ 23, er det kanskje noen andre strategier som er mer effektive å bruke enn halvering/dobling. Hensikten med oppgavestrengen er å diskutere halvering/dobling som en generell egenskap ved multiplikasjon. På et senere tidspunkt bør klassen diskutere type regnestykker der halvering/dobling kan være en passende strategi å bruke. Ulike representasjoner av multiplikasjon og overganger mellom dem Når man skal begrunne hvorfor strategien er en gyldig framgangsmåte, er det nødvendig å gi mening til multiplikasjon gjennom en regnefortelling eller en illustrasjon. Her kan man se multiplikasjon som like grupper, eller som antall ruter i et rutenett, eller som areal av et rektangel. Det er viktig å være oppmerksom på at de ulike representasjonene av strategien kobles sammen, at man følger det som skjer både symbolsk, muntlig og gjennom illustrasjonen og regnefortellingen. Assosiativ egenskap (a · b) · c = a · (b · c) Halvering/dobling baserer seg på den assosiative egenskapen ved multiplikasjon. Eksempel: 244 · 23 = (122 · 2) · 23 = 122 · (2 · 23) = 122 · 46 Mer generelt: `a*c=((a)/(2)*2)*c=(a)/(2)*(2*c)` Begrunne halvering/dobling på de gitte regnestykkene En mulig begrunnelse for at 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50 og 244 ∙ 23 = 122 ∙ 46 er å bare regne ut regnestykkene på begge sider av likhetstegnet. Men en slik begrunnelse åpner ikke for resonnering om hva som skjer og hvorfor, og om halvering/dobling gjelder (tilfeldigvis) i bare noen eksempler eller om det gjelder generelt i multiplikasjon av hele tall. For å få mulighet til å utforske og resonnere mer generelt, er det nødvendig å gi multiplikasjonen en mening i form av en regnefortelling og/eller en illustrasjon. Her kan det være mulig å ta utgangspunkt i like grupper, prikker i et "rutenett" (som illustrert her) eller areal. Begrunne halvering/dobling generelt Når likheten 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50 er begrunnet gjennom en regnefortelling/illustrasjon kan tankegangen generaliseres til andre regnestykker. Her er et eksempel med bruk av like grupper: Vi kan tenke oss 8 poser med 25 drops i hver. Da er det 8 ∙ 25 totalt. Hvis vi nå slår sammen to og to poser til en større pose, så får vi 4 poser med 50 drops i hver, 4 ∙ 50 drops totalt. Siden ingen drops er blitt borte eller lagt til, så er antallet det samme i begge situasjoner: 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50. Hvis vi nå har 244 poser med 23 drops i hver, så kan vi tenke på samme måte, så 244 ∙ 23 = 122 ∙ 46. Alle multiplikasjonsstykker med hele tall kan tenkes som poser med drops på samme måte, og vi kan alltid slå sammen to og to poser. Det kan bli en ekstra utfordring hvis antall poser er et oddetall, men tankegangen kan tilpasses. Hvordan? Antall poser halveres og antall drops i hver pose dobles. Totalt blir det like mange drops.
INTRODUKSJON Før man gjennomfører opplegget, må læreren reflektere over spørsmål som kan stilles for å stimulere elevene i arbeidet. Ikke gi elevene svar på spørsmål, men still deg undrende til problemstillingene sammen med elevene. DIDAKTISK BEGRUNNELSE Gjennom utforsking og en induktiv tilnærming til lærestoffet vil mange elever oppleve en ny innfallsvinkel til dette temaet. De bygger selv opp forståelse for temaet, og i samarbeid og samtale med andre elever forsterker de begrepsdannelsen. For mange elever er det læringsstøttende å jobbe med konkreter og å visualisere oppgaven de skal løse. Det er også viktig å forberede spørsmål som underbygger forståelse for temaet, slik at elevene selv finner svar på oppgaven. Oppgaven gir rom for å trekke inn flere begreper fra sannsynlighet, og det gir læreren gode muligheter for å tilrettelegge for den enkelte elevs læring. OPPLEGG 1: VENNDIAGRAM AKTIVITET 1 Denne oppgaven gjøres i fellesskap. Målet er å vise oppbyggingen av venndiagram. I starten av timen må læreren skrive følgende oppgave på tavlen: I en klasse er det 29 elever. Når vi undersøker idrettsinteressen finner vi at 18 elever i klassen liker fotball, og 13 elever liker ski. 5 av elevene liker ingen av disse to idrettene. Mange elever vil si at læreren har gjort en feil, da 18 + 13 + 5 er mer enn 29. Dermed er klassesamtalen i gang, og man kan utfordre elevene til å systematisere opplysningene. Eleven får firkantbrikker og jobber parvis med systematiseringen. Velg først ut 29 blå brikker som illustrerer antall elever i klassen. Deretter tar du 18 grønne brikker som illustrerer det «å like fotball», og 13 røde brikker som illustrerer det «å like ski» Legg ut de 29 blå elev-brikkene på bordet. Skyv 5 blå elev-brikker litt for seg selv. Dette illustrerer de elevene som ikke liker noen av de to idrettene vi jobber med. Plasser brikkene med egenskapene «å like fotball» og «å like ski» oppå de blå elevbrikkene. Alle egenskapene må få plass. Med brikkene foran seg og på elektronisk tavle eller overhead, kan læreren stille følgende spørsmål til klassen. Læreren noterer svarene på tavlen. Hvor mange av de 29 elevene • Liker ikke noen av idrettene. • Liker kun fotball. • Liker kun ski. • Liker både fotball og ski. • Summer de fire svarene. Kan dere gi en begrunnelse for summen? Kommentar til læreren Elevene har nå funnet frem 29 brikker som illustrerer elevene i klassen. Av disse er det 5 elev-brikker som ikke skal ha noen egenskap, og de legges litt for seg selv. Det er da igjen 24 elev-brikker som skal gis egenskap. Av egenskaper har vi 18 som liker fotball og 13 som liker ski, altså har vi 31 egenskaper som skal plasseres totalt. Det betyr at det må være noen elever som liker både fotball og ski, og som derfor skal tillegges to egenskaper. Legg også merke til ordbruken i oppgaven. Det står at 18 elever liker fotball, det står ikke at 18 elever liker kun fotball. Dette er det fint om læreren påpeker overfor elevene, for da stimulerer læreren elevene til å diskutere hvordan de kan ha 31 egenskap-brikker, når det kun er 24 elev-brikker som skal ha egenskap. I store klasser vil det ikke være mulig at alle elever velger de samme fargene som blir anbefalt i teksten. Da er det viktig at elevgruppene noterer hva den enkelte fargen står for. Figuren nedenfor illustrerer hvordan elevene kan ha lagt brikkene. Her er røde og grønne brikker lagt oppå de blå, og det er 7 blå brikker med både en rød og en blå oppå. AKTIVITET 2 Elevene jobber videre med brikkene. Oppgavene gis muntlig. Gi elevene nok tid til å utføre oppgaven. Oppgave: Ta to mengderinger, ev. løkker av hyssing. På den ene ringen settes en klistrelapp med «liker fotball» og på den andre en klistrelapp med «liker ski». Plasser brikkene fra den forrige oppgaven slik at alle elevbrikkene får sin plass. Tenk over hvordan dere må legge ringene slik at dere kan plassere alle brikkene. Kravet er at det bare skal være brikker med én egenskap i hver mengde, dvs. i hvert «rom». Hvor mange brikker/elever er det i hvert rom? Kommentar til læreren Elevene skal nå bruke funnene fra forrige oppgave til å legge ringene. Elevene utfordres til å finne ut hvordan de skal plassere ringene slik at de får et «rom» som inneholder begge egenskapene, dvs. både fotball og ski. Poenget er at man får avgrenset mengdene slik at alle brikkene i hvert «rom»/mengde har samme egenskap. Denne delen av oppgaven oppleves erfaringsmessig som vanskelig for elevene når de gjør den kun ved regning. Å ha oppgaven konkretisert vil kunne hjelpe for å forstå oppgaven. Elevene vil kunne erfare at når samme person liker to idretter, så må det dannes et overlappende område mellom de to mengderingene. Når elevene har lagt ferdig brikkene, vil det ligge 11 blå/grønne, 7 blå/grønne/røde, 6 blå/røde og 5 blå brikker på bordet. Læreren bør vie dette punktet stor oppmerksomhet, og han må legge til rette for en god faglig dialog. Her kan man ta opp spørsmålene fra aktivitet 1. Nå skal det være lettere å finne svaret, da brikkene er sortert i enkelte mengder/«rom». AKTIVITET 3 Oppgaveark 1: Venndiagram 1 Elevene jobber i par med hvert sitt oppgaveark. Når elevene har forstått oppbygningen av venndiagrammmet, er det viktig at de får øve seg. Oppgavearket er bygd opp slik at de første oppgavene er enkle å gjøre med brikker, mens elevene må finne tallene uten konkreter i de siste oppgavene. Denne tenkingen viser veien til det som i neste opplegg blir forklart som «addisjonssetningen». Kommentar til læreren Når vi bruker venndiagram i matematikken, må man merke seg at det skal være en ytre ramme i tillegg til mengdesirklene. Også de 5 brikkene skal plasseres innenfor den ytre rammen. Hver brikke-stabel representerer et utfall, og mengden av alle brikkene utgjør utfallsrommet. Det er alltid viktig å skaffe seg oversikt over hele utfallsrommet når man arbeider med problemer i sannsynlighetsregning. Her introduseres skrivemåten med symboler. Det er viktig at elevene lærer seg de formelle kravene. For å bruke skrivemåten med symboler i sannsynlighetsregning, bør man lage forkortelser for alle kategorier (hendinger). Krev at elevene skriver hva de enkelte forkortelsene står for i hver ny oppgave. I oppgave 1 kan elevene skrive cola og solo på de to mengdesirklene, men hvis de vil bruke forkortelser, skal de skrive: C : (en tilfeldig valgt elev) liker cola S : (en tilfeldig valgt elev) liker solo I tillegg til antall i hver mengde (hvert rom), skal det også skrives totalt antall på rammen rundt (hele utfallsrommet). Fasit og merknader for oppgavene: AKTIVITET 4 Oppgaveark 2: Venndiagram 2 Vi går tilbake til utgangspunktet fra aktivitet 1: I en klasse er det 29 elever. Når vi undersøker idrettsinteressen finner vi at 18 elever i klassen liker fotball, og 13 elever liker ski. 5 av elevene liker ingen av disse to idrettene. For å få en god overgang til sannsynlighetsregning, innfører vi skrivemåten P(...) for «sannsynligheten for…» og en del symboler. Forkortelsene må forklares: F : (en tilfeldig valgt elev) liker fotball S : (en tilfeldig valgt elev) liker ski ∪ : union betyr «enten det ene eller det andre eller begge deler» (liker enten ski eller fotball eller begge deler). Ofte sier vi bare «eller» ∩ : snitt betyr «og samtidig» eller «både – og» (liker både fotball og ski). Ofte sier vi bare «og» Strek over symbolet betyr «ikke» (liker ikke fotball) F \ S : Skrå strek betyr «uten» eller «men ikke» (liker fotball, men ikke ski) Oppgave 1 Fargelegg de ulike mengdene i Venndiagrammene nedenfor: Nå bruker vi det vi har lært til å regne sannsynligheter. Oppgave 2 Oversett til symbolspråk og regn ut følgende sannsynligheter: • Sannsynligheten for at en elev liker fotball. • Sannsynligheten for at en elev liker ski. • Sannsynligheten for at en elev ikke liker noen av idrettene. • Sannsynligheten for at en elev liker både fotball og ski. • Sannsynligheten for at en elev liker ski eller fotball. • Sannsynligheten for at en elev kun liker ski. Kommentar til læreren De fire nye symbolene kan illustreres med skisser der man fargelegger de aktuelle mengdene. La elevene foreslå hvilken mengde som skal fargelegges i hvert av tilfellene. Bruk god tid på å oversette fra tekst til symboler, og sørg for at symbolene alltid oversettes til ord når de leses. P(F) leses som «sannsynligheten for at en (tilfeldig valgt) elev liker fotball». (P står for probability.) Sannsynlighetene er forhold mellom to tall. Det er viktig å vite hva man skal dele på, dvs. hva som er «det hele» eller utfallsmengden. I alle disse eksemplene finner vi hvor stor del de enkelte delmengdene utgjør av antall elever i hele klassen. Elevene har antakelig lært at sannsynligheter kan skrives både som brøk, desimaltall og prosent på ungdomsskolen. Dette er en fin anledning til å se sammenhengen mellom de tre ulike måtene å skrive samme tall på. Spesielt for elevene på 1T er det viktig at læreren understreker at brøksvaret er et eksakt svar, mens desimaltall og prosent er et mer eller mindre nøyaktig svar. UTVIDELSE AV OPPGAVEN Tre mengderinger gir flere valgmuligheter. For å jobbe med begrepene «union» og «snitt», kan det være en mulighet å skravere de ønskete områdene uten å bruke tall. I en gruppe personer leser noen Dagbladet, noen Morgenbladet og noen Aftenposten. Marker området for alle personer som leser nøyaktig to aviser. Marker området for alle personer som leser Dagbladet og Morgenbladet. Marker området for alle personer som leser Aftenposten eller Dagbladet, men ikke Morgenbladet. Osv. OPPLEGG 2: ADDISJONSSETNINGEN I dette opplegget skal elevene få en forståelse for addisjonssetningen ved hjelp av venndiagram. Elevene jobber i par med oppgaveark. Oppgave 1 En gruppe med 20 personer ble spurt om de har søsken. 12 svarte at de har brødre, 10 at de har søstre, mens 6 personer er enebarn. Legg informasjonen med brikker inn i et venndiagram. Sett navn på mengdene. Skriv antallene inn i venndiagrammet. » Bruk forkortelsene » B: har brødre » S: har søstre Finn sannsynlighetene Oppgave 2 Addisjonssetningen i sannsynlighet er gitt ved formelen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Skriv setningen slik at den passer til oppgave 1 ovenfor. Forklar det som står i formelen med ord. Oppgave 3 I en skoleklasse på 28 elever ble det gjort en undersøkelse for å finne ut hvem som hadde vært i Tyskland og hvem som hadde vært i Frankrike. Det viste seg at 13 elever hadde vært i Tyskland, 15 hadde vært i Frankrike, mens 4 ikke hadde vært i noen av disse landene. Skriv opp forkortelsene du vil bruke. Tegn opplysningene inn i venndiagrammet. Bruk addisjonssetningen og finn sannsynligheten for at en elev i denne klassen har vært i Tyskland eller Frankrike. Oppgave 4 En gruppe på 25 elever blir spurt om de går på ungdomsskolen eller på videregående skole. 15 elever svarer at de går på ungdomsskolen, 8 elever svarer at de går på videregående skole, og 2 elever svarer at de ikke går på skole. Tegn opplysningene inn i venndiagrammet. Skriv opp forkortelsene du vil bruke. Bruk addisjonssetningen og finn sannsynligheten for at en elev går på videregående skole eller på ungdomsskolen. Hvorfor er denne oppgaven mye enklere enn oppgave 2? Kommentar til læreren Prøv å få elevene til å se og forklare hvorfor formelen stemmer med venndiagrammet. Se spesielt på hvorfor man må trekke fra sannsynligheten for snittmengden for å finne sannsynligheten for unionen. Det er viktig å problematisere ordet «eller». Pass på at elevene leser forkortelsene med fulle setninger. OPPSUMMERING Til slutt må man se tilbake og få et overblikk over hva man har arbeidet med og lært gjennom klassesamtale. Bruk elevenes arbeider med konkretene som innfallsvinkel til oppsummering. Ta utgangspunkt i venndiagrammet, og la elevene beskrive funnene de har gjort, og hvordan de har jobbet med oppgaven. Se spesielt på overgangen fra venndiagrammet til sannsynlighetsregning. Løft gjerne frem noe av det elevene har skrevet for å synliggjøre at det er viktig at de dokumenterer arbeidet sitt. Opplegget viser hvordan man kan jobbe med mer kompliserte oppgaver uten å bruke faguttrykkene i undersøkelsesfasen, men heller bygge opp disse etter hvert. Hovedfokuset er rettet mot forståelse for temaet, for deretter å formalisere det med faguttrykk og formler.
Opplegget har tre aktiviteter, hver av dem med utgangspunkt i oppgaver som læreren gir elevene muntlig. AKTIVITET 1 • Tenk deg et kvadrat laget av 81 kvadratiske brikker. De ytterste brikkene i kvadratet kaller vi rammen. Hvor mange brikker er det i rammen? Kommentar til læreren Svaret 32 noteres på tavlen. Selve svaret er uinteressant, for i dette opplegget er det viktigere å fokusere på de ulike strategiene elevene bruker. Læreren skal notere alle de ulike fremgangsmåtene elevene har brukt for å komme frem til 32. AKTIVITET 2 • Tegn eller legg en figur som viser hvordan du har tenkt. • Tegn eller legg figurer som viser andres tenkemåter. Kommentar til læreren Elevene blir først utfordret til å visualisere sin egen løsning ved å tegne den eller legge den med brikker. Etterpå skal de sette seg inn i løsninger som andre elever har presentert og tegne disse løsningene. AKTIVITET 3 • Alle figurene som er laget hittil, kaller vi for figur 9, da sidene er 9 brikker lange. • Hvis det var n brikker langs siden, hvor mange brikker trenger man da til rammen? Start med å lage eller tegne figur 4, 5 og 6. Kommentar til læreren Før utvidelsen til n bør elevene begynne med mindre kvadrater. Det går raskere og det er lettere å beholde oversikten dersom man legger få brikker. Derfor oppfordres elevene til å starte med et kvadrat med sidelengde 4, så et med sidelengde 5, for så å fortsette med sidelengde 6 osv. Det er en fordel at elevene samler resultatene i en tabell der de ikke bare noterer svaret, men også regnestykket som ligger bak. Da er det lettere å se hva som endrer seg og hva som forblir likt. Overgangen fra tall til variabel er vanskelig for mange elever, og det er viktig at disse elevene får nok tid. Andre elever vil derimot finne formelen for n direkte ut fra samtalen i den første oppgaven. Hvis forklaringene er tydelige og tegningene er gode, er det bare å erstatte 9 med n. Disse elevene trenger selvsagt ikke å lage mange kvadrater, men trenger nye utfordringer. Se utvidelsen av oppgaven. Læreren må ta seg tid til å vise at alle tenkemåtene er riktige, og at alle formlene gir det samme svaret. Det er viktig å vise at alle svarene er riktige ved å omforme dem algebraisk. UTVIDELSE AV OPPGAVEN Elevene oppfordres til å legge et rektangel og finne formler for rammen rundt figuren. Siden forholdet mellom sidene er valgfritt, vil denne oppgaven ha individuelle svar.
Opplegget er tilpasset elever i den videregående skolen, men kan også passe for elever på ungdomstrinnet (med noen tilpasninger). Elevene arbeider grupper på to eller tre. De skal undersøke tårn av terninger og beskrive de matematiske sammenhengene. I aktivitet 1 og 2 arbeider elevene på vertikale tavler, og i aktivitet 3 arbeider de i GeoGebra. Pass på at alle elevene bygger tårnene på samme måte i aktivitet 1 og 2 slik at klassen kan sammenligne beskrivelsene i helklassesamtaler. Aktivitet 1 Elevene bygger tårn ved å sette terninger oppå hverandre, én og én (tittelbildet til aktiviteten viser hvordan). De skal undersøke hvor mange synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Elevene arbeider på vertikale tavler. Når en gruppe har funnet antall synlige sider for flere tårn med terninger, kan læreren stille spørsmål som leder elevenes tanker mot det generelle. For eksempel «Hva om dere skal bygge et tårn med 10 terninger?» eller «Kan dere forutse hvor mange synlige sider et hvilket som helst tårn får?». Elevene vil ofte starte med å beskrive mønsteret ved hjelp av tegning, tekst eller tabell. Så vil de oppdage at økning fra et tårn til tårnet som har en terning mer er lik, altså den rekursive sammenhengen. For eksempel at antall synlige sider øker med fire eller at tn = tn-1 + 4 t hvis t er antall synlige sider. Strategien fungerer fint så lenge elevene arbeider med påfølgende tårn, for eksempel tårn 1 og 2. Når elevene skal finne antall synlige sider til ikke-påfølgende tårn, blir strategien mer arbeidskrevende. De fleste vil da begynne å lete etter en eksplisitt formel som ikke er avhengig av at de vet antall synlige sider til det forrige tårnet, kun hvilket nummer tårnet har. Formlene vil se annerledes ut for ulike elevpar, avhengig av hvordan de beskriver mønsteret. Derfor er det viktig med en helklassesamtale hvor elevene deler løsningene sine og argumenterer for dem. Bruk god tid og sørg for at elevene forstår hverandres løsninger. Løsninger som inneholder feil, er gode utgangspunkt for læring. Diskuter hvorfor og gjør om slik at dem blir riktige. Omskriv gjerne alle de riktige løsningene til det samme uttrykket for å vise at de er like. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Jeg ser fire sider på alle terningene pluss én side på toppen»: 4t + 1 «Jeg ser fem sider på den øverste terningen og fire sider på de andre terningene»: 5 + 4(t – 1) «Alle terningene har seks sider. Siden jeg ikke ser sidene mellom terningene, må jeg trekke fra to sider for hvert mellomrom. Det er ett mellomrom mindre enn antall terninger. I tillegg ser jeg ikke siden mot bordet»: 6t - 2(t – 1)-1 Aktivitet 2 Elevene undersøker hvor mange ikke-synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall ikke-synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Hvis mulig, gi elevene en ny tavle å skrive på, slik at de kan beholde notatene fra aktivitet 1. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Det er et mellomrom mindre enn antall terninger. Hvert mellomrom har to ikke-synlige sider. I tillegg må jeg legge til siden mot bordet.»: 2(t – 1) + 1 «Det er en ikke-synlig side ned mot bordet. For hver ny terning får jeg to nye ikke-synlige sider.»: 1 + 2(t – 1) «Hver terning har seks sider som enten er synlig eller ikke. Da må antall ikke-synlige sider være det samme som antall sider totalt minus antall synlige sider.»: 6t - 4(t + 1) Hvis elevene summerer antall synlige og antall ikke-synlige sider får de det totale antall sider på terningene. Det er logisk ettersom en side enten må være synlig eller ikke. Aktivitet 3 Elevene bygger tårn med terninger etter selvvalgt mønster. De bruker regresjon i GeoGebra til å finne en formel for sammenhengen mellom antall terninger i tårnet og antall synlige/ikke-synlige sider. Kommentar til læreren Mange elever synes det er vanskelig å finne eksplisitte formler. Regresjon med GeoGebra kan hjelpe elevene med å finne en formel basert på observasjonene de har gjort av antall terninger/tårn-nummer og antall synlige/ikke-synlige sider. Først legger elevene inn observasjonene sine i regnearket, markerer verdiene og velger Regresjonsanalyse. GeoGebra tegner da opp verdiene som punkter. Vanligvis er x antall terninger og y er antall synlige/ikke-synlige sider. Så finner elevene regresjonsmodellen som passer best til punktene. Bruk tid på å diskutere sammenhengen mellom uttrykk og mønster. Kan de beskrive mønsteret ved hjelp av uttrykket? Hvis elevene gjør regresjon med observasjonene fra aktivitet 1 og 2, vil modellen stemme overens med (forenklet versjon av) utrykkene de fant i aktivitet 1 og 2. Ved å kopiere regresjonen til Grafikkfeltet, kan de arbeide videre med den som en funksjon (se figur 1). Oppsummering Erfaringer med varierte representasjoner kan bidra til dybdelæring. I dette opplegget arbeider elevene med konkreter (terninger) og de kan bruke ulike matematiske representasjoner som tegning, ord, tabell, formel og graf. I oppsummeringen kan det være fint å diskutere sammenhengen mellom de ulike representasjonene.
1. Introduser barna for den sideflata på eska som viser mønster av gule og røde brikker. Snakk med barna om det de ser, og fokuser på begreper som repetisjon, mønster, neste, lik. Utfordre barna til først å kopiere mønstrene, for så til å utvide dem. Etterpå kan barna utfordres til å lage sine egne mønster. Gi barna frihet til å lage mønstrene helt selv. Barna kan her lage et mønster på egen hånd som du som voksen skal forsøke å utvide. 2. Sideflata med 9 kvadrater i et stort kvadrat kan brukes som spillebrett. Her kan barna spille eksempevis bondesjakk. En annen fin aktivitet er at du på forhånd legger brikkene på en bestemt måte i kvadratet og så tar et bilde av løsningen din. Barna kan deretter få se bildet du har tatt og må legge sine brikker på samme måte. Dette øver blant annet telling, hukommelse og romlig orientering. For å gjøre aktiviteten noe vanskeligere kan barna få se bildet bare en liten stund før det gjemmes bort (ca. 5 sekunder). Barnet må da lagre bildet i hodet sitt før det kopierer bildet med brikkene. 3. Sideflata med et tre kan brukes til å gi barna erfaringer med parkobling (en-til-en korrespondanse), telling og antall. De yngste barna kan sette tellebrikker i riktig farge på riktig prikk (lotto), mens eldre barn kan få vanskeligere utfordringer som å telle baklengs, telle med flere i gangen eller utføre grunnleggende regneoperasjoner. Etter hvert som barna blir eldre vil de se enda flere sammenhenger i tallene våre og de oppdager at gruppering er et viktig fundament for hvordan større tall skrives og uttales. I barnehagealder kan vi legge et godt grunnlag for videre tallforståelse gjennom å gjøre barna kjent med tallet ti, og vise hvordan det kan deles opp i fem og fem. Her har vi også fingrene våre som et utmerket verktøy. 4. På den siste sideflata er det tegnet to rektangler; ett rødt og ett gult. Denne eska kan brukes som spillebrett, eller gjennom lek gi barna erfaringer med flere, færre og like mange. Be barna trekke gule og røde brikker som de vil og plasser dem i firkanten med samme farge. Hvilken farge ble det flest av? Færrest? Bytt gjerne ut innholdet i eska med lekedyr eller tilsvarende og be barna plassere dem på den røde eller den gule matta. Kommuniser, resonner, lek, tull og le sammen med barna og led oppmerksomheten deres mot tallmessige sammenhenger tilpasset aldersgruppen.
1. Ta ut endene av eska sammen med barna og innled en samtale med barna om dem. Fokuser på hvordan de er like og ulike i farger, antall og størrelser. La barna bli kjent med endene gjennom at de får ta på dem. 2. Finn den sideflata på eska som har fire dammer i ulike størrelser. Oppfordre barna til å sette en eller flere ender i hver dam. Dette øver parkobling. Etter hvert kan du utvide oppgaven og la barna sette ender i dammen på ulike måter. La barna forklare hvordan de vil plassere endene i leken, og led fokuset mot telling og endringer i antall. For eksempel: - her er det fire ender på stranden, og så hopper den lille røde i havet, hvor mange er igjen? - skal den minste anda være i den minste dammen, eller kan vi gjøre det på en annen måte? - den lille gule anda vil svømme sammen med en som er større. Hvilken kan det være? 3. Når barna leker med den sideflata på eska som ser ut som en elv er det naturlig å lede fokuset mot rekkefølge og ordinaltallene. Endene svømmer nedover elva etter hverandre. Snakk med barna om første, etter, mellom, neste, sist, andre, tredje osv. Kanskje en av endene svømmer veldig fort og dermed forbi de andre endene. Snakk med barna om hvordan dette påvirker rekkefølgen. 4. Sideflata på eska som omhandler egg vil gjøre det naturlig å snakke om antall. Barna kan her telle hvor mange egg det er i hvert rede, og deretter plassere endene slik de mener passer best. La barna styre leken her og samtale med dem om antall og ender. Aktiviteten må ikke bli et forhør hvor barna må svare "riktig", men en god matematisk samtale som veksler frem og tilbake. For eksempel: - skal den største anda sitte der det er flest egg, eller skal vi gjøre det på en annen måte? - den lille grønne vil sitte der det er to egg, hvor er det? 5. Den siste sideflata på eska er en stor dam med tre steiner i. Leken med denne siden kan gå i alle retninger, og som voksen må vi henge på barnas krumspring og ideer. Vi skal ikke styre leken, men berike den med nye innspill og ideer. Gjennom samtalen med barna leder vi oppmerksomheten deres mot aspekter innenfor tall der det er naturlig.
1. La barna sortere innholdet i esken etter eget initiativ mens du oppmuntrer og setter ord på det de gjør. Stimuler barna til både å klassifisere (sette kopper sammen, kniver sammen osv.) og ordne (legge skjeene i rekkefølge etter lengde). Fokuser på leken og barnas utforskning, ikke at det finnes en "riktig" løsning. Still barna relevante spørsmål eller bekrefte det de gjør for å lede oppmerksomheten mot det du ønsker. For eksempel: - vil du ha den største eller minste koppen? - hva hører sammen av dette, da? - nå ser jeg at du satte alle de røde skjeene sammen - så lurt! 2. Velg ut noen gjenstander fra eska som du fokuserer spesielt på. For eksempel kan du velge ut alle koppene og tallerknene. Følg barna i leken og fokuser på de matematiske begrepene som blir naturlige i sammenhengen. Hvis barna eksempelvis dekker på små kopper og tallerkner til barn, og store kopper og tallerkner til voksne, så er dette et fint utgangspunkt for samtale om størrelser. 3. I leken med eska er det også naturlig å komme inn på barnas tallforståelse gjennom arbeid med eksempelvis parkobling (en-til-hver) og antall (hvor mange er vi). For å få større fokus på dette kan barna oppmuntres til å lage fest for en mengde bamser. Da må barna dekke bordet etter hvor mange som kommer på festen og deres størrelse. Her er det naturlig å komme inn på parkobling, antall, størrelser, farger osv. La barna styre leken, men berike selv med nye impulser og god begrepsbruk.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
