Start tellingen på 0,3 og tell med 0,3 om gangen. For å få fram de faglige målene, kan tallene skrives i rader på 10. Det kan være til hjelp å lage et tomt rutenett på forhånd. Etter at elevene har fått litt tid til å tenke ut de to-tre neste tallene, sier de si tallene i kor samtidig som læreren skriver tall for tall på tavla. Fyll ut tabellen og marker mønstre og sammenhenger etter hvert som elevene forklarer. Det kan være en idé å spare tabellen med notater slik at den kan brukes igjen senere. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om Telle-i-kor-aktiviteter finner du her. Matematiske sammenhenger Tellingen starter på 0,3 og øker med 0,3. Når vi teller med 0,3 bruker vi gjentatt addisjon, en strategi mange elever benytter i tidlig fase når de lærer multiplikasjon. Et viktig matematisk poeng er at å telle 0,3 ti ganger er det samme som 0,3 · 10. Med ti tall i hver rad får vi 3,0 i differanse mellom hver rad. Sifferet på tidelsplassen vil være det samme i hver kolonne. Dette begrunnes med at 0,3 · 10 = 3,0. Vi ser at endringen mellom hver rad blir tre enere og det blir ingen endringer på tidelsplassen. Dette mønsteret kan brukes til å finne tall i neste rad. Man flytter ned sifferet på tidelsplass og ser bare på sifferet på enerplass som er 3 enere større i neste rad. Når vi teller, leser vi null – komma – tre, null – komma – seks osv. En vanlig misoppfatning elever er i, er at tallet før og etter desimalkommaet er to selvstendige tall. Vi har ingen støtte i språket med tanke på å knytte en verdi til tallet. Hva betyr egentlig 0,3? Hvor mye er det verdt? Det vil være viktig å reflektere sammen med elevene om verdien til 0,3. Det vil oppleves kunstig å telle tre tideler – seks tideler – ni tideler – tolv tideler osv. hele tiden, men å telle med tideler fra begynnelsen og til første tierovergang, kan være en god måte å løfte fram plassering av desimalkomma. Det er viktig å gi elevene mulighet til å utvikle begrep for å snakke om de ulike plassverdiene. På denne måten vil man kunne synliggjøre sammenhengen mellom plassverdiene og hva som skjer i overgangen f.eks. mellom 0,9 og 1,2. 1,2 er tolv tideler. Tolv kan sees på som ti pluss to. I dette tilfellet blir det ti tideler og to tideler. I høyre kolonne vil 3-gangen dukke opp. Dette synliggjør at 3-gangen er ti ganger større enn 0,3 – gangen. Elever har kanskje lært noe om å legge til en 0 eller multipliserer sifrene før og etter desimalkomma hver for seg. I stedet for å snakke om å flytte desimalkomma, legge til null og lignende, bør heller posisjonssystemet og verdien til sifrene diskuteres. Tallet 2 er ti ganger større enn 0,2 og 0,2 er ti ganger større enn 0,02. Dersom man ønsker å jobbe mer med tabellen, kan man oppfordre elevene til å finne tall som er større enn 12 som ikke finnes i tabellen eller tall større enn 12 som finnes i tabellen. Hvilke strategier bruker elevene for å finne eksempel på slike tall? Vil tallet 23,1 komme i tabellen? Hvorfor/hvorfor ikke?
Vis bilde med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert. Etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på dem måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere. Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut. De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «8 · 6» blir drøftet nærmere nedenfor. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder. Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a · (b · c) Prikkene kan betraktes som åtte grupper med seks prikker i hver gruppe. Gruppene er fordelt på to rader, med fire grupper i hver rad. Faktorene 6, 4 og 2 vil da inngå i utrykkene. Antall prikker per rad kan regnes ut først og antallet dobles. For elevene kan det da være naturlig å foreslå notasjonen (6 · 4) · 2, fordi det beskriver rekkefølgen i tankegangen deres. Andre mulige betraktninger: 6 · (4 · 2) – Seks prikker i hver gruppe, fire grupper som speiles. (6 · 2) · 4 – Seks prikker som er speilet. Det er fire slike grupper. (4 · 2) · 6 – Fire grupper på ei rad i to like rader, multiplisert med 6 prikker i hver gruppe. Tar man utgangspunkt i at kommutativ egenskap ved multiplikasjon er kjent for elevene fra før, kan man diskutere assosiativ egenskap ved multiplikasjon. Distributiv egenskap: a · (b + c) = ab + ac Figuren til høyre viser en annen måte å betrakte bildet på. Man ser fire grupper med prikker som består av ti prikker i midten og to på kantene. En symbolsk beskrivelse kan da være (10 + 2) · 4. Bildet kan også betraktes som fire tiere og fire toere, altså som (10 · 4 + 2 · 4). En sammenligning av de to betraktningene gir en illustrasjon av den distributive egenskapen. Symbolsk beskrivelse Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 6 · 4 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 6 · 4 → 24 · 2 → 48 Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og strukturen i tallet 48.
Klassen eller gruppa sitter i lyttekroken. Vis fram bildet på smartboarden eller overhead: Først skal elevene tenke gjennom spørsmålene individuelt i to-tre minutter. Deretter setter de seg sammen to og to, eller tre og tre, og diskuterer det de har kommet frem til. Til slutt presenterer hver gruppe det de har blitt enige om. Dette kalles IGP-metoden: først individuelt arbeid, så diskusjon i par/grupper før læreren leder en oppsummering i plenum. Spørsmål til diskusjon: Er det noen tall på bildet som har samme verdi? I tilfelle hvilke? Grupper dem som er like og forklar hvorfor de har samme verdi. Er 0,30 det samme som 0,3? Hvorfor eller hvorfor ikke? Har det noe å si for verdien til et tall at du legger til en 0 på slutten? Diskuter og begrunn. Kommentarer til læreren Få elevene til å bruke de riktige begrepene under diskusjonene. Ha fokus på posisjonssystemet og bruk begreper som enere, tiere, tideler, hundredeler osv.
Lag kort med desse påstandane på: Når vi skal multiplisere med 10, kan vi henge på ein null bak på talet. Når vi multipliserer, blir svaret større. Vi kan ikkje dividere eit lite tal med eit stort tal. Tal med mange siffer har større verdi enn tal med få siffer. Elevane skal arbeide i grupper og diskutere dei ulike påstandane. Gjennom diskusjonen skal dei sortere korta etter om dei alltid er sanne, er sanne av og til eller aldri sanne. Gruppene presenterer korleis dei har sortert påstandane i ein felles diskusjon i klassen etterpå. Gruppene må argumentere og forklare løysinga si. Vidare arbeid: Gruppene kan lage eigne kort, med ei anna problemstilling, som ei anna gruppe skal sortere. Felles oppsummering i klassen etterpå.
Læreren skriver regnestykkene 12 ∙ 5 og 6 ∙ 10 på tavla, spør om relasjonen mellom svarene (om de er like, ulike). Lærer skriver to nye regnestykker: 8 ∙ 25 og 4 ∙ 50. Her skal man gå dypere inn og prøve å få frem at den ene faktoren er halvert mens den andre er doblet. Diskusjon om hva som skjer (gjennom en regnefortelling/illustrasjon) når det ene tallet dobles og det andre halveres i multiplikasjon - hvorfor svaret blir det samme. Læreren presenterer det tredje paret av regnestykker, 244 ∙ 23 og 122 ∙ 46 og spør om svarene blir like eller ikke. Dette er "stygge tall", elevene ledes til ikke å regne, men heller å resonnere på samme måte som i stad. Generaliserer på denne måten begrunnelsen fra forrige eksempel og får mulighet til å diskutere (og argumentere) om halvering/dobling generelt. De matematiske sammenhengene i opplegget blir drøftet nærmere nedenfor. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Læreren bør gi elevene tid til å tenke. Les mer om oppgavestreng-aktiviteter på sidene til MAM-prosjektet. Matematiske sammenhenger Oppgaver: 12 ∙ 5 6 ∙ 10 8 ∙ 25 4 ∙ 50 244 ∙ 23 122 ∙ 46 Hensikten med aktiviteten er at elevene skal utforske og resonnere omkring egenskaper ved tall og regneoperasjoner ved å bruke ulike representasjoner. Mer spesielt, oppgavestrengen legger til rette for en diskusjon om halvering/dobling i multiplikasjon: hvis en av faktorene i et multiplikasjonsstykkedobles og den andre faktoren halveres, forblir produktet det samme. Regnefortelling og illustrasjon brukes til å resonnere om konkrete regnestykker og til å argumentere for halvering/dobling i multiplikasjon av hele tall. Utvikling av strategier innen multiplikasjon Halvering/dobling er en generell egenskap ved multiplikasjon. Hvis en av faktorene i et hvilket som helst multiplikasjonsstykke dobles og den andre faktoren halveres, forblir produktet det samme. Denne egenskapen ved multiplikasjon kan brukes som en strategi innen multiplikasjon. For eksempel, for å regne ut 36 ∙ 25 kan man bruke halvering/dobling til å komme frem til et regnestykke som er lettere å regne ut, som 36 ∙ 25 = 18 ∙ 50 = 9 ∙ 100. Et annet eksempel er 1,5 ∙ 32 = 3 ∙ 16 = 6∙ 8. I andre regnestykker, som 244 ∙ 23, er det kanskje noen andre strategier som er mer effektive å bruke enn halvering/dobling. Hensikten med oppgavestrengen er å diskutere halvering/dobling som en generell egenskap ved multiplikasjon. På et senere tidspunkt bør klassen diskutere type regnestykker der halvering/dobling kan være en passende strategi å bruke. Ulike representasjoner av multiplikasjon og overganger mellom dem Når man skal begrunne hvorfor strategien er en gyldig framgangsmåte, er det nødvendig å gi mening til multiplikasjon gjennom en regnefortelling eller en illustrasjon. Her kan man se multiplikasjon som like grupper, eller som antall ruter i et rutenett, eller som areal av et rektangel. Det er viktig å være oppmerksom på at de ulike representasjonene av strategien kobles sammen, at man følger det som skjer både symbolsk, muntlig og gjennom illustrasjonen og regnefortellingen. Assosiativ egenskap (a · b) · c = a · (b · c) Halvering/dobling baserer seg på den assosiative egenskapen ved multiplikasjon. Eksempel: 244 · 23 = (122 · 2) · 23 = 122 · (2 · 23) = 122 · 46 Mer generelt: `a*c=((a)/(2)*2)*c=(a)/(2)*(2*c)` Begrunne halvering/dobling på de gitte regnestykkene En mulig begrunnelse for at 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50 og 244 ∙ 23 = 122 ∙ 46 er å bare regne ut regnestykkene på begge sider av likhetstegnet. Men en slik begrunnelse åpner ikke for resonnering om hva som skjer og hvorfor, og om halvering/dobling gjelder (tilfeldigvis) i bare noen eksempler eller om det gjelder generelt i multiplikasjon av hele tall. For å få mulighet til å utforske og resonnere mer generelt, er det nødvendig å gi multiplikasjonen en mening i form av en regnefortelling og/eller en illustrasjon. Her kan det være mulig å ta utgangspunkt i like grupper, prikker i et "rutenett" (som illustrert her) eller areal. Begrunne halvering/dobling generelt Når likheten 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50 er begrunnet gjennom en regnefortelling/illustrasjon kan tankegangen generaliseres til andre regnestykker. Her er et eksempel med bruk av like grupper: Vi kan tenke oss 8 poser med 25 drops i hver. Da er det 8 ∙ 25 totalt. Hvis vi nå slår sammen to og to poser til en større pose, så får vi 4 poser med 50 drops i hver, 4 ∙ 50 drops totalt. Siden ingen drops er blitt borte eller lagt til, så er antallet det samme i begge situasjoner: 8 ∙ 25 = 4 ∙ 50. Hvis vi nå har 244 poser med 23 drops i hver, så kan vi tenke på samme måte, så 244 ∙ 23 = 122 ∙ 46. Alle multiplikasjonsstykker med hele tall kan tenkes som poser med drops på samme måte, og vi kan alltid slå sammen to og to poser. Det kan bli en ekstra utfordring hvis antall poser er et oddetall, men tankegangen kan tilpasses. Hvordan? Antall poser halveres og antall drops i hver pose dobles. Totalt blir det like mange drops.
Opplegget er tilpasset elever i den videregående skolen, men kan også passe for elever på ungdomstrinnet (med noen tilpasninger). Elevene arbeider grupper på to eller tre. De skal undersøke tårn av terninger og beskrive de matematiske sammenhengene. I aktivitet 1 og 2 arbeider elevene på vertikale tavler, og i aktivitet 3 arbeider de i GeoGebra. Pass på at alle elevene bygger tårnene på samme måte i aktivitet 1 og 2 slik at klassen kan sammenligne beskrivelsene i helklassesamtaler. Aktivitet 1 Elevene bygger tårn ved å sette terninger oppå hverandre, én og én (tittelbildet til aktiviteten viser hvordan). De skal undersøke hvor mange synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Elevene arbeider på vertikale tavler. Når en gruppe har funnet antall synlige sider for flere tårn med terninger, kan læreren stille spørsmål som leder elevenes tanker mot det generelle. For eksempel «Hva om dere skal bygge et tårn med 10 terninger?» eller «Kan dere forutse hvor mange synlige sider et hvilket som helst tårn får?». Elevene vil ofte starte med å beskrive mønsteret ved hjelp av tegning, tekst eller tabell. Så vil de oppdage at økning fra et tårn til tårnet som har en terning mer er lik, altså den rekursive sammenhengen. For eksempel at antall synlige sider øker med fire eller at tn = tn-1 + 4 t hvis t er antall synlige sider. Strategien fungerer fint så lenge elevene arbeider med påfølgende tårn, for eksempel tårn 1 og 2. Når elevene skal finne antall synlige sider til ikke-påfølgende tårn, blir strategien mer arbeidskrevende. De fleste vil da begynne å lete etter en eksplisitt formel som ikke er avhengig av at de vet antall synlige sider til det forrige tårnet, kun hvilket nummer tårnet har. Formlene vil se annerledes ut for ulike elevpar, avhengig av hvordan de beskriver mønsteret. Derfor er det viktig med en helklassesamtale hvor elevene deler løsningene sine og argumenterer for dem. Bruk god tid og sørg for at elevene forstår hverandres løsninger. Løsninger som inneholder feil, er gode utgangspunkt for læring. Diskuter hvorfor og gjør om slik at dem blir riktige. Omskriv gjerne alle de riktige løsningene til det samme uttrykket for å vise at de er like. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Jeg ser fire sider på alle terningene pluss én side på toppen»: 4t + 1 «Jeg ser fem sider på den øverste terningen og fire sider på de andre terningene»: 5 + 4(t – 1) «Alle terningene har seks sider. Siden jeg ikke ser sidene mellom terningene, må jeg trekke fra to sider for hvert mellomrom. Det er ett mellomrom mindre enn antall terninger. I tillegg ser jeg ikke siden mot bordet»: 6t - 2(t – 1)-1 Aktivitet 2 Elevene undersøker hvor mange ikke-synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall ikke-synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Hvis mulig, gi elevene en ny tavle å skrive på, slik at de kan beholde notatene fra aktivitet 1. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Det er et mellomrom mindre enn antall terninger. Hvert mellomrom har to ikke-synlige sider. I tillegg må jeg legge til siden mot bordet.»: 2(t – 1) + 1 «Det er en ikke-synlig side ned mot bordet. For hver ny terning får jeg to nye ikke-synlige sider.»: 1 + 2(t – 1) «Hver terning har seks sider som enten er synlig eller ikke. Da må antall ikke-synlige sider være det samme som antall sider totalt minus antall synlige sider.»: 6t - 4(t + 1) Hvis elevene summerer antall synlige og antall ikke-synlige sider får de det totale antall sider på terningene. Det er logisk ettersom en side enten må være synlig eller ikke. Aktivitet 3 Elevene bygger tårn med terninger etter selvvalgt mønster. De bruker regresjon i GeoGebra til å finne en formel for sammenhengen mellom antall terninger i tårnet og antall synlige/ikke-synlige sider. Kommentar til læreren Mange elever synes det er vanskelig å finne eksplisitte formler. Regresjon med GeoGebra kan hjelpe elevene med å finne en formel basert på observasjonene de har gjort av antall terninger/tårn-nummer og antall synlige/ikke-synlige sider. Først legger elevene inn observasjonene sine i regnearket, markerer verdiene og velger Regresjonsanalyse. GeoGebra tegner da opp verdiene som punkter. Vanligvis er x antall terninger og y er antall synlige/ikke-synlige sider. Så finner elevene regresjonsmodellen som passer best til punktene. Bruk tid på å diskutere sammenhengen mellom uttrykk og mønster. Kan de beskrive mønsteret ved hjelp av uttrykket? Hvis elevene gjør regresjon med observasjonene fra aktivitet 1 og 2, vil modellen stemme overens med (forenklet versjon av) utrykkene de fant i aktivitet 1 og 2. Ved å kopiere regresjonen til Grafikkfeltet, kan de arbeide videre med den som en funksjon (se figur 1). Oppsummering Erfaringer med varierte representasjoner kan bidra til dybdelæring. I dette opplegget arbeider elevene med konkreter (terninger) og de kan bruke ulike matematiske representasjoner som tegning, ord, tabell, formel og graf. I oppsummeringen kan det være fint å diskutere sammenhengen mellom de ulike representasjonene.
Elevene får utdelt brikkene. De får lov til å leke med dem en stund. De skal lage figurer som de tegner på arket. Alle vinkler i figurene skal være 90°. Vi setter navn på de tre basisdelene: Den gule basisdelen er et kvadrat med sidelengde a, den blåe basisdelen er et kvadrat med siden b. Rektangelet har lengden a og bredden b. Elevene skal jobbe med arbeidsarket. Læren må være nøye med å forklare forskjellen mellom det å finne areal «ved å telle» og «ved å regne». Telle betyr rett og slett å finne arealet ved å telle antall brikker av hver farge. På de siste oppgavene er det viktig at elevene legger figuren før de begynner å regne. Først da ser de hvor mange brikker de trenger for å legge et fullstendig rektangel. Den siste spalten den mest avanserte. Men vi må kunne forvente at elever på 1T skal klare det. Differensiering: For elever på ungdomsskolen, noen 1P elever, kan man ta bort den siste kolonnen. Elever som er ferdig finner areal og omkrets på de oppgaver som de har laget i starten av timen. Resonnere Areal av et rektangel kan finnes på mange måter. Det skal ikke bare være knyttet til formelen A= l·b Diskuter parentesreglene. Hvorfor blir a(a+b)= a2 +ab. Kan vi se det på figuren? Når vi multipliserer ut to parenteser trenger vi 4 regnestykker. Kan vi se det på figuren?
Arbeidsform La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Alternativ 1 to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke to skruer og en mutter skrudd sammen til ett stykke Alternativ 3 to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke en skrue og tre muttere skrudd sammen til ett stykke Alternativ 2 to skruer og en mutter skrudd sammen til ett stykke en skrue og tre muttere skrudd sammen til ett stykke Alternativ 4 to skruer og tre muttere skrudd sammen til ett stykke to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke Undervisningsopplegget Oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal samarbeide i par om å løse oppgavene. Oppgavene finner du som kopieringsoriginal. Før du gjennomfører opplegget, er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. Ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp likningssettene. Introduksjon Presenter planen for timene og læringsmålene. Elevene organiseres i par. Hvert par får utdelt en pose med skruer og muttere som er skrudd sammen. Det er ikke lov å skru delene fra hverandre. Ikke fortell elevene at du har satt fram vekter ved tavla. La elevene finne ut selv at de er nødt til å få vite hvor mye de sammenskrudde skruene og mutterne veier. Oppgave 1 - Skruer og muttere Utstyr: Hver gruppe får utdelt et sett med skruer og muttere. Eksempel: 2 skruer og 1 mutter er skrudd sammen 2 skruer og 2 muttere er skrudd sammen Hvor mye veier en skrue? Hvor mye veier en mutter? Det er ikke lov til å skru dem løs fra hverandre. Kommentar til læreren Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger, eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?" Noen sett med skruer og muttere er slik at det er ganske lett å finne svarene uten å sette opp en likning mens med andre sett er det vanskeligere. Hvis du kjenner klassen godt, kan du planlegge på forhånd hvilke elever som skal ha de ulike posene. La gjerne elevene bytte poser etter hvert som de finner vekten til skruene og mutterne i posen de har fått. Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter: Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom vekten av skruer og muttere? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål hvis det er aktuelt. Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke s og m, mens noen kanskje vil skrive skruer og muttere. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Ved å bruke s og m kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. Hvis elevene spør om de har fått riktig svar, gir du dem en skrue og en mutter og ber dem veie dem selv for å sjekke løsningene sine. Forberedelse til oppsummering Det er to hovedmål med oppsummeringen. Det første målet er å vise at man kan finne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene. Det andre målet er å vise spesifikt at man kan sette opp et likningssystem og løse det, og at denne metoden kan illustreres, eller har sammenheng med å tenke systematisk med utgangspunkt i den praktiske oppgaven. Vår erfaring er at addisjonsmetoden er den metoden som passer best til å forklare den praktiske systematiske tenkingen/resonneringen i denne oppgaven. Dersom opplegget brukes til repetisjon, tar du utgangspunkt i metodene elevene har brukt tidligere. Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. La elevene forklare hva de har gjort, og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet og forsøk å lage en struktur på det slik at de to målene med oppsummeringen blir nådd. Oppgave 2 - Griser og høns Utstyr: 40 fyrstikker og 24 brikker På gården til Truls er det griser og høns. I følge Truls, har disse dyrene til sammen 40 ben og 24 øyne. Finn ut hvor mange griser og hvor mange høns Truls har på gården sin, både ved hjelp av fyrstikker og brikker, og ved hjelp av likninger. Anta deretter at et ukjent antall stålormer sniker seg inn på gården. Det totale antall øyne og ben er det samme som før. Hvor mange griser, hvor mange høns og hvor mange stålormer har Truls på gården sin nå? Kommentar til læreren Denne oppgaven har høyere vanskelighetsgrad enn oppgaven med skruer og muttere. Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?" Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter: Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom griser og høns? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke g og h, mens noen kanskje vil skrive griser og høns. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker g og h, kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. I oppgave 2 må elevene tenke logisk og prøve og feile, praktisk og/eller ved regning. Forberedelse til oppsummering Målet med oppsummeringen er å vise at man kan finne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. La elevene forklare hva de har gjort og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet, og forsøk å lage en struktur på det slik at målet med oppsummeringen blir nådd. Videre arbeid Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka etter å ha gjennomført dette undervisningsopplegget. Velg oppgaver med ulik vanskelighetsgrad fra boka og la elevene velge, under veiledning av læreren, hvilke oppgaver (vanskelighetsgrad) de vil arbeide med. Hvor mange timer elevene skal arbeide med oppgaver fra boka, må vurderes for hver enkelt klasse.
To eller tre elever spiller sammen. Hver gruppe bestemmer seg or et tall som er "blinken". Enten kan læreren bestemme på forhånd hvilke regneoperasjoner elevene skal bruke, eller så kan elevene selv velge dette ut fra hvilket nivå de befinner seg på. For de yngste elevene kan det være nok med + og -, men det går an å ta med multiplikasjon og divisjon for å gi elevene ekstra utfordringer. Elevene på gruppa kan kan kaste en terning for å avgjøre hvem som skal starte spillet. Den med flest øyne på terningen starter. Hun kaster alle de 5 terningene på en gang, og prøver ved hjelp av de valgte regneoperasjonene å kome så nært blinken som mulig. Alle tallene terningene viser skal brukes, men bare en gang. Spørsmål læreren kan stille gruppene underveis i prosessen: Hvilket tall skal vi velge som blink? Dersom vi holder oss til + og - , hva er det største tallet og hva er det minste tallet vi kan velge som blink? Hvilke valg har du for å komme nærmest mulig blinken? Ser du noe umiddelbart som det lønner seg å gjøre? Hvorfor? Prøv deg gjerne fram dersom du er usikker. Eksempel: Gruppa har på forhånd bestemt at blinken skal være 25. Terningene viser 6, 5, 5, 3, 1. Da vil for eksempel 6 • ( 3+1) + 5 : 5 = 25. Selvsagt kan man også velge andre muligheter. Den som treffer blinken eller kommer nærmest får et poeng. Hvis en eller flere av motspillerne etterpå treffer blinken blir det uavgjort, og de får et poeng hver. Når alle spillerne på gruppa har kastet terningene og bygd ett tall, kan de enten spile på nytt med samme blink, eller velge en annen blink. Elevene skriver poengene i en tabell, og det er om å gjøre å få flest poeng. Variasjonsmuligheter Begrens eller utvid hvilke regnearter det er lov å bruke. Kast med flere terninger. Kast med minst 7 terninger og la det være lov å lage flersifra tall. La 1000 være blink. La spilleren som ikke kaster bestemme blinken. Tall mellom 5 og 30, ikke lov å tenke mer enn 10 sekunder etter kastet.
Kortene fordeles likt mellom spillerne. Legg til side kort som blir til overs. Hver spiller legger kortene foran seg med billedsiden ned. For hver runde legger hver spiller opp et kort. Det største kortet vinner runden og får alle de andre kortene. Gevinsten legges i en egen bunke. Når spillerne har brukt opp kortene de fikk utdelt, starter de på gevinstbunken. Spillet fortsetter til en spiller sitter igjen med alle kortene. Dersom to spillere legger opp like kort, blir det krig. Det kan være lurt å la elevene diskutere hva de skal gjøre når det oppstår krig. Ta også med hva som skjer dersom krigen ikke er de høyeste kortene på bordet (to tiere og en konge). Det tradisjonelle spillet Krig har følgende regler: To like kort vinner alltid over kort som ikke er like. Dersom det kommer opp flere par med like kort, vinner det høyeste paret. Tre like kort vinner alltid over et par. Krigen avgjøres ved at spillerne først legger ut tre kort med billedsiden ned. Det fjerde kortet snus og det høyeste av fjerde-kortene vinner potten inkludert de snudde kortene. Dersom fjerdekortene er like gjennomføres prosedyren på ny. Husk at dette er en av mange måter å løse krigen på. Elevene kan komme opp med vel så gode løsninger. Ingen løsning er bedre enn den andre, men de ulike løsningene gir ulike spill.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
