Introduksjon av likhet med skålvekt
Likhet (eller ekvivalens) er en matematisk ide som handler om at noe representerer det samme som noe annet. Likhetstegnet (=) er det matematiske symbolet for likhet. I denne SUM-en får elevene erfaringer med likhet og bruk av likhetstegnet i forbindelse med likninger, representert ved skålvekt, tegninger og tallsymboler. Varierte erfaringer gir elevene et godt utgangspunkt for å utvikle en dypere forståelse av likhet og likhetstegnet, noe som er avgjørende for å lykkes i for eksempel algebra og problemløsing.
Læringsmål
- Del 1: beskrive ubalanse og balanse konkret, verbalt og symbolsk
- Del 2: oversette fra visuell representasjon av likhet til verbal og symbolsk
- Del 3: bruke likhetstegnet som et tegn for likhet, altså lik verdi på hver side av tegnet
Skålvekt i ubalanse og balanse
Hensikt
Elevene skal beskrive hva som kjennetegner ei skålvekt i ubalanse og hvordan de kan opprettholde ubalansen. Det samme med ei vekt i balanse. Elevene skal arbeide konkret (med skålvekta), verbalt («det er to mer i den ene skåla») og symbolsk (2 + 4 = 6).
La elevene få varierte erfaringer knyttet til skålvekt i ubalanse og balanse. Innfør tegn for likhet (=) og ulikhet (≠, <, >).
Vis fram en skålvekt i ubalanse. La elevene forklare det de ser med ord og med symboler. Utfordre elevene til å forklare og vise hvordan de kan opprettholde ubalanse ved å ta bort eller legge til i de to skålene.
Gjenta deretter med en skålvekt i balanse og utfordre elevene til å forklare hvordan de kan opprettholde balanse ved å ta bort eller legge til i de to skålene.
Viktig!
Å uttrykke likhetstegnet som «er det samme som» kan hjelpe elevene med å utvikle et relasjonelt syn på bruken av tegnet. Det vil si at verdien på begge sider av likhetstegnet er den samme.
Forslag til spørsmål
- Hva ser du? Hva vet du?
- Hva kan du legge oppi/ta bort fra skål A/skål B slik at skålvekta fortsatt er i ubalanse/balanse?
- Hva skal til for at vekta fortsetter å være i ubalanse/balanse?
Lærerveiledning
Hensikten med aktiviteten er å løfte fram elevutsagn som handler om antall enheter, ikke vekt eller masse. For eksempel «6 i skål A har større verdi enn 4 i skål B», «4 i skål B har mindre verdi enn 6 i skål A» eller «det er 2 mer i skål A enn i skål B».
For å opprettholde ubalansen kan vi øke verdien så mye vi vil i skål A, vi kan redusere verdien i skål B eller vi kan øke eller redusere like mye i begge skålene. Med symboler kan vi skrive ubalanse slik: 6 ≠ 4 eller 6 > 4.
For å opprettholde likevekt/likhet (balanse) kan vi øke verdien like mye, for eksempel 6 + 3 = (2 + 4) + 3, eller redusere like mye, for eksempel 6 – 1 = (2 + 4) – 1, i begge skålene.
Introduser etter hvert likhet som et annet ord for at noe er i balanse.
Bruk like enheter, for eksempel Numicon, Cuisenaire-staver, Unifix eller Base 10-materiell. Det viktigste er at elevene har fokus på mengde/antall i hver skål.
La elevene vise og forklare hva de må gjøre for å få ei skålvekt i balanse når den i utgangspunktet er i ubalanse. Start med ei skålvekt der det ligger 5 i skål A og 8 i skål B. Støtt elevene i å knytte sammen ulike representasjoner; de konkrete situasjonene med skålvekta, muntlige forklaringer og symboler.
La elevene arbeide med oppgaver som:
| A. de er kjent med fra før: | 10 + __ = 15 |
| B. ligner på oppgaver de er kjent med fra før: | __ = 9 + 3 |
| C. har flere løsninger: | __ + 13 = 16 + __ |
| D. utfordrer forståelsen av likhetstegnet som en relasjon: | 8 + 12 = __ + 5 |
Varier mellom å ta utgangspunkt i skålvekta eller i et regnestykke, og støtt elevene i å oversette mellom disse to representasjonene, altså konkret og symbolsk.
Viktig!
En vanlig misoppfatning knyttet til oppgavetype D er at elevene skriver summen av tallene på venstre side på den ledige plassen, fordi de tror at = betyr «her kommer svaret». Om den ledige plassen kommer til slutt (for eksempel 18 + 12 = 5 + __) utfordres ikke forståelsen av likhetstegnet på samme måte som i oppgaver av type D.
Lærerveiledning
Bruk like enheter, for eksempel Numicon, Cuisenaire-staver, Unifix eller Base 10-materiell. Det viktigste er at elevene har fokus på mengde/antall i hver skål.
Vis fram illustrasjonen av skålvekt med symboler. Samtal med elevene om hvilke verdier kvadratet og stjernene kan ha hvis skålvekta skal være i balanse. Løft fram at alle stjernene må ha samme verdi. Skriv opp sammenhengene elevene kommer fram til.
Forslag til spørsmål
- Hva vet du?
- Hva vet du hvis stjerna er 2? Hva om den er 5?
- Hva vet du hvis klossen er 6? Hva om den er 8?
- Hva skjer om du tar bort ei stjerne fra hver side?
- Hva skjer om du legger til ei stjerne eller en kloss på hver side?
Lærerveiledning
I denne aktiviteten er det en forutsetning at alle stjernene har lik verdi. Dette vil elevene møte senere i arbeid med algebra der alle x-variablene har samme verdi i ett og samme uttrykk.
Vis med symboler at skålvekta fortsatt er i balanse om vi tar bort en stjerne fra hver side. Hvis stjerna har verdi = 5, har klossen verdi = 10. Det kan vi skrive som:
10 + 5 = 5 + 5 + 5. Hvis vi tar bort ei stjerne fra hver side har vi uttrykket: 10 = 5 + 5. Skålvekta er fortsatt i balanse.
Klar til å gå videre når
- vise og forklare hvordan de kan opprettholde ubalanse og balanse på ulike måter
Likhet på varierte måter
Hensikt
Elevene skal arbeide med likhet i varierte sammenhenger. De skal arbeide visuelt, verbalt og symbolsk.
La elevene øve på å knytte sammen de ulike representasjonene.
Elevene skal øve på å oversette fra tegninger av en skålvekt i balanse til ord og symboler.
Lærerveiledning
Vurder om klassen skal gjøre noen oppgaver felles før elevene arbeider med oppgavene i heftet.
Løft fram tre oppgaver i oppsummeringen. Få elevene til å rangere oppgavene etter hvor utfordrende de er.
Eksempel på tre oppgaver:
 |
 |
 |
Vedlegg: Skålvekt rangere (pdf)
Elevløsninger med kommentarer
Eleven bruker h som variabel for hund, men hen kunne brukt en hvilken som helst bokstav. Variabelen er knyttet til verdien én hund har i denne oppgaven.
Eleven viser her at hen har tatt bort en fugl fra hver side ved å krysse de ut.
Eleven viser med symboler at hen har tatt bort 3 fra hver side først, og på tegningen har hen tatt bort én fugl fra hver side.
Elevene skal øve på å oversette mellom uro, ord og symboler i spillet «UroLab». Målet er å finne verdier som gjør at uroen er i balanse.
Lærerveiledning
I spillet «UroLab» må elevene bruke kunnskapene de har om likhet til å holde uroer i balanse. Spillet inneholder uroer med og uten totalverdi. Antall nivåer i uroen og antall ukjente øker med økende vanskegrad. Ved å bruke pennefunksjonen i spillet, kan elevene tegne og skrive i området rundt uroen.
Løft fram tre oppgaver i en oppsummering. Få elevene til å rangere oppgavene etter hvor utfordrende de er.
Eksempel på tre oppgaver:
 |
 |
 |
Elevene skal arbeide med ulike problemløsingsoppgaver.
Lærerveiledning
En mulig oppsummering av hele del 2 kan være en matematisk samtale der elevene sammenligner oppgavene de har arbeidet med. Fokuset bør være på likhetstegnet og betydningen det har for å kunne løse de ulike oppgavene.
Om oppgavene
Problemløsingsoppgavene i aktivitet 3 er hentet fra ulike trinn. Trinnet står nederst på hver side. I Matematikkstien finner du igjen oppgavene som Post 6.
Oppgavene fra 4., 7. og 8. trinn: Ordet «kan» indikerer at oppgavene har flere løsninger.
Oppgaven fra 6. trinn: Elevene trenger ikke å gjøre oppgaven «linje for linje». Når de har løst første linje, så har de alt de trenger for å løse tredje linje. Deretter kan de løse andre linje.
Oppgaven fra 7. trinn: Det lønner seg å velge tall som gjør oppgaven enklere å løse. Når to t-skjorter koster det samme som tre luer, må summen av to t-skjorter og tre luer være delelig på både 2 og 3. Summen av fem luer må også være delelig på to for at prisen på én brille skal bli et helt tall.
Oppgaven fra 8. trinn: Første linje gir at huset må ha verdi 0. Andre og tredje linje gir at boka må være dobbelt så mye verdt som flagget.
Oppgaven fra 9. trinn: Elevene kan bruke det første uttrykket til å forenkle det andre uttrykket ved ta bort to pizzastykker og én iskaffe to ganger. Da står de igjen med at én iskaffe koster 20 kr.
Oppgaven fra 10. trinn: Elevene kan doble den første linjen og få at seks muffins og to brus koster 270 kr. Deretter kan de ta bort to muffins og to brus slik at fire muffins koster 270 kr – 122 kr = 148 kr, og én muffins koster 27 kr.
Oppgavene er hentet fra https://www.matematikk.org/matematikkstien
Klar til å gå videre når
- representere likhet med tegning, ord og symboler.
Likhet med symboler
Hensikt
Elevene skal argumentere for riktig bruk av likhetstegnet. De skal arbeide verbalt («hvis jeg legger sammen 8 og 3 får jeg 11») og symbolsk (11 = 8 + 3).
Løft fram elevenes argumenter om at påstandene er sanne eller usanne, og sørg for at klassen kommer til enighet.
Elevene skal ta stilling til om utsagnene er sanne eller usanne. Det er viktig at de argumenterer matematisk for sitt standpunkt.
Forslag til oppgaver basert på ulike misoppfatninger:
A - Alle operatorer må være på venstre side
11 = 8 + 3
4 + 7 = 8 + 3
B - Likhetstegnet kan ikke brukes uten operator
5 = 5
a = a
C - Likhetstegnet betyr «her kommer svaret»
6 + 12 = 14 + 4
6 + 12 = 18 + 4
20 : 5 = 10 – 6
D - Behandler ulikhet som likhet
5 + 7 < 12
Lærerveiledning
Oppgavetype A: Elever som svarer at 11 = 8 + 3 er usann kan tenke at «svaret» alltid må stå på høyre side.
Oppgavetype B: Elever må få erfaring med at 5 = 5 er et fullstendig uttrykk.
Oppgavetype C: For å tydeliggjøre at likhetstegnet betyr samme verdi på begge sider, kan det hjelpe å synliggjøre at hver side utgjør én enhet:
Alt som står på høyre side av likhetstegnet, skal ha samme verdi som alt som står på venstre side.
Elevene skal løse oppgaver med fokus på ulike misoppfatninger knyttet til bruk av likhetstegnet.
Lærerveiledning
Oppgaveheftet inneholder en blanding av oppgaver knyttet til misoppfatningene fra aktivitet 1. Vurder behovet for å løfte fram noen av oppgavene i hel klasse.
Klar til å gå videre når
- argumentere for riktig bruk av likhetstegnet