Introduksjon Favn er en måleenhet både for lengde og volum. Vi snakker om «10 favners dyp» og om «3 favner bjørkved». Andre måleenheter som brukes rundt salg av ved i dag er liter, 60-litersekker, storsekk og storfavn. Denne oppgaven tar utgangspunkt i noen av de ulike begrepene og benevningene som benyttes i «vedmarkedet». Vi skal også kikke i en tabell som gir oss energimengde, samt sammenligne prisen på ved og elektrisk strøm som energikilde til oppvarming. Elevoppgave DEL 1: Her er et leserinnlegg i Adresseavisa høsten 2013: «Driver i vedskogen på hobbybasis. Ser at det selges ved i sekk og på pall i forskjellig størrelser. Men hvor mye er én favn ved? Er det to ganger to ganger 0,6m, det vil si 2,4 kubikk eller hva?» Hilsen «Ved varmer best» Spørsmål: Hva betyr «kubikk» i denne sammenhengen? Og hva menes med «to ganger to ganger 0,6m, det vil si 2,4 kubikk»? Klarer dere å skrive regnestykket på en matematisk form med tall og benevninger? Se om du finner en definisjon av ei favn som volumenhet. Sjekk om den er definert på flere måter, og undersøk om det brukes andre benevninger enn favn når det selges ved. Nils får tilkjørt et lass bjørkved med 60 cm lengde. Vedbua har god bredde og høyde, men er bare 250 cm lang. Nils ønsker å stable slik at han kan kontrollere at han har fått 1 favn ved som han har betalt for. Klarer du å foreslå to måter å gjøre det på? I fjor betalte han også for ei favn, og da ble det én stabel i hele vedbuas lengde og som var ca. 170 cm høg . Hvem av Nils eller vedselgeren gjorde den beste handelen? Dagens «VED-nøtt»: Hvorfor defineres ei favn forskjellig om vi har 30 cm vedlengde i stedet for 60 cm? DEL 2: På nettstedet under finner du tabeller som kan brukes til å finne energimengden for ulike treslag. http://www.norskved.no/nytt-omsetningssystem-for-ved (Se "Veiledningshefte. Nytt ometningssystem for ved") Den lokale bensinstasjonen tilbyr Nils 10 60-liters sekker for 800 kroner. Veden har fuktighetsgrad 20 % som passer til tabellen, og vi regner med 75 % virkningsgrad på ovnen (netto kWh), Hva betyr virkningsgraden til en ovn? Finn en tabell som passer og beregn den totale energimengden (kWh) i disse 10 sekkene med bjørkved. Finn prisen per kWh når Nils brenner denne veden. Studer ulike strømtilbud og sammenlign prisen på ved og elektrisk strøm pr. dags dato. Hva vil du anbefale? Hvordan går det an for Nils å redusere prisen pr. kWh for ved til oppvarming? Felles diskusjon Etter at elevene har jobbet sammen med oppgaven i små grupper blir det viktig at alle svaralternativene kommer fram og blir begrunnet og diskutert i en oppsummering. Her er det både ord som «kubikk» og praktiske oppgaver der vi har fast volum, men hvor formen kan være forskjellig. Nøkkelord som er sentrale i diskusjonen: favn, naturbruk, volum, applikasjon, energi
Lagring av såkorn I denne oppgåva skal elevane prøve å tolke eit diagram som viser korleis faktorar som temperatur og innhald av vatn påverkar lagringsforholda for såkorn. Figuren over (Diagram 1) viser korleis lagringsforholda til korn blir påverka av både lagringstemperatur og kor mykje vatn det er i kornet. Undervisningsressurs 1) Undersøk kva typar sopp- og muggskader kornet kan få. Eit tips å starte med kan vere http://forskning.no/mat/2012/06/hva-pavirker-mugg-og-muggsoppgifter-i-korn 2) Studer tabellen over som viser lagringsgraden til såkorn ut fra innhald av vatn og lagringstemperatur: Kva måler ein langs x- aksen, og kva er måleeininga? Kva måler ein langs y- aksen, og kva er måleeininga ? Dersom kornet inneheld 15 % vatn og lagringstemperaturen er 12 °C; kva område er du innafor da? Anna har korn som inneheld 16 % vatn og lagringstemperatur 18 °C. Tåler kornet lagring? Dersom kornet inneheld 14 % vatn; kva meiner du er det tryggaste temperaturområdet for at kornet ikkje skal bli øydelagt? Kva skjer med dette temperaturområdet når innhaldet av vatn aukar? Blir det større eller mindre? Kornsiloen til Nils hold 4 °C. Kva er det høgaste innhaldet av vatn han kan ha for ikkje å ha risiko for sopp- og muggskadar? I kornet til Kåre er det 16 % vatn. Kva er den høgaste lagringstemperaturen han kan ha for at kornet ikkje vil tåle lagring? 3) Kan det vere andre faktorar enn temperatur og innhald av vatn som påverkar lagringsgraden av såkorn?
I dette opplegget skal elevene først lage noen kjente fraktaler etter gitt beskrivelse. Etterpå skal de bruke fantasi og lage egne fraktaler. I begge tilfeller skal utforskning og diskusjon vektlegges. Sammenheng mellom egenskaper til fraktaler og geometriske rekker skal tydeligjøres. På de neste sidene blir 3 aktiviteter presentert med kommentarer til læreren. Introduksjon av opplegget Kommentar til læreren: Introduser gjerne fraktaler som matematiske strukturer med den fantastiske egenskapen at når en fraktal brytes i små deler, er hver del en eksakt kopi av den opprinnelige formen. Be elevene om å tenke på hvor rart det ville vært hvis de skulle slippe et glass vann i bakken og glasset ble knust i 100 biter, og hver av bitene ville vært et svært lite glass fylt med vann. Denne umulige idéen er nøyaktig hva som skjer med fraktaler. Aktivitet 1 – Fraktaltre Elevene skal lage et fraktaltre og fylle ut en tabell. 1. Tegn et fraktaltre ved å følge punktene: a. Tegn en trestamme b. Tegn to greiner som kommer ut fra stammen, hver av dem halvparten så lang som stammen. c. Gjenta dette med to nye greine som kommer ut fra forrige greiner. Hver ny grein skal være halvparten så lang som greinene i forrige steg. d. Fortsett med dette til du kommer til "uendelig". Din fraktal er fullført. 2. Fyll ut tabellen se kopieringsoriginal 3. Hvilke mønster ser du? Beskriv dem. 4. Prøv å finne den algebraiske formelen for verdien i n-te trinn. Forklar hvordan du har kommet fram til svaret. Kommentar til læreren: La elevene arbeide seg gjennom punktene. Ha en diskusjon med elevene om hva de observerer. Hvis nødvendig, hjelp dem til å formulere den algebraiske formelen. Forslag til noen konklusjoner: Hver del av treet er en eksakt kopi av hele treet. Man kan zoome inn og se den samme formen om og om igjen, eller man kan zoome ut. Kanskje treet vi har tegnet er bare en liten bit av et tre som er tusenvis km høy! Den totale lengde er uendelig, men grensen for lengden fra rota til ytterste grein er 2. Prøv å få elevene til å knytte tallet 2 til summen av uendelige geometriske rekker. `(1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +... = 2)` Aktivitet 2 – Sierpinski-trekant Sierpinski-trekanten er en av de mest interessante og vakreste fraktaler. Den er oppkalt etter Waclaw Sierpinski (1882-1969), en polsk matematiker som er kjent for sitt arbeid med blant annet fraktaler. Elevene får en kopi av arket (kopieringsoriginal) og skal følge instruksjoner. Underveis skal de også fylle ut tabellen. Oppgave: Finn midtpunktet på hver av sidene i trekanten. Koble midtpunktene til hverandre med rette linjer. Nå har du 4 like store trekanter i den store trekanten. Den midterste trekanten fargelegger/skyggelegger du med svak gråtone for å representere at den miderste trekant har blitt tatt bort. Gjenta trinn 2 for de tre gjenværende trekanter, det vil si finn midtpunktene av hver av sidene i hver av trekanter og koble dem. Gjenta det samme på de 9 gjenværende trekanter, og fortsett til trekantene er for små til å tegne videre. Spørsmål: • Hvordan endrer sidelengden seg for hvert trinn? Hva skjer når vi går mot uendelig? • Hvordan endrer arealet seg? Hva skjer når vi går mot uendelig? Aktivitet 3 Kunst med fraktaler La elevene eksperimentere med å skape sine egne fraktaler. Velg en figur (for eksempel en kvadrat eller trekant) og bestem en ‘regel’ (framgangsmåte) som skal følges for å lage en fraktal du ønsker Bruk regelen på figuren du har valgt i punkt 1 Gjenta punkt 2 mange ganger En god regel må resultere i minst to mindre kopier av utgangsfiguren, slik at den kan gjentas på de mindre kopiene. En regel kan innebære å legge til eller trekke fra deler av figuren, ved hjelp av andre former eller ved hjelp av farger. Du bør være i stand til å zoome inn på figuren din, og fortsatt kunne se kopier av utgangsfiguren. 4. Lag en tabell som viser hvordan en eller flere egenskaper av fratalen endrer seg fra steg til steg. Egenskaper kan være antall nye former på hvert steg, størrelse av formene (lengden, arealet eller volumet), totalt antall former, osv. Kommentar til læreren: La elevene bruke kreativitet. Du kan vise eksemplene under. Elevene kan for eksempel bruke første bokstaven i navnet sitt. I denne "A-fraktalen" legger vi i første steg til 3 A-er, og i de neste stegene legger vi bare 2 A-er til hver A. Se på tabellen og analysen under. Det kan være veldig nyttig å skrive antall deler som et produkt for å lettere se hvordan vi kan skrive en formel for det n-te steget. Elever kan fritt velge farger og former. Sirkelfraktalen under innholder potens med 2, og blomsterfraktalen innholder potens med 3.
Oppgaven handler om å se på form, beregne arealet av bedet og tegne inn hvordan bedet kan beplantes med Bjarkøyspirea (se under ressurser). Det er vedlagt forslag til avstand mellom plantene, og elevene skal tegne er «planteplan» for arealet. Dette vil bestemme hvor mange planter som må kjøpes inn. Kontakt med et gartneri eller med et «Hageland» vil gi ei prisramme for prosjektet. Bjarkøyspirea Spirea chamaedryfolia, H7 Cirka 1,5 meter høy busk med kremhvite blomster i halvskjerm på fjorårsskudd. Guloransje høstfarge. Tåler å stå i skygge, og klarer seg bra i skrinn, næringsfattig jord. Passer til buskplantinger og fri hekk. Planteavstand: Grupper 1 til 3 m. Hekk 0,3 til 0,5 m. En av de mest nøysomme spirea, kan vokse i både sandjord og kalkholdig jord, kyst- og innlandsklima. (I oppgaven bruker dere en avstand på 1,0 meter) Velg dere et av de største bedene på skolen. Hvilken geometrisk form synes dere bedet har? Velg formel for areal og regn ut arealet av bedet i m2. Tegn bedet på et ark i målestokk 1:100. Prøv deretter å markere med et kryss hver busk på tegningen med 1 meters avstand. Husk at avstanden fra kanten på bedet inn til nærmeste busk også skal være omtrent 1 meter. Det kan være dere må tilpasse avstanden noen plasser, i forhold til trær som allerede står der eller flaggstang. (Alternativet er at dere bruker et prikkark eller et ruteark) Hvor mange busker blir det omtrent plass til? Ta kontakt med et «Hageland» om de kan gi dere et tilbud på busker og lag et overslag over hva et slikt prosjekt vil koste. Er det andre utgifter enn spireaplanter som vil komme til i budsjettet? Plantejord? Gjødsel? Dekkbark? Er det andre planter som kunne ha vært aktuelle for det bedet dere valgte sett ut fra vekstvilkår?
La elevene arbeide i par. De skal diskutere, reflektere og konkludere, og de skal skrive ned det de kommer fram til. Elevene kan ha løst oppgavene og skrevet løsninger på ulike måter. La dem få presentere de ulike løsningene, det kan være utgangspunkt for en samtale som kan gi bedre forståelse. Opplegget er laget for å illustrere Pytagoras’ setning. Det kan utvides ved at dere ser på hva som mangler for at dette skal være et bevis for setningen. Så kan man utvide med det som trengs for å bevise setningen med utgangspunkt i puslespillet. Oppgave til elevene Klipp ut puslespillet i vedlegget slik at du får fem biter. Vi har to kvadrater slik som vist på figuren nedenfor. Sidelengden til det lille kvadratet BFGE er halvparten av sidelengden i det store kvadratet ABCD. Punktet H ligger midt på sida AB. a) Sammenlign trekantene AHD og FGH. Hva har disse to trekantene felles? b) Hva er arealene til de to kvadratene uttrykt ved sider i trekantene? c) Vis at bitene kan settes sammen til et stort kvadrat. d) Uttrykk arealet av dette kvadratet ved hjelp av sider i trekantene. e) Forklar at dette puslespillet viser Pytagoras’ setning.
Elevene får utdelt brikkene. De får lov til å leke med dem en stund. De skal lage figurer som de tegner på arket. Alle vinkler i figurene skal være 90°. Vi setter navn på de tre basisdelene: Den gule basisdelen er et kvadrat med sidelengde a, den blåe basisdelen er et kvadrat med siden b. Rektangelet har lengden a og bredden b. Elevene skal jobbe med arbeidsarket. Læren må være nøye med å forklare forskjellen mellom det å finne areal «ved å telle» og «ved å regne». Telle betyr rett og slett å finne arealet ved å telle antall brikker av hver farge. På de siste oppgavene er det viktig at elevene legger figuren før de begynner å regne. Først da ser de hvor mange brikker de trenger for å legge et fullstendig rektangel. Den siste spalten den mest avanserte. Men vi må kunne forvente at elever på 1T skal klare det. Differensiering: For elever på ungdomsskolen, noen 1P elever, kan man ta bort den siste kolonnen. Elever som er ferdig finner areal og omkrets på de oppgaver som de har laget i starten av timen. Resonnere Areal av et rektangel kan finnes på mange måter. Det skal ikke bare være knyttet til formelen A= l·b Diskuter parentesreglene. Hvorfor blir a(a+b)= a2 +ab. Kan vi se det på figuren? Når vi multipliserer ut to parenteser trenger vi 4 regnestykker. Kan vi se det på figuren?
Forberedelser I dette opplegget skal vi bruke esken i midten på figur 1. Til hvert sett: Klipp ut et kvadrat i rødt papir som passer nøyaktig inn i esken. Legg det inn i bunnen av esken. Legg så tilbake de fire gule trekantene og det blå pappkvadratet som ligger i midten. Hvis det ikke ligger noe blått kvadrat i midten (kvadrat på hypotenusen), må slike også klippes ut og legges inn. Undervisningsopplegget På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Opplegget inneholder et visuelt «bevis» for Pytagoras setning. Det er mangelfullt som bevis, men likevel ganske overbevisende. Grunnen til at dette ikke er noe fullgodt bevis, er at vi påstår at vi får kvadrater, uten å vise hvorfor det virkelig er slik. Opplegget er helt «algebrafritt» i pkt. 1–5. Målet er at elevene skal se hvordan de kan løse oppgaver med Pytagoras setning uten å bruke algebra og løse likninger. Det er nok å ha en figur til hjelp. For en del elever er det et rimelig læringsmål. Det er viktig at også elever som behersker algebra godt, får med seg denne måten å tilnærme seg Pytagoras setning på. I pkt. 6 innføres bokstaver som navn på sidene, og vi ender med den kjente formelen for Pytagoras setning: a2 + b2 = c2. Introduksjon av undervisningsopplegget Be elevene skrive opp alt de husker om rettvinklede trekanter og Pytagoras setning. Ta det opp i fellesskap, hør hva elevene allerede kan, og bruk anledningen til å supplere og korrigere eventuelle misforståelser. 1 Begynn med esken der brikkene ligger, slik: Kommentar til læreren Det ligger et blått pappkvadrat inne i eskene. Hvis dette mangler, bør det legges et slikt kvadrat inn i eskene. a Hvorfor kaller vi de fire trekantene for rettvinklede trekanter? Skriv med egne ord. b Den blå firkanten i midten er et kvadrat, vi kaller den kvadratet på hypotenusen. Hvorfor? Skriv og forklar. De resterende oppgavene finner du i kopieringsoriginalene. f Hva kan vi si om arealet av det store blå kvadratet i forhold til arealene av de to røde kvadratene? Regelen du har funnet, kalles Pytagoras setning. Skriv regelen i ruta nedenfor. Kommentar til læreren La elevene arbeide seg gjennom pkt. a, hvor de skal prøve å formulere skriftlige svar i alle rutene. Læreren kan benytte anledningen til å se hvordan enkeltelever arbeider, og det er mulighet til å ha små samtaler med dem. Når elevene er ferdig med dette punktet, bør læreren stoppe opp og samtale med elevene i plenum. Hva har de skrevet? Hvorfor har de skrevet det slik? Det er mange måter å uttrykke seg på, og alle utsagn som er riktige, må verdsettes. Mange elever fanger opp gode tips og ideer fra andres forklaringer. Det er like viktig å kunne være god til å lytte som å være god til å forklare. Samtidig er dette en anledning for læreren til å fange opp og avklare misforståelser. Hensikten med opplegget er at elevene skal forstå hva Pytagoras setning egentlig sier om rettvinklede trekanter og kvadratene på sidene. Det er fint om de formulerer setningen i pkt. f med ord, for eksempel «Arealet av det blå kvadratet er like stort som arealene av de røde kvadratene til sammen» eller «Arealet av kvadratet på hypotenusen er like stort som arealet av kvadratene på katetene til sammen». 2 Eksempel: Vi tenker oss at alle de rettvinklede trekantene har en katet som har lengde 3, en katet som har lengde 4, og hypotenus med lengde 5. a Hvor stort er arealet av det blå kvadratet i dette tilfellet? b Hvor store er arealene av de to røde kvadratene? c Stemmer regelen til Pytagoras i dette tilfellet? Skriv og forklar. Kommentar til læreren Stans etter pkt. 2 og hør hva elevene har kommet fram til her. Diskusjon/samtale. Har elevene forstått sammenhengen mellom de to figurene? Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt 6. tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det må selvsagt bruke algebra. Men med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Når du samtaler om løsninger med elever, så spør «Hvorfor gjør du slik?» eller «Hva har du gjort her?» for å få tak i hva eleven har tenkt. Slike spørsmål bør man også stille til elever som ser ut til å løse alle oppgavene uten problemer. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene. 5 Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 13 m lang, og den korteste kateten er 5 m. Hvor lang er den andre kateten? Kommentar til læreren Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt. 6 tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det, må selvsagt bruke algebra. Med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene.
Arbeidsform Elevene sitter i grupper på fire rundt et bord. To og to skal arbeide sammen, men de fire har på denne måten mulighet til å diskutere og dele ideer med hverandre underveis. Opplegget starter inne med undersøkende aktiviteter. Deretter går alle ut for å gjøre målinger og samle inn data. Elevene går inn igjen for å gjøre beregninger. Klassen trekker konklusjoner og setter ord på hva de har lært, under ledelse av læreren. Læreren har en viktig oppgave som igangsetter, «los» og inspirator under hele økta, i tillegg til at han eller hun skal sørge for at de nye begrepene blir innført på en faglig forsvarlig måte. Elevene skal gå fra det kjente (formlike trekanter) til det ukjente (sinus, cosinus og tangens), slik at det blir naturlig for dem å innføre de nye begrepene. De skal raskt få se hva dette kan brukes til i praksis ved å gjøre egne observasjoner, målinger og beregninger. Denne introduksjonen skal gjøre dem i stand til å arbeide videre med trekantberegning. De skal være med å utlede arealsetningen, cosinussetningen og sinussetningen i de kommende timene. På dette nivået anbefales det å bruke nabovinkler for en logisk utvidelse av sinus og cosinus til vinkler mellom 90 og 180 grader. Læreren kan på forhånd ha tegnet en trekant på tavla som forklarer hvordan klinometeret virker. Møbler rommet og legg geobrett og strikk på pultene på forhånd for å spare tid. Læreren må også ha tenkt ut to høye ting i skolens nærområde som elevene skal bestemme høyden til. Vi brukte to av skolens bygg. Læreren bør tenke gjennom hvordan hun eller han skal sette i gang elevene. En fin regel er å si minst mulig, men nok til at elevene kommer i gang. Når de er i gang med ulike utforskinger, går læreren rundt og svarer på spørsmål og kommer med innspill som får elevene videre. Introduksjon (5 min) Legg et geobrett på overhead. Legg en vinkel med toppunkt i nederste venstre hjørne. Spør om noen kan lage en rettvinklet trekant der denne vinkelen er med. La en elev komme opp og gjøre det. Utforsking (15 min) Oppgave til eleven: - Lag din egen vinkel med toppunkt i nederste venstre pinne (ikke maken til lærerens). - Lag ulike rettvinklede trekanter der denne vinkelen er med i trekanten. Kommentar til læreren Gå rundt og se hva elevene gjør. Noen vil bare lage trekanter med den rette vinkelen rett til høyre for den første vinkelen (langs grunnlinja). Noen vil helt sikkert også lage den rette vinkelen over grunnlinja. Når elevene har laget fire eller fem trekanter, samles dere ved geobrettet på overhead. Få elevene til å lage trekanter. Spørsmål til elevene: Hva er felles for alle disse trekantene? Svar: De er formlike. Spørsmål til elevene: Hva vet dere om formlike trekanter? Svar: Forholdet mellom to sider i én trekant er lik forholdet mellom to tilsvarende sider i en annen trekant. Introduser begrepene motstående og hosliggende katet. Innføring av nye matematiske begreper (10 min) La elevene måle forholdet mellom Motstående katet og hypotenusen i alle trekantene sine. Snakk litt om gjeldende siffer. Hosliggende katet og hypotenusen i alle trekantene. Motstående katet og hosliggende katet i alle trekantene. Når dere sammen har konstatert at disse forholdene er konstante, er det lekende lett og naturlig å introdusere forholdene i a, b og c som henholdsvis sinus, cosinus og tangens til vinkelen elevene begynte med. Læreren viser på tavla hvordan vi kan bruke dette til å beregne ukjente sider i en rettvinklet trekant når vi kjenner en vinkel og en side. Anvendelser, datainnsamling (30 min) Elevene introduseres for klinometeret. Læreren demonstrerer hvordan det kan brukes til å måle siktevinkel. Elevene tar med målebånd, klinometer, kladdebok og blyant ut. Gruppene foretar vinkelmålinger og avstandsmålinger ute. Hvert par skal finne siktevinkelen til toppen av to høye ting i tre ulike avstander, for eksempel 5 m, 10 m og 15 m. De skal også notere hvor høyt de vil anslå de ulike tingene de måler, til å være. Bearbeiding av data, presentasjon av resultater (20 min) Etter at målingene er foretatt, går alle inn igjen. Elevene bruker sine egne data til å regne ut høydene. Be dem tegne figur. Tegn inn en rettvinklet trekant som kan brukes til å beregne høydene. Diskuter enten samlet eller ved bordene om de skal bruke sinus, cosinus eller tangens. Hvordan skal de kompensere for høyden over bakken hvor de måler vinkelen fra? (Noen elever vil sikkert legge seg ned for å unngå å måtte legge til egen øynehøyde.) Be elevene sammenlikne de beregnede verdiene med verdiene de gjettet. Hvorfor ble det riktig/feil? Felles oppsummering og diskusjon La elevene først få si hva de har lært. Pass på å få med de presise definisjonene av sinus, cosinus og tangens. Utfordre dem gjerne til å finne eksempler på situasjoner der trigonometri vil være nyttig for å kunne foreta beregninger. NÅ er det på sin plass å fortelle elevene at de må PUGGE definisjonene av sinus, cosinus og tangens, og at de må lære hva som menes med motstående og hosliggende katet til en vinkel i en rettvinklet trekant. Avslutt timen med å si at dere skal arbeide videre med trigonometri og se hvordan det også kan brukes til å beregne sider, vinkler og areal i trekanter som ikke er rettvinklet. Film {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/xt46aZApMJE.jpg?itok=QQZ8Fm-i","video_url":"https://youtu.be/xt46aZApMJE","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]}
Elevene arbeider med andregradsfunksjoner hvor funksjonsuttrykket er oppgitt på formen f(x) = ax2 + bx + c og på faktorisert form. La elevene oppdage sammenhengene selv, og oppfordre dem til å diskutere underveis og til å bruke matematiske ord og uttrykk. Bruk helklassesamtaler for å løfte fram oppdagelser. Aktivitet 1 Klassen gjør første aktivitet sammen. Læreren tegner grafene til f(x) = x2 - 7x + 10 og g(x) = (x - 2)(x - 5) i GeoGebra og klassen studerer grafene. Målet er at elevene skal oppdage at andregradsuttrykkene gir den samme grafen. Kommentar til læreren Gode spørsmål: Hva oppdager dere? Hvorfor er det slik? Hva slags funksjoner er f og g? Hva er nullpunktene til funksjonene? Vi sier at funksjonen g er skrevet på faktorisert form. Hvorfor? I tillegg til å snakke om spørsmålene nevnt over, er det viktig at elevene forstår hva faktorisert form betyr og hva som er fordelen med den. På elevarket er det satt av plass til at elevene kan oppsummere helklasseaktiviteten med egne ord. Aktivitet 2 Elevene arbeider med aktivitet 2 på elevarket. Utgangspunktet er funksjonsuttrykk gitt på faktorisert form, og elevene skal finne nullpunktene og funksjonsuttrykk på formen f(x) = ax2 + bx + c. Målet er at de skal generalisere sammenhengen mellom uttrykkene. Kommentar til læreren Hvis klassen har gjennomført opplegget Andregradsfunksjoner 4, er sammenhengen mellom andregradsfunksjon på faktorisert form og dens nullpunkter kjent. Nå skal de lage et generelt uttrykk som beskriver sammenhengen mellom faktorisert form og formen f(x) = ax2 + bx + c. På elevarket skal elevene først se på noen konkrete eksempler og deretter prøve å lage et generelt uttrykk som viser sammenhengen med a, b og c. Siden alle uttrykkene består av to parenteser med kun én x i hver, vil a = 1 for alle uttrykkene. Ved å multiplisere sammen parentesene i k(x) = (x + s)(x + t) og samle ledd av samme grad, kan elevene komme fram til at k(x) = x2 + (s + t) x + (s ∙ t). Altså er b = s + t og c = s ∙ t. Aktivitet 3 Elevene tar utgangspunkt i funksjonsuttrykk på formen f(x) = ax2 + bx + c. Målet er å bruke sammenhengen fra aktivitet 2 for å omskrive uttrykkene til faktorisert form. Kommentar til læreren Å kunne skrive funksjonsuttrykket til andregradsfunksjoner om til faktorisert form er en nyttig metode for å finne nullpunktene til funksjonen på. Det er også kjekt hvis brøker eller brøkfunksjoner inneholder andregradsuttrykk. Aktivitet 4 Elevene undersøker andregradsfunksjoner hvor a ≠ 1. Målet er å utvikle metoden fra aktivitet 2 og 3 til å gjelde for alle andregradsfunksjoner. Kommentar til læreren De starter med å sammenligne en andregradsfunksjon hvor a = 1 med en funksjon hvor alle ledd er doblet. Funksjonene har like nullpunkter og forskjellig krumning. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive matematikk med egne ord. Spørsmålene «Hva er forskjellig?» og «Hva er likt?» kan hjelpe elevene i gang. Forslag til regel for å faktorisere: Hvis x = s og x = t er nullpunktene til en andregradsfunksjon, f(x) = ax2 + bx + c, kan f faktoriseres slik: f(x) = a(x - s)(x - t). Oppsummering Avslutt med en helklassesamtale. Løft fram matematiske ord og uttrykk som elevene bruker. Gode spørsmål: Hva er fordelen med faktoriserte uttrykk? Hva er sammenhengen mellom faktorisert form og nullpunkter? Hva er sammenhengen mellom faktorisert form og a-b-c-form? Har alle andregradsfunksjoner en faktorisert form? Hvorfor/hvorfor ikke?
Elevene skal arbeide med andregradsfunksjoner med to nullpunkter. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og nullpunkter. Aktivitet 1 I første aktivitet tegner læreren grafen til f(x) = (x + 2)(x + 3) og leder en klassesamtale med fokus på: Hva slags funksjon er f? Hva mener vi når vi snakker om nullpunktene til funksjonen? Hvor finner vi nullpunktene til funksjonen f, og hva er de? Hva er sammenhengen mellom nullpunktene og funksjonsuttrykket? Kommentar til læreren Still spørsmålene og la elevene forklare og begrunne. Hvis elevene ikke oppdager det selv i løpet av klassesamtalen, så gjør de oppmerksomme på at hele funksjonsutrykket blir 0 når uttrykket i en av parentesene blir 0. At et produkt blir lik 0 når en faktor er lik 0 er noe mange elever vet, men det er fint for dem å se hvordan de kan utnytte den egenskapen i praksis. Be gjerne elevene å regne ut funksjonsverdien til nullpunktene, f(-2) og f(-3), for å vise det enda tydeligere. Aktivitet 2 Elevene arbeider med ulike andregradsfunksjoner og nullpunktene deres. Oppgave 1: Finn nullpunktene til g(x) = (x + 1)(x + 4). Oppgave 2: Finn nullpunktene til h(x) = (x – 1)(x + 5). Oppgave 3: Funksjonen i har nullpunkter i x = -2 og x = 3. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Oppgave 4: Finn nullpunktene til j(x)= x2 – 5x + 4. Kommentarer til læreren Del oppgavene med elevene og la elevene arbeide i par eller små grupper. Oppfordre dem til å gjette før de sjekker i GeoGebra. Oppgave 1 og 2 er oppgitt på samme form som i aktivitet 1, f(x) = (x + r)(x + s), og elevene kan løse dem på samme måte. I oppgave 3 er nullpunktene oppgitt, og elevene kan tenke baklengs for å løse oppgaven. I oppgave 4 er funksjonsuttrykket gitt på formen som kanskje er mest kjent for elevene. Elevene kan løse oppgaven ved å finne nullpunktene ved regning eller med GeoGebra. De kan også bruke oppgave 1 som utgangspunkt og endre fortegn. Oppsummer aktiviteten kort før aktivitet 3. Ha gjerne fokus på sammenhengen mellom oppgave 1 og 4. Aktivitet 3 Elevene lager lignende oppgaver til hverandre. Kommentar til læreren La elevene arbeide i par eller små grupper. Oppfordre dem til å lage varierte oppgaver. Hvis noen trenger hjelp til å komme i gang, kan de bruke uttrykket f(x) = (px + q)(rx + s) som utgangspunkt. Før de løser oppgavene som medelevene har laget (uten digitale verktøy), skal de gjette hva de tror løsningen kan være. Og etter at de har funnet en løsning, skal de bruke GeoGebra for å kontrollere om løsningen er riktig. Oppsummering La elevene oppsummere individuelt ved å lage et notat til fremtidige, glemsomme seg. Notatet bør inneholde eksempler av varierende vanskelighetsgrad og ting eleven mener det er viktig å huske. Øving Skriv opp ni oppgaver fordelt på tre ulike vanskelighetskategorier og la elevene velge hvilke oppgaver de gjør selv. Forslag: Mild Finn nullpunktene til a(x) = (x – 3)(x + 1). Finn nullpunktene til b(x) = (5 – x)(x – 2). Funksjonen c har nullpunkter i x = 6 og x = -1. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Medium Finn nullpunktene til f(x) = (3x – 1)(x + 2). Finn nullpunktene til g(x) = (6 – 3x)(4x + 2). Funksjonen h(x) har nullpunkter i x = 1/2 og x = -1. Den har også et toppunkt. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Spicy Finn nullpunktene til n(x)= -x2 + 10x – 21. Funksjonen m(x) har nullpunkter i x = -3 og x = 2/3. Den har også et toppunkt som har funksjonsverdi større enn 5. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Funksjonen o(x) har bare ett nullpunkt. Lag et funksjonsuttrykk som passer til. Bruk gjerne en blanding av oppgaver som du har forberedt og oppgaver som elevene har laget.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
