Elevene må kjenne til derivasjon fra før og ha arbeidet med funksjoner i GeoGebra. Undervisningsopplegget Introduksjon til derivasjon er et godt utgangspunkt. Opplegget handler om både den første- og andrederiverte. Det er også mulig å bare jobbe med den førstederiverte (aktivitet 1 og 2). Opplegget legger vekt på at elevene bruker egne ord for å beskrive matematiske sammenhenger. De må resonnere og argumentere for løsninger. Til slutt blir de bedt om å skrive en oppsummerende tekst der de generaliserer sammenhengen mellom funksjonen og dens deriverte. Elevene arbeider i par på hver sin PC og med hvert sitt elevark. På den måten kan de diskutere underveis, samtidig som begge øver på å bruke GeoGebra og å notere ned matematiske observasjoner. Undervisningsopplegget inneholder relativt selvinstruerende oppgaver. Elevene skal være aktive i utforskingen av temaet. Still spørsmål som får elevene til å resonnere og diskutere underveis. Gode spørsmål: Hvorfor tror dere det er slik? Hva forventer dere? Hva mener dere om det? Hvordan ser grafen til `f(x)` ut når stigningstallet til tangentene er positive? Hvordan ser grafen til `f´(x)` ut der `f(x)` har et topp eller bunnpunkt? Aktivitet 1: Funksjonen Elevene starter med å tegne funksjonen `f(x) = x^(3) - x^(2) - 4x +4`. Så tegner de tangenten i et punkt på grafen og viser stigningstallet til tangenten. Deretter skal de tegne fortegnslinjer for graf og stigningen til tangenten, og sammenligne disse. Målet er at elevene skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og stigningstallet til tangenten. Kommentar til læreren Aktiviteten gir elevene øving i å veksle mellom representasjonene graf og fortegnslinje. GeoGebra gjør det lett å tegne grafer og tangenter og å finne ulike verdier, og elevene kan dermed fokusere på de matematiske sammenhengene. Elevene har ofte ulike innfallsvinkler til hvordan de jobber med en oppgave, og det er viktig at de engasjerer seg i hverandres resonneringer og diskuterer underveis. Gode spørsmål: Hvordan gjorde dere dette? Hvordan tenkte dere for å finne ut av det? På hvilken annen måte kunne dere finne ut av det? Aktivitet 2: Den deriverte I denne aktiviteten skal elevene undersøke stigningstallet til tangenten grundigere. Resultatene skal de sammenligne med grafen til funksjonen og grafen til den deriverte til funksjonen. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og grafen til stigningstallet, `g(x)`. De skal også komme fram til at grafen til `g(x)` er lik grafen til `f´(x)`. Kommentar til læreren Elevene skal lage en ny graf, `g(x)`, hvor de bruker stigningstallet til tangenten som y-verdi. De bør være nøyaktige når de lager skissen siden de etter hvert skal sammenligne den med grafen til den deriverte til `f(x)`, tegnet i GeoGebra. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale hvor elevene får presentere og diskutere de matematiske sammenhengene de har funnet. Vektlegg at grafen til den deriverte egentlig er en graf av stigningstallene til tangentene til `f(x)`. Aktivitet 3: Den andrederiverte Elevene skal tegne grafen og fortegnslinjen til den andrederiverte til `f(x)` i GeoGebra. De skal så sammenligne grafen til den andrederiverte med grafene til `f(x)` og den deriverte. Kommentar til læreren Elevene arbeider med den andrederiverte på samme måte som for den deriverte. Elevarket introduserer elevene for begrepet hul side. De blir bedt om å tegne grafen til `f(x)` i to koordinatsystemer, ett der `f´´(x)` er negativ og ett der `f´´(x)` er positiv. Erfaringsmessig er det lettere for elevene å forstå hva den hule side betyr når de splitter funksjonen i vendepunktet. Påpek sammenhengen med grafen til `f(x)`. Til slutt skal elevene oppsummere sammenhengene de har funnet mellom funksjonen og dens deriverte og andrederiverte med egne ord. Elevarket oppfordrer elevene til å bruke matematiske begreper som stigningstall, tangent, bunnpunkt med mer. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive matematikk med ord. Klassesamtaler hvor elevene viser fram og diskuterer eksempler på forklaringer kan bidra til at elevene utvider repertoaret sitt. Oppsummering En fin innfallsvinkel til å oppsummere alle aktivitetene kan være å be elevene forklare sammenhengene til noen andre enn samarbeidspartneren sin. Bruk så elevenes arbeid som utgangspunkt for en klassesamtale om funksjonen og de deriverte. Elevene kan fortsette med aktiviteten fra Mattelist for å øve på å sammenhengen mellom funksjonen, førstederivert og andrederivert. Utvidelse Det er mulig å tilpasse opplegget til elever som trenger større utfordringer. Eksempel 1 Gitt den deriverte funksjonen `h´(x) = 3x^(2) - 2x - 4` Skisser grafen til `h´(x)`. Hvordan vil funksjonen `h(x)` se ut? Skisser den i samme koordinatsystem som `h´(x)`. Eksempel 2 `k(x)` er en tredjegradsfunksjon. Dere får vite at `k´´(x) = -2x+3`. Skisser grafen til `k(x)`. Utfordre elevene til å lage oppgaver til hverandre.
Elevene skal utforske et tre som forgrener seg etter et gitt mønster. Mønsteret er et godt utgangspunkt for å undersøke ulike rekker og følger. Elevene skal så lage generelle uttrykk som viser sammenhengen. Til ett av uttrykkene bruker de GeoGebra som hjelp. Start med en klassesamtale slik at alle elevene forstår hvordan figuren er bygget opp. Aktivitet 1 Målet med aktiviteten er at elevene skal bli kjent med mønsteret og forsøke å lage et generelt uttrykk for sammenhengen. Oppgave fra elevark Figuren er laget slik at grenene deler seg i to. Hver nye gren er halvparten så lang som den foran. Tenk at dere lager uendelig mange grener. Fyll ut tabellen. Sammenlign løsningen deres med andre elevgrupper. Forklar hvordan dere har tenkt. Kommentar til læreren Elevene arbeider i par eller små grupper. Etter en stund skal de sammenligne resultatene med andre par/grupper og forklare hvordan de har tenkt. På den måten kan elevene sjekke egne resultater og unngå at for eksempel regnefeil ødelegger for det videre arbeidet. Det er ikke nødvendig at alle elevene har fylt ut hele tabellen før de sammenligner svarene og læreren inviterer til klassesamtale. De fleste elever vil finne antall nye grener, lengden til en av de nye grenene og total lengde av alle grenene til sammen, når antall steg er et bestemt tall. Når de skal finne lengden fra rot til tupp kan det være lurt å tegne figuren så det blir lettere visualisere. Hvis elever strever, kan de fylle ut tabellen kolonne for kolonne istedenfor rad for rad. Da kan de følge samme tankegangen fra steg til steg. I den siste raden skal elevene lage generelle uttrykk for steg n. Det vil være utfordrende for mange elever. Oppfordre de til å beskrive mønsteret med ord først så kan det bli lettere å lage et algebraisk uttrykk. Å finne uttrykket for total lengde fra rot til en tupp er det mest utfordrende. Det er ikke nødvendig at elevene finner et generelt uttrykk før de starter på aktivitet 2. Der skal de bruke GeoGebra som støtte til å lage et uttrykk for sammenhengen. Steg Antall nye grener Lengden til en av de nye grenene Total lengde til alle genene Total lengde fra rot til tupp 0 1 `1` `1` `1` 1 2 `(1)/(2)` `2` `1 + (1)/(2) = (3)/(2)` 2 4 `(1)/(4)` `3` `1 + (1)/(2) +(1)/(4) = (7)/(4)` 3 8 `(1)/(8)` `4` `1 +(1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8)` ... n `2^(n)` `(1)/(2^(n))` `n+1` Det finnes flere strategier for å komme fram til et generelt uttrykk for lengden fra rot til en tupp. Noen elever vil oppdage at lengden fra rot til tupp alltid er 2 minus lengden til den siste nye grenen, uten å sette opp regnestykker. Elever som løser oppgaven med strategi 2 bruker det de har lært om potenser. De ser at oppgaven handler om potenser av 2. Elever som løser oppgaven med strategi 3 legger sammen brøkene og betrakter mønsteret i teller og nevner hver for seg. Steg Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 0 2 minus lengden til den siste nye grenen 1 1 1 `1 + (1)/(2) = (3)/(2)= 2 - (1)/(2^(1))` `1 + (1)/(2) = (3)/(2) = (4-1)/(2) = ((2^(n)-1)/2^(1))` 2 `1 + (1)/(2) + (1)/(4) = (7)/(4) = 2 - (1)/4 = 2 - (1)/(2^(2)` `1 + (1)/(2) + (1)/(4) = (7)/(4) = (8 -1)/4 = (2^(3) - 1)/(2^(2)` 3 `1 + (1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8) = 2 - (1)/8 = 2 - (1)/(2^(3)` `1 + (1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) = (15)/(8) = (16 -1)/8 = (2^(4) - 1)/(2^(3)` ... n `2 - (1)/(2^(n))` `(2^(n + 1) - 1)/(2^(n))` Hvis alle strategiene blir brukt i klassen, er det en god anledning til å repetere potensreglene for å vise at uttrykkene er riktige. `(2^(n + 1) - 1)/(2^(n)) = 2^(n + 1)/(2^(n)) - 1/2^(n) = (2^(n)· 2)/(2^(n)) - 1/2^(n) = 2 - (1)/(2^(n))` Aktivitet 2 Målet med aktiviteten er å lage et generelt uttrykk for total lengde fra rot til tupp med hjelp av GeoGebra. Gi elevene oppgaven muntlig: Legg tallene fra Steg og fra Total lengde fra rot til tupp inn i regnearket i GeoGebra (steg 72 kan de utelate). Velg Lag liste med punkter. Lukk regnearket. Undersøk punktene i Grafikkfeltet. Lag en funksjon som passer til punktene. Kommentar til læreren Elevene er vant til å finne formler ved hjelp av regresjon i GeoGebra, men til denne oppgaven passer ingen av de forhåndsdefinerte funksjonene. I stedet skal elevene bruke de dynamiske egenskapene til GeoGebra som støtte når de resonnere seg fram til riktig uttrykk. Aktiviteten vil derfor også passe for elever som allerede har funnet det generelle uttrykket. På bildet er det tatt utgangspunkt i f(x) = 2x. Elevene kan observere at grafen har en form som ligner, men at den har feil retning. Bildet viser mulige tilnærminger. Grafen h(x) har riktig form, men ligger for lavt i forhold til punktene. Elevene vet at ved å endre konstantantleddet kan de endre hvor grafen skjærer y-aksen. Hvis de lager en glider, kan de flytte grafen opp og ned langs y-aksen. Gode spørsmål: Har dere sett en type graf som kan passe til punktene? Hvilke typer funksjoner går alltid gjennom punktet (0,1)? Tegn inn funksjonen `f(x) = 2^(x)` Hvordan passer den til punktene? Hvordan kan dere endre funksjonsuttrykket slik at grafen «bøyer seg» en annen vei? Hvordan kan dere flytte grafen langs y-aksen? Kan en glider hjelpe dere? Noen elever synes at det vanskelig å finne generelle formler. GeoGebra kan gi disse elevene god støtte i arbeidet. I denne aktiviteten kan ikke elevene bruke en av de forhåndsdefinerte funksjonene i regresjonsanalysen, men de må bruke kunnskapene de har om funksjoner. Vis fram ulike fremgangsmåter og drøft uttrykkene elevene har funnet i en klassesamtale. Oppfordre elevene til å sette ord på hvilke matematiske egenskaper de har brukt for å komme fram til et uttrykk som passer til punktene. Aktivitet 3 Be elevene undersøke hva som skjer med grafen når n blir uendelig stor. Hvor langt blir det fra rot til tupp? Utfordre dem til å vise det på flere måter. Kommentar til læreren Observer hvilke metoder elevene bruker. Når elevene har funnet flere ulike løsninger, kan gruppene få vise fram og forklare hvordan de har tenkt. Det er viktig å få fram at det finnes mange muligheter for å finne en løsning på denne utfordringen. Elevene kan da oppdage at ulike kompetansemål henger sammen. For mange elever vil dette gi en aha-opplevelse som kan bidra til dybdelæring. Grafisk løsning Tegn grafen til uttrykket og velg Asymptote. Summen nærmer seg 2 hvis n blir uendelig stor. Grenseverdi ved regning: Dette er en god repetisjon av algebra. Utfordringen er å omforme 2n+1 slik at elevene kan forenkle brøken. `lim_(n->oo)(2^(n+1)-1)/(2^(n)) = lim_(n->oo) ((2^(n+1))/2^(n) - (1)/(2^(n))) = lim_(n->oo) ((2·2^(n))/2^(n) - (1)/(2^(n))) = 2 - lim_(n->oo) (1)/2^(n) = 2` Grenseverdi som sum av en uendelig geometrisk rekke Lengden øker slik: `1 + (1)/(2) +(1)/(4) + (1)/(8) +(1)/(16)...` Den totale lengden er en geometrisk rekke hvor `k = (1)/(2)` og `a_(1) = 1`. `s = (a_(1))/(1-k) = (1)/(1- (1)/(2))= 2`
I dette opplegget skal elevene undersøke den momentane vekstfarten til polynomfunksjoner og etter hvert bli kjent med begrepet derivasjon. Begrepene momentan vekstfart i punktet og stigningstallet til tangenten i punktet er sentrale. Bruk begrepene hyppig i samtale med elevene. Målet er at de til slutt vet at derivasjon faktisk er å finne momentan vekstfart til en funksjon i et punkt, at vekstfarten representeres ved stigningstallet til tangenten i punktet, og at det er denne vekstfarten vi kaller den deriverte til funksjonen i punktet. De skal ikke bare assosiere derivasjon med derivasjonsreglene de etter hvert lærer. Merk at vi ikke innfører selve ordet derivasjon før elevene har arbeidet med opplegget en god stund. Elevene skal oppdage mønstrene selv. Nesten alle tabellene har tomme rader hvor elevene kan velge egne x-verdier eller funksjoner. Når elevene tror de har funnet et mønster, kan de selv teste om det stemmer for andre tilfeller. Hvis mønsteret elevene har funnet er feil, kan samme metode avsløre at noe ikke stemmer, og at de må studere problemet på nytt. Utfordre elevene til å prøve seg frem. Mens de arbeider, har læreren mulighet til å gå rundt og observere og snakke med dem. Prøv å oppmuntre elevene, og sett dem på sporet uten å gi dem løsningene. Det er fornuftig å ta noen stopp underveis der klassen snakker sammen om det de arbeider med, og det de har kommet frem til. Hvis læreren ønsker at noen elever skal presentere egne løsninger for klassen, er det lurt å avtale dette på forhånd. Aktivitet 1 Elevene starter med aktivitet 1 på elevarket. De skal tegne polynomfunksjoner i GeoGebra og undersøke stigningstallet til tangenten i gitte punkter. Målet er at de skal finne et mønster for stigningstallet til tangentene. For alle funksjonene gjelder følgende: Lag en ny fil i GeoGebra til hver funksjon. Lag et punkt på grafen og tegn tangenten til grafen i punktet. Tips: Verktøyet Stigning viser stigningstallet til tangenten. Dra i punktet for å finne stigningstallet til tangenten i gitte punkter. Noter i skjemaet. Kan du gjette hva stigningstallet til tangenten vil bli i et annet punkt på grafen? Skriv det du gjetter i skjemaet og kontroller etterpå i GeoGebra. Kommentarer til læreren La elevene arbeide i eget tempo og oppsummer i helklasse etterpå. Hvilke mønster har elevene funnet? Hvordan har de beskrevet mønstrene? Har de brukt ord, symboler eller kanskje en tegning? Skriv opp forslagene på tavla. Diskuter likheter og ulikheter. For eksempel er «Jeg dobler x’en» eller «2x» to representasjoner av samme uttrykk. I begynnelsen bruker elevene ofte begge representasjonene, men etter hvert vil nok de fleste synes det enklest å beskrive mønsteret med et algebraisk uttrykk. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene sammenligne utvalgte funksjoner. Målet er at de skal finne ut hvordan små endringer i funksjonsuttrykket påvirker stigningstallet til tangenten. Kommentarer til læreren Elevene tegner tre og tre funksjoner i samme GeoGebra-fil. Bruk god tid til å sammenligne uttrykkene, grafene og stigningstallene. Hva er likt, og hva er forskjellig? Hva er mønsteret? Hvordan kan elevene uttrykke det, både med ord og algebraisk? Finnes det flere funksjoner som følger samme mønster? Andre spørsmål: Hvorfor får tangentene til `a(x)=x^(2)` og `c(x)=x^(2) + 3` samme stigingstall i samme x-verdi? Hvorfor må stigningstallet til tangentene til `a(x)=x^(2), j(x)=x^(3)` og `k(x) = x^(4)` være forskjellig ved samme x-verdi? Hva må regelen være når vi har funksjoner med flere ledd? Aktivitet 3 Aktiviteten starter med en helklassesamtale hvor læreren introduserer begrepet derivasjon og skrivemåten med den lille «apostrofen». Når vi deriverer en funksjon, får vi en ny funksjon som gir oss momentan vekstfart (tangentens stigningstall) i et hvilket som helst punkt på grafen. Til slutt skal elevene generalisere reglene for derivasjon. Kommentarer til læreren Elevene skal først skrive ned mønstrene fra aktivitet 1 og 2. Utfordre dem til å bruke algebraiske uttrykk. Så skal elevene prøve å finne en generell regel for derivasjon av polynomer ved å undersøke polynomer av høyere grad enn i de to første aktivitetene. For mange elever er det motiverende å finne mønsteret på egen hånd. La de gjerne teste funksjoner de velger selv også. Etter at regelen `q(x)=x^n` gir `q'(x)=nx^(n-1)` er etablert, er det nyttig å se spesielt på tilfellene der eksponenten er 1 og 0. Til slutt skal elevene forklare hva derivasjon er med ord. En mulig elevforklaring kan være at derivasjon gir oss den momentane vekstfarten (tangentens stigningstall) i et hvilket som helst punkt på grafen. Eller de kan skrive at den deriverte til et polynom vil være en grad lavere. Det forklarer hvorfor to funksjoner har den samme deriverte hvis bare konstantleddet er forskjellig. Oppsummering Elevene har fått varierte erfaringer med vekstfart og derivasjon. Bruk elevenes beskrivelse av derivasjon som utgangspunkt for å snakke om hva derivasjon er. De har også funnet en generell regel som gjør at de kan derivere alle polynomfunksjoner. I oppsummeringen er det viktig å vektlegge sammenhengen mellom momentan vekstfart til en funksjon i et punkt, stigningstallet til tangenten i punktet og den deriverte i punktet. Test elevenes forståelse ved å be de finne den momentane vekstfarten til forskjellige funksjoner ved en gitt x-verdi. Oppfordre elevene til å bruke metoden fra dette opplegget når de senere skal derivere ulike funksjoner. Da kan de sjekke at reglene stemmer. Uttrykkene for den deriverte gir elevene mulighet til å regne ut den momentane vekstfarten til en funksjon i et hvilket som helst punkt.
Aktivitet 1 Følgende ord vises for elevene: vektor, skalar og produkt. Elevene jobber individuelt i 2-3 minutter. De skal notere ned forklaringer på ordene uten å bruke hjelpemidler. I en felles klassesamtale noterer læreren alle ord og uttrykk som blir nevnt på tavla. På forhånd bør hun ha forberedt en oversikt over hvilke ord og uttrykk hun forventer at elevene kommer med og laget en plan for hvordan hun vil sortere dem. Mulige elevsvar: Skalar: tall, det vanlige Produkt: multiplikasjon, faktorer, gangetabellen, ganging Vektor: lengde, retning, kraft, fysikk, [1,2], `((1),(2)), <1,2>, veca` Deretter presenterer læreren læringsmålet for timen ved å notere følgende på tavla: Skalarprodukt vektor · vektor = skalar Kommentarer til læreren Undervisningen starter med noe som er kjent, noe som hjelper elevene med å sette det nye i sammenheng med det de kan fra før. Læreren kan gjerne tipse elevene om at ordet skalarprodukt består av to deler. De kjenner ikke til ordet skalarprodukt, men de kjenner til delene, skalar og produkt. Til slutt kan læreren skrive læringsmålet vektor · vektor = skalar og overskriften skalarprodukt på tavla. Målet for timen er å få en forståelse for hva skalarproduktet egentlig er, ikke bare hvordan de regner det ut. Skalarprodukt blir også kalt for prikkprodukt (dot product). Aktivitet 2 Læreren skriver ned følgende uttrykk på tavla, gjerne på forhånd: `[3,4] · [5,7] = 43 ` `[2,6] · [4,4] = 32` `[8, -4] · [5,9] = 4 ` `[2,2] · [-12,5] = -14 ` Elevenes oppgave blir å finne ut hvordan de skal regne ut svaret for å få riktig resultat. De diskuterer fremgangsmåten i par. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 72 - 20 +36 = -16 ` Elevene tester regler som de kan fra før. Her bruker de regelen om multiplikasjon av to parenteser. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 72 + 20 +36 = 24 ` Noen prøver å endre operasjonstegn for å tilpasse svaret. `[8,-4] · [5,9] = 40 - 36 = 4 ` Riktig svar Når elevene mener at de har funnet riktig regneregel, kan læreren gi flere oppgaver slik at elevene kan teste om regelen fortsatt stemmer. Læreren kan utfordre elevene til å formulere en regel for å beregne skalarproduktet med ord og algebraisk. Under læringsmålet kan læreren nå føye til at klassen har funnet en måte beregne skalarproduktet på. Det er viktig å framheve at skalarproduktet er et vanlig tall. Det er ikke selvsagt for elevene. Et mulig svar kan være: Vi finner skalarprodukt ved å multiplisere førstekoordinatene og addere produktet av andrekoordinatene: `[a,b] · [c,d] = ac + bd ` Kommentarer til læreren I denne aktiviteten finner elevene først ut hvordan de regner ut skalarproduktet av to vektorer. Læreren skal ikke forklare fremgangsmåten på forhånd, men la elevene finne ut av det selv. Erfaring tilsier at elevene finner regneregelen ganske fort. For å være helt sikker på at alle får den tida de trenger til å prøve og feile, er det lurt å ha en del ekstraoppgaver tilgjengelig. Da har alle elevene noe å gjøre enten de regner raskt eller ikke. Det er ikke nødvendig at alle elevene løser alle oppgavene. Etter at elevene har løst oppgaver og diskutert, skal klassen sammenfatte hvordan de regner ut skalarproduktet. Læreren skriver opp regnemåten med ord og med formel. Bruk begrepene skalarprodukt, vektor og skalar i klassesamtalen. Vær nøye med å notere fremgangsmåten slik elevene vil ha det, uansett om det virker litt kronglete. Det er viktig at elevene øver seg på å formulere matematiske sammenhenger med ord. Aktivitet 3 På tavla står følgende: `[ , ] · [ , ] = 0 ` Oppgaven til elevene er å finne eksempler som gjør at påstanden blir sann. Det er en fordel at de jobber i par. Etter en stund samles eksemplene til elevene på tavla. Kommentarer til læreren Gi elevene nok tid til å finne mange eksempler. Elevene tilpasser arbeidet til egne kunnskaper og ferdigheter og eksemplene vil derfor få ulik vanskelighetsgrad. Læreren kan gjerne utfordre elever til å finne to vektorer med ulike tall som har skalarprodukt 0. I oppsummeringen skal elevene vise fram eksemplene sine og prøve å finne sammenhenger. Noter eksemplene i rekkefølgen de blir nevnt i. Mulige eksempler fra elevene: a) `[4 ,2] · [5 ,-10] = 0 ` b) `[2 ,2] · [2 ,-2] = 0 ` c) `[2 ,4] · [6 ,-3] = 0 ` d) `[3 ,4] · [-4 ,3] = 0 ` Svar b) er matematisk sett det enkleste, to like tall og ett minustegn. En rundgang i klasserommet viser derimot at svar av typen d) gjerne forekommer hyppigst. I svar av typen a) og c) har elevene antagelig valgt en annen strategi. De har valgt ett tall og så har de funnet frem til to multiplikasjoner med det valgte tallet som produkt. Elevene vil ganske raskt oppdage at det er nødvendig med negative tall. Kan det være flere negative tall? Lærerens oppgave er å vise sammenhengen mellom de ulike løsningene. For eksempel at `[6 ,8] · [-4, 3] = 2[3 ,4] · [-4, 3] = 0` og `[4 ,2] · [5, -10] = 2[2 ,1] · 5[1, -2] = 0` er variasjoner av type d). Aktivitet 4 Elevene arbeider på papir. De velger et regnestykke fra aktivitet 3 og tegner vektorene som hører til i et koordinatsystem. Gi gjerne et startpunkt slik at elevene ikke tegner alle vektorer i origo. Så skal elevene bruke linjal og forlenge vektorene til linjene skjærer hverandre. Be dem å gjøre det samme med flere eksempler. Målet er at elevene oppdager at hvis skalarproduktet er 0, står vektorene vinkelrett på hverandre. Læreren bruker elevenes eksempler som utgangspunkt for klassesamtalen. Kommentarer til læreren Noen elever blander sammen punkt og vektor. De tegner en vektor mellom to punkter i stedet for å tegne to vektorer. Det vil si at de blander sammen [ , ] med ( , ). For eksempel tegner elevene ofte [4 ,2] · [5 ,-10] som vektor mellom punkt (4, 2) og punkt (5, -10). Repeter gjerne forskjellen på de to skrivemåtene før elevene starter. Aktivitet 5 I aktivitet 4 har elevene oppdaget at vektorene står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet er 0. Nå skal de undersøke om setningen også gjelder motsatt vei. Det vil si at hvis to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet 0. Deretter skal elevene undersøke når skalarproduktet blir positivt og negativt. Til slutt blir elevene introdusert for en annen definisjon av skalarproduktet. Oppgaven blir å finne sammenhengen mellom de to uttrykkene for skalarproduktet. Elevene kan gjerne arbeide i par, men det er viktig at alle bruker GeoGebra og at de skriver på hvert sitt elevark. La elevene jobbe i eget tempo. Det er ikke nødvendig at elevene har løst alle oppgavene før klassen begynner med oppsummeringen. Oppgave 1 Tegn tre vektorer med ulik lengde på hver av de to linjene og gi dem navnet `veca, vecb...` Noter vektorene med vektorkoordinater i tabellen. Velg én vektor fra hver av linjene og regn ut skalarproduktet. Lag minst fire eksempler. Noter dine matematiske observasjoner. Oppgave 2 Lag en figur som tilsvarer denne figuren i GeoGebra. Tallene dine vil være forskjellige fra tallene på bildet. Undersøk hvordan skalarproduktet endrer seg når du endrer vinkelen mellom vektorene. Bruk matematiske begreper når du noterer observasjonene dine. Oppgave 3 Formelen for skalarprodukt blir ofte oppgitt slik: `vecu · vecv = |vecu| · |vecv| · cos alpha` der `alpha`er den minste vinkelen mellom de to vektorene. Forklar formelen med ord. Hvorfor blir skalarproduktet 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre? Ta utgangspunkt i formelen og skriv ned din matematiske tankerekke. Oppgave 4 Nå skal du utforske sammenhengen mellom formelen `vecu · vecv = |vecu| · |vecv| · cos alpha` og det du har lært om skalarprodukt så langt. Lag tegningen i GeoGebra. Bruk samme punkter. Bruk vektorkoordinatene til å regne ut `vec(AC) · vec(CB)` og `vec(AC) · vec(CD)` Bruk navnet til vektorene og gjør de samme beregningene i Algebrafeltet. Dra svarene inn i Grafikkfeltet. Tips: Det er lettere å holde oversikt om du endrer navnene til uw og uv. Bruk navnet til vektorene og regn ut `|vec(AC)| · |vec(CD)| · cos alpha`. Gi svaret navnet uwcos og dra uttrykket inn i Grafikkfeltet. Dra i figuren for å se om sammenhengen som du har funnet alltid stemmer. Bruk matematiske begreper til å forklare hvorfor alle utregningene gir det samme svaret. Kommentarer til læreren La elevene arbeide i eget tempo. Det er ikke nødvendig at alle kommer helt i mål før oppsummeringen. I aktivitet 4 fant elevene ut at vektorene står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet er 0. I oppgave 1 utforsker elevene den motsatte sammenhengen. Altså hvis to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet 0. Det er viktig å poengtere at akkurat denne setningen gjelder begge veier, men at det ikke er slik for alle matematiske sammenhenger. I oppgave 2 skal elevene bruke GeoGebra til å utforske verdien til skalarproduktet. Observasjonene skriver de ned på elevarket. Læreren går rundt i klasserommet for å se hvordan elevene formulerer svarene sine. På den måten kan hun bestemme en hensiktsmessig rekkefølge for presentasjonen av elevenes svar og begrunnelser. I oppgave 3 blir elevene presentert for formelen for skalarproduktet. Først blir de bedt om å forklare formelen med ord, altså hva formelen sier at de skal gjøre for å regne ut skalarproduktet. Så må elevene bruke trigonometri til å forklare hvorfor skalarproduktet er 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre. Elevene lærte om trigonometriske sammenhenger i 1T. Målet med oppgave 4 er å forklare hvorfor tre forskjellige utregninger kan gi det samme svaret. Oppgaven er omfattende og trenger en god oppsummering. Elevene starter med å tegne en gitt figur i GeoGebra. De bruker det som de har lært for å beregne skalarproduktet på papir. Etterpå gjør elevene de samme beregninger i Algebrafeltet. Elevene vil oppdage at de tre regnestykkene gir samme verdi, uansett om de drar i figuren. At u×v og u×w gir det samme resultatet strider mot elevenes erfaringer fra multiplikasjon. De ser at jo at vektor w er lengre enn vektor v, noe som også skulle tilsi at skalarproduktet blir større. Ved å bruke kunnskap fra 1T om at `|vecv| = |vecw| · cos alpha` kan elevene vise sammenhengen mellom de to uttrykkene for skalarproduktet. Dette er en god anledning til å diskutere hva det betyr at vektorer har både lengde og retning. Måten vektorene er tegnet på viser sammenhengen `|vecv| = |vecw| · cos alpha` tydelig. Projeksjonen av vektor w på samme linje som vektor u henger da sammen med oppdagelsen av at skalarproduktet er størst når vektorene peker i samme retning, altså når α er 0˚ (cos 0˚ = 1). Og at skalarproduktet er 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre, altså når α er 90˚ (cos 90˚ = 0) Under oppsummeringen er det en fordel at læreren kan vise fram og arbeide med figuren. Gi skalarproduktene navn etter vektorene som er brukt i utregningen. For eksempel uv som navn for skalarproduktet u∙v. Oppsummeringen bør vektlegge at: En vektor er bestemt ved både lengde og retning. Koordinatformen viser både lengden og retningen til vektoren. Skalarproduktet blir 0 når vinkelen mellom vektorene er 90°, altså når vektorene står vinkelrett på hverandre. Skalarproduktet blir størst når vektorene peker i samme retning. Fordelene og ulempene ved de ulike formlene Som avslutning kan elevene bevise at sammenhengen mellom formlene gjelder når to vektorer peker i samme retning, altså når α er 0˚. Forslag til bevis Vi har to vektorer `vecu = [a,b]` og `vecv = [c,d]`. Skalarproduktet til vektorene er `vecu · vecv = ac + bd`. Siden vektorene skal peke i samme retning, men kan ha ulik lengde, kan vi skrive `vecv = [c,d] = [na,nb]`. `vecu · vecv = |vecu||vecv| cos alpha` = |[a, b]| |[na,nb]| cos 0°` = `(sqrt(a^(2)+b^(2))) (sqrt((na)^(2)+(nb)^(2))) · 1` = `sqrt((a^(2)+b^(2))(n^2a^(2)+n^2b^(2))` = `sqrt((a^(2)+b^(2))(a^(2)+b^(2))n^2 ` = `(a^(2)+b^(2))n` = `a(na)+b(nb)` = `ac + bd`
Ingen beskrivelse
Om prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Elevene skal bruke GeoGebra for å trene på algoritmisk tenking i arbeidet med rette linjer. Algoritmisk tenking handler om å dele opp en utfordring og løse hver del systematisk. Det er sentralt når elevene skal utvikle egne strategier og fremgangsmåter i matematikk. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Vi har valgt å dele inn undervisningsopplegget i to deler. I Algoritmisk tekning med GeoGebra 1 har Matematikksenteret valgt å dra nytte av samarbeidet vi har med Kikora. Oppgavene er tilpasset Kikora sin plattform slik at elevene får umiddelbar tilbakemelding underveis i arbeidet. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 starter elevene arbeidet med blanke ark i GeoGebra. De må arbeide uten støtten fra de trinnvise instruksjonene i Kikora. Undervisningsopplegget er en del av et internasjonalt prosjekt. Derfor ønsker vi tilbakemeldinger fra dere som bruker undervisningsopplegget med elever. Hvordan arbeidet elevene med oppgavene? Hvor lenge arbeidet de konsentrert? Hvilken aktivitet var mest utfordrende for elevene? Send tilbakemeldinger til kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra. Introduksjon Undervisningsopplegget er en videreføring av Algoritmisk tenking med GeoGebra 1, men kan også brukes uavhengig. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 1 fikk elevene støtte av de trinnvise instruksjonene i Kikora. Mange elever vil oppleve de matematiske utfordringene som mer krevende når de skal begynne med blanke ark i GeoGebra. Det er viktig at elevene bruker elevarket aktivt underveis, laster ned GeoGebra-filene og tar bilder av arbeidet i GeoGebra. Vi anbefaler at de har elevarket digitalt. Da kan de skrive inn tekst og lime inn bilder ved hjelp av Utklippsverktøy. Hvis elevene skal ha elevarket på papir, må størrelsen på svarboksene justeres før utskrift. Opplegget starter med en innføring i ettpunktsformelen. Videre oppdager elevene at de ved å tegne mange tangenter, kan få et bilde av grafen. Til slutt blir de kjent med en metode for å nærme seg nullpunkter ved hjelp av tangenter (Newton-Raphsons metode). Aktivitet 1: Ettpunktsformelen Oppgaver på elevarket Tegn funksjonen `g(x)= -(3)/(4)x`. Lag punktet A = (2, 3). Bruk formelen y = a(x-x1) + y1 for å tegne en linje som er parallell med g(x) og går gjennom A. Gjør det samme for B = (-4, 1). Lag et uttrykk for stigningstallet a til en rett linje gjennom to punkt. Forklar sammenhengen mellom uttrykket og ettpunktsformelen. Kommentarer til læreren Elevene skal lage parallelle linjer som står gjennom gitte punkter. Formelen er gitt og de fleste elevene vil forstå at de må sette inn koordinatene til punktet i formelen. Utfordre elevene til å forklare hvorfor linjene blir parallelle. Legg også merke til at GeoGebra gir linjene navn automatisk. Hvis elevene vil gi en linje navnet h, må de skrive h: y = …. . Den siste oppgaven viser sammenhengen mellom stigningstall og ettpunktsformelen. Når elevene lager et uttrykk for a, vil de se at det er en omskriving av ettpunktsformelen. Hjelp elevene med å forstå hvorfor de kan erstatte y2 med y og x2 med x. Det vil gjøre det lettere for dem å forstå operasjonstegnene i formelen. Aktivitet 2: Tangenter til f(x) = x2 Oppgaver på elevarket Tegn parabelen `f(x)=x^(2)` Lag punkt P=(p,p2) Lag et uttrykk for tangenten i P og skriv det inn i GeoGebra. Test om tangenten følger med når du beveger P. Sett sporing på tangenten og animer glider p. Bruk kommandoen Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>) for å tegne mange tangenter. Du må bruke variabelen p når du lager uttrykket for tangenten. Varier intervall og trinnlengde for å få et bilde som ligner det over. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene tegne mange tangenter til en parabel på to ulike måter, med Vis spor og Følge. Ved å tegne mange tangenter vil de få et godt bilde av hvordan parabelen ser ut. Tips gjerne elevene om å skjule funksjonen. Da vil det bli enda tydeligere at tangentene gir formen til parabelen. De starter med å lage en tangent til parabelen i et gitt punkt, Be elevene om å se på aktivitet 1 dersom de trenger hjelp til dette. Først lager de mange tangenter ved å bruke Vis spor. Deretter lager elevene lage mange tangenter ved å bruke Følge-kommandoen: Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>). Denne kommandoen er antakeligvis ukjent for elevene derfor er det viktig at de blir kjent med hvordan den fungerer. Hva skjer om de endrer trinnlengden? Hva skjer om de endrer start- eller sluttpunktet? Elevene må bruke variabelen p når de lager et uttrykk for tangenten til parabelen. Vanligvis ville vi kalt p for en parameter, men her bruker vi variabel for å følge GeoGebra sin terminologi. Forslag til uttrykk for tangenten: y = f’(p)(x-p) + p2 y = f’(p)(x-p) + f(p) f’(p)(x-p) + p2 f’(p)(x-p) + f(p) Eksempel på løsning i GeoGebra: Følge(y = f’(p)(x-p) + p2, p, -20, 20, 0.5) Hvis GeoGebra ikke vil tegne tangentene, har elevene antakeligvis brukt t(x) eller lignende i uttrykket. Følge-kommandoen forstår ikke den skrivemåten. Når elevene skal skrive inn lange kommandoer, er det lurt at de utvider Algebrafeltet slik at de ser hele kommandoen. Det gjør det lettere å holde oversikten og å oppdage feil. Aktivitet 3: Tangenter til f(x) = ax2 + bx + c Oppgaver på elevarket Tegn en tangent til f(x)=ax2+bx+c i punkt P = (p, f(p)). Linjen skal være en tangent selv om du endrer verdiene til a, b, c og p. Bruk Følge-kommandoen for å tegne mange tangenter til parabelen. Kommentarer til læreren Aktiviteten er en fortsettelse av aktivitet 2. Elevene skal bruke variabler (parametere) for å definere funksjonen. Det gir mulighet til å utforske mer. Mange elever vil bli overrasket over at uttrykket for tangenten ikke endrer seg selv om funksjonen er gitt av a, b og c. Det gir en god mulighet til å diskutere fordelene ved å bruke algebra. Eksempel på løsning i GeoGebra: Følge(y = f’(p)(x-p) +f(p), p, -10, 10, 0.2) Aktivitet 4: Tangenter til andre grafer Oppgaver på elevarket Nå skal du selv velge en funksjon. Tegn funksjonen. Tegn én tangent til funksjonen din. Tegn mange tangenter. Noter hva du har regnet ut og hva du har skrevet i GeoGebra. Lim inn bilder av løsningen din i elevarket. Kommentarer til læreren Aktivitet 1-3 har gitt elevene erfaringer som de kan dra nytte av når de skal lage mange tangenter til en valgt funksjon. De har sett at de kan skrive uttrykket for tangenten på samme måte uansett hvor komplisert funksjonen er, og slike erfaringer kan føre til dypere forståelse for funksjoner og tangenter. Ved å bruke skrivemåtene f(x) og f’(x) i GeoGebra, reduserer elevene sannsynligheten for skrivefeil. Det gir også mulighet til å utforske mer avanserte funksjoner. Minn elevene på å gjøre gode notater underveis i arbeidet. Notatene skal gjøre det mulig for andre å gjenta det elevene har gjort. Elevene vil ha bruk for det senere, ikke minst med tanke på digital eksamen i matematikk. Aktivitet 5: Nullpunkt med tangenter Oppgaver på elevarket Med Newton-Raphsons metode kan du nærme deg nullpunkter ved hjelp av tangenter. Studer tegningen. Forklar med dine egne ord hvordan metoden fungerer. Lag deg en andregradsfunksjon som har to nullpunkter. Bruk metoden for å finne en tilnærming til nullpunktene til funksjonen. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene undersøke en tegning som viser hvordan Newton-Raphsons metode fungerer. De vil oppdage at metoden går ut på å lage tangenter til funksjonen, og deretter bruke nullpunktet til tangentene for å finne en tilnærming til funksjonens nullpunkt. Læreren må på forhånd bestemme om elevene kan bruke alle kommandoer, eller om de for eksempel bare får bruke CAS. Når de mener at de har funnet en god tilnærming, kan de sammenligne den med nullpunktet til funksjonen. De fleste elevene vil finne en tilnærming til det første nullpunktet uten store utfordringer. Men hvordan skal de finne en tilnærming til det andre nullpunktet? Hvordan påvirker valg av startpunkt resultatet? Elevene vil oppdage at resultatet er avhengig av om de velger startpunkt til høyre eller venstre for x-verdien til ekstremalpunktet. Hvorfor blir den første tilnærmingen dårlig hvis de velger startpunkt nær x-verdien til ekstremalpunktet? Og hva skjer om de velger startverdi nøyaktig lik x-verdien til ekstremalpunktet? Hvorfor blir det slik? I GeoGebra er det lett å gjøre justeringer underveis. Elevene kan endre funksjonsuttrykk og startpunkt med noen få tastetrykk. Oppfordre elevene til å utforske metoden, gjerne ved å undersøke andre typer funksjoner. Hvorfor fungerer metoden? Finnes det funksjoner metoden ikke fungerer på? Hvilke egenskaper må funksjonen ha for at metoden skal fungere? Oppsummer elevenes resultater i helklasse. Eksempel på løsning med Algebrafelt: Eksempel på løsning med CAS: Avslutning I dette undervisningsopplegget har elevene fått varierte erfaringer med tangenter. Ved å bruke skrivemåter som f(p) og P = (p, f(p)), blir det lettere for elevene å fokusere på de matematiske sammenhengene. I tillegg unngår de å bruke mye tid på å skrive lange, kompliserte uttrykk (og å rette opp skrivefeil som ofte følger med). Elevene har sett hvordan tangenter kan vise formen til tilhørende funksjon og at de kan gi en tilnærming til funksjonens nullpunkt. Utforskingen av Newton-Raphsons metode gir innblikk i både matematiske sammenhenger og matematikkens historie. Den viser hvor mye regning som må til for å finne en tilnærming til et nullpunkt. Slike beregninger er utgangspunktet for programmering av bl.a. GeoGebra.
Om prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Elevene skal bruke GeoGebra for å trene på algoritmisk tenking i arbeidet med rette linjer. Algoritmisk tenking handler om å dele opp en utfordring og løse hver del systematisk. Det er sentralt når elevene skal utvikle egne strategier og fremgangsmåter i matematikk. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Vi har valgt å dele inn undervisningsopplegget i to deler. I Algoritmisk tekning med GeoGebra 1 har Matematikksenteret valgt å dra nytte av samarbeidet vi har med Kikora. Oppgavene er tilpasset Kikora sin plattform slik at elevene får umiddelbar tilbakemelding underveis i arbeidet. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 starter elevene arbeidet med blanke ark i GeoGebra. De må arbeide uten støtten fra de trinnvise instruksjonene i Kikora. Undervisningsopplegget er en del av et internasjonalt prosjekt. Derfor ønsker vi tilbakemeldinger fra dere som bruker undervisningsopplegget med elever. Hvordan arbeidet elevene med oppgavene? Hvor lenge arbeidet de konsentrert? Hvilken aktivitet var mest utfordrende for elevene? Send tilbakemeldinger til kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra. Introduksjon I dette undervisningsopplegget skal elevene finne algoritmene som ligger bak verktøytastene i GeoGebra. Elevene skal først bruke et verktøy for å se hvordan det fungerer og deretter lage uttrykkene som gir ønsket resultat. Elevene arbeider på hver sin PC i par eller små grupper. De har hvert sitt elevark som de fyller ut underveis. Det er enklest for elevene å holde oversikten om de får elevarket på papir. Mange av oppgavene tar utgangspunkt i formelen for lineære funksjoner, y = ax + b. Elevene må være kjent med hvordan de finner stigningstallet og konstantleddet når to punkter er gitt. For å finne stigningstallet bruker de x- og y-koordinatene. For å finne konstantleddet bruker de stigningstallet og koordinatene til et punkt som ligger på linjen. Elevene må også kjenne skrivemåten x(A) som gir x-koordinaten til punkt A og tilsvarende. Det kan de lære om i Lær GeoGebra: Funksjoner 2. I de tre første oppgaverekkene bruker elevene skrivemåten for linjer, y = ax + b og ikke funksjoner f(x) = ax + b. Årsaken er at det fungerer bedre i GeoGebra. For en del elever vil det også være lettere å se sammenhengen mellom punkter og uttrykk med denne skrivemåten. For å skille linjene fra hverandre, må elevene gi dem navn, g: y = ax + b. Skrivemåten blir forklart, men minn de om det ved behov. I oppgaverekke 4 bruker elevene skrivemåten for funksjoner. Hvis elevene har mange objekter av en type, kan Algebrafeltet bli uoversiktlig. Da kan de krympe en objekttype ved å trykke på streken foran navnet på objekttypen. Det er nyttig når elevene ikke trenger å se alle objektene i Algebrafeltet, men fungerer bare når objektene er sortert etter objekttype. De fleste oppgavene slutter med at elevene skal bevege figuren. Ved å utnytte de dynamiske mulighetene i GeoGebra, kan elevene avgjøre om det de har gjort gjelder alltid, noen ganger eller aldri. Aktivitet 1: Linje gjennom to punkter Elevene skal gjøre oppgaverekke 1 i Kikora (oppgave 1.1 – 1.4). Målet med oppgavene er at elevene skal finne uttrykket for en linje gjennom to vilkårlige punkt. I den første oppgaven er alle verktøy tilgjengelige. Elevene noterer uttrykket til linjen på elevarket. Det er dette uttrykket elevene vil komme fram til når de regner ut stigningstallet og konstantleddet med tallverdiene til x- og y-koordinatene. Elevene vil oppdage at punkter og linje henger sammen om de bruker x(A), y(A), x(B) og y(B). Men når punktene A og B har samme x-koordinat, forsvinner linjen. For å unngå dette, må elevene bruke GeoGebra-kommandoer som minner om programmering. Kommandoen Dersom( <Vilkår>, <Så>, <Ellers> ) sørger for at linjen alltid er synlig. Elevene vil også ha bruk for kommandoen senere i opplegget. Kommentar til læreren Innholdet i disse oppgavene er sentralt i arbeidet videre så bruk god tid. Elevene skal bruke x(A), y(A), x(B) og y(B) i uttrykkene sine for å få objektene til å henge sammen. Notasjonen x(A) betyr at GeoGebra skal bruke verdien til x-koordinaten til punkt A. Hvis elevene beveger på punkt A, bruker GeoGebra den nye verdien. Tilsvarende for y(A), x(B) og y(B). Denne notasjonen er nyttig i dette opplegget og i mange andre sammenhenger. Legg vekt på at i kommandoen Dersom( <Vilkår>, <Så>, <Ellers> ) skriver elevene unntaket først og det generelle til slutt. Det er ikke alle elever som forstår hvorfor linjen blir borte når A og B har samme x-koordinat. Be elevene om å sjekke uttrykket for stigningstallet. De vi se at nevneren blir null når x(A) og x(B) har samme verdi. Noen spørsmål som kan hjelpe elevene videre: Hva kjennetegner en rett linje? Hvor finner du konstantleddet i uttrykket til linjen? Hvor finner du stigningstallet i uttrykket til linjen? Hvor finner du konstantleddet på grafen? Hvor finner du stigningstallet på grafen? Aktivitet 2: Midtnormal Elevene skal gjøre oppgaverekke 2 i Kikora (2.1 – 2.4). Målet med oppgavene er at elevene skal lage en midtnormal uten å bruke verktøyet eller den innebygde kommandoen Midtnormal. I første oppgave bruker elevene Midtnormal for å se hva målet med oppgaverekken er. Formelen for å finne midtpunktet til et linjestykke står på elevarket. Elevene må forklare hvorfor formelen er riktig. Også denne oppgaverekken slutter med en Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>) kommando. Kommandoen er nødvendig for å tegne midtnormalen når linjestykket AB er horisontalt. Kommentar til læreren I den første oppgaven skal elevene bruke verktøy eller kommando for å finne midtpunktet og midtnormalen. Dersom de prøver å gjøre det samme i de neste oppgavene, vil de ikke få godkjent i Kikora. Elevene må skrive inn matematiske uttrykk. Noen elever vil trenge hjelp til å finne stigningstallet til midtnormalen. Be elevene om å tegne noen linjer med kjent stigningstall i GeoGebra. Tegn en normal på hver linje og sammenlign stigningstallet til de to linjene. Elevene vil oppdage at hvis stigningstallet til en linje er a, så er stigningstallet til normalen til linjen `(- 1)/(a)`. Noen spørsmål som kan hjelpe elevene videre: Hvordan finner du midtpunktet til en horisontal linje? Hvordan finner du midtpunktet til en vertikal linje? Hva ser du når du sammenligner stigningstallet til linjestykket og midtnormalen? Hvorfor blir midtnormalen borte når A og B har samme x-koordinat? Aktivitet 3: Tyngdepunktet i en trekant Elevene skal gjøre oppgaverekke 3 i Kikora (3.1 – 3.6). Målet er å finne tyngdepunktet til trekanten. Tyngdepunktet er punktet der medianene skjærer hverandre. En median går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående siden. I første oppgavene skal elevene bruke Midtpunkt eller sentrum for å finne tyngdepunktet til trekanten. Elevene noterer koordinatene til punktet. I de neste oppgavene skal de lære å finne tyngdepunktet uten å bruke verktøyet. Elevene starter med å finne midtpunktet til sidene. Deretter lager de uttrykket for linjen gjennom et hjørne og midtpunktet på motstående side, slik som de gjorde i første oppgaverekke. Kommentar til læreren På elevarket er det laget en tegning av trekanten som elevene kan bruke som skisse. Ved å bruke den blir det enklere til å ha kontroll over alle punkter og linjer. Elevene får lov til å bruke den innebygde kommandoen Skjæring for å finne tyngdepunktet. Elever som trenger ekstra utfordringer, kan å finne skjæringspunktet med CAS. GeoGebra gir alle objekter navn automatisk. I oppgave 3.2 er det derfor lurt at elevene lager midtpunktene i samme rekkefølge som står på i oppgaven (og på elevarket), slik at punktene får riktig navn med en gang. Noen oppgaver er delt i to i Kikora slik at det ikke skal være for mange steg. Da starter den andre oppgaven med resultatet av det elevene har gjort i den første oppgaven. Aktivitet 4: Tangenten til parabler Elevene skal gjøre oppgaverekke 4 i Kikora (4.1 – 4.4). Målet er at elevene skal bli bedre kjent med ettpunktsformelen. På forhånd må de vite at den deriverte i et punkt er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet. Elevene arbeider med funksjoner. I første oppgave oppdager elevene hvordan formelen f(x) = a(x - x1) + y1 fungerer. Resten av oppgaverekken følger samme oppskrift som tidligere oppgaverekker. Først bruker elevene verktøy for å lage tangenten til en funksjon, og deretter skal de bruke uttrykk og kommandoer for å gjøre det samme. Kommentar til læreren Elevene skal bruke det de har lært om funksjoner og GeoGebra til å lage en dynamisk tegning som viser sammenhengen mellom tangent og funksjon. Notasjonene x(A) og f(x(A)) er sentrale. Ved å bruke disse skrivemåtene kan elevene lage dynamiske figurer, samtidig som de unngår slurvefeil som ofte kommer når de skal skrive inn lange uttrykk i GeoGebra. I oppgave 4.4 skal elevene skrive A = (a, f(a)) for å lage et punkt på grafen til f. GeoGebra lager da en glider a som styrer punkt A. Oppsummering Det er mulig å oppsummere det faglige innholdet underveis, for eksempel etter en oppgaverekke, eller når elevene er ferdig med alle oppgavene. I oppsummeringen er det viktig å få fram verdien av algebra. Elevene er nødt til å bruke variabler for å gjøre figurene dynamiske. I tillegg gjør bruk av variabler det lettere for elevene å se sammenhenger. Elevene har også sett litt bak verktøyene i GeoGebra. De har gjort seg erfaringer om hvordan de kan lage matematiske uttrykk som gir de resultatet de ønsker og hvordan de kan få objekter til å henge sammen. I tillegg har de erfart hvordan programmerere må tenke når de lager verktøy. For eksempel måtte de omdefinere uttrykket for linjen i oppgave 1.4 slik at den ikke forsvant når x-verdiene til punktene var like. Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 er en fortsettelse av dette undervisningsopplegget og elevene skal arbeide videre med tangenter. De starter med blanke ark i GeoGebra uten Kikora som støtte.
Aktivitetene bygger på oppgaver hentet fra https://undergroundmathematics.org/quadratics/geogebra-constructions-quadratic. Elevene jobber på hver sin PC. De sitter sammen i små grupper (2-4 elever) slik at de kan diskutere. Utgangspunktet for opplegget er de tre ulike uttrykk som alle representerer en andregradsfunksjon: `f(x)=ax^(2)+bx+c` `f(x)=k(x-r)(x-s)` `f(x)=t(x-m)^(2)+n` Opplegget krever at elevene kjenner fordelene til de ulike skrivemåtene, og dette har de jobbet grundig med i Utforske andregradsfunksjoner 1. For eksempel at de kan lese av konstantleddet direkte fra uttrykk 1, at de kan lese av nullpunktene fra uttrykk 2 og at de kan lese av ekstremalpunktet fra uttrykk 3. 1. `f(x)=ax^(2)+bx+c` Skjæring med y-aksen Om grafen har topp- eller bunnpunkt 2. `f(x)=k(x-r)(x-s)` Nullpunkt Om grafen har topp- eller bunnpunkt 3. `f(x)=t(x-m)^(2)+n` Ekstremalpunkt Om grafen har topp- eller bunnpunkt Elevene åpner en ny fil i GeoGebra når de starter på en ny aktivitet. Det er viktig for å unngå konflikter med bruk av bokstaver. Aktivitet 1 Dette opplegget krever bruk av algebra og gode kunnskaper i GeoGebra. Vi anbefaler derfor at klassen gjennomfører denne aktiviteten i fellesskap slik at alle elevene er kjent med hvordan de skriver inn punkter i et funksjonsuttrykk i GeoGebra. Åpne GeoGebra. Sett et punkt A på y-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktet og som følger med når du flytter på punktet. Kommentarer til læreren Elevene kan gjerne forsøke litt selv først. De vet at en funksjon `f(x)=ax^(2)+bx+c` skjærer y-aksen i punktet (0, c), men utfordringen er å bruke GeoGebra slik at grafen «henger fast» i punktet elevene har valgt. Mange elever vil skrive inn funksjonen, lage glidere og flytte på gliderne til funksjonen går gjennom punktet. Men da vil ikke grafen følge med når elevene flytter på punktet. Elevene må i stedet knytte y-verdien til punktet på y-aksen med c-verdien i funksjonsuttrykket. Det gjør de ved å skrive `f(x)=ax^(2)+bx+y(A)` og lage glidere for a og b. I GeoGebra gir y(A) y-verdien til punkt A og x(A) gir x-verdien til A. Grafen følger med når elevene beveger på punktet. Aktivitet 2 Elevene skal tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter som ligger på x-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom begge punktene. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn to punkter A og B på x-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A og B. Flytt på punktene A og B. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter. Elevene er mest vant til å få oppgitt andregradsfunksjonen, mens i denne aktiviteten skal de finne en andregradsfunksjon som passer til to punkter på x-aksen. Dette er en innfallsvinkel som kan gi elevene en dypere forståelse av andregradsfunksjoner. De fleste elevene vet at nullpunkter er punkter hvor y-verdien er null, men mange vil ha problemer med å bruke den informasjonen når de skal løse oppgaven i GeoGebra. Her må elevene bruke det de har lært i aktivitet 1 for at grafen skal følge etter. Hvis elevene skal lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter, er det lettest å ta utgangspunkt i det andre uttrykket for andregradsfunksjoner, nemlig `f(x)=k(x-r)(x-s)` hvor r er x-verdien til nullpunkt A (r, 0) og s er x-verdien til nullpunkt B (s, 0). Parameter k kan de ikke erstatte og den blir derfor en glider. Det kan være interessant for elever som blir raskt ferdig å se hva som skjer når k endrer verdi. Noen elever vil bli overrasket over å se at det finnes uendelig mange grafer som går gjennom de to punktene på x-aksen. Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 3, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig. Forslag til fremgangsmåte: Tegn to punkter A og B på x-aksen. Punktene skal være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)` , der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B. Funksjonen blir dermed: `f(x)=k(x-x(A))(x-x(B))`. Parameter k blir til en glider. Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A og B når du flytter på punktene. Aktivitet 3 I denne aktiviteten skal elevene tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter på x-aksen og ett punkt på y-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom de tre punktene. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn to punkter på A og B på x-aksen og punkt C på y-aksen. Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A, B og C. Flytt på punktene A, B og C. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten vil mange elever ta utgangspunkt i resultatet fra aktivitet 2. De har antakeligvis oppdaget at k-verdien endrer krumningen til grafen, og dermed også hvor grafen krysser y-aksen. Elevene må finne ut hvilken k-verdi som gjør at grafen krysser y-aksen i punkt C, og da må de bruke algebra. Hvis elevene står fast, kan læreren hjelpe dem til å finne sammenhengen mellom y-verdien til funksjonen når x = 0 og y-koordinaten til punkt C. I motsetning til grafen i aktivitet 2, er denne grafen entydig. Elever som trenger utfordringer kan gjerne forklare hvorfor det er slik. Forslag til fremgangsmåte: Tegn punktene A (r, 0) og B (s, 0) på x-aksen og punkt C (0, c) på y-aksen. Punktene A og B skal fortsatt være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)`, der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B. Verdien til k forteller hvor mye grafen bøyer seg, og elevene skal finne k som gjør at krumningen blir slik at grafen går gjennom punkt C (0, c) på y-aksen. Vi setter x = 0 og f(0) = c. Det gir ligningen: c = k(0-r)(0-s) som forenkles til `k = (c)/(rs)`. Funksjonen blir dermed: `f(x)=(y(C))/(x(A)·x(B))(x-x(A))(x-x(B))` Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A, B og C når du beveger på punktene. Aktivitet 4 Elevene skal nå finne en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt. Grafen skal følge etter når elevene flytter punktet. Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla): Tegn ett punkt A. Tegn en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt. Flytt på punkt A. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med. Kommentarer til læreren Elevene har arbeidet med fordelene til uttrykket i Utforske andregradsfunksjoner 1, og nå skal de ta i bruk det de har lært. I denne aktiviteten er uttrykk 3 mest hensiktsmessig å bruke. Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 2, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig. Denne grafen er ikke entydig. Elevene kan finne nye grafer ved å endre på t-verdien. Forslag til fremgangsmåte I uttrykket `f(x)=t(x-m)^(2)+n` er punkt (m, n) ekstremalpunktet til grafen, Lag et vilkårlig punkt A. `f(x)=t(x-x(A))^(2)+y(A)`er da en funksjon som har A som ekstremalpunkt. Parameter t blir til en glider. Oppsummering I oppsummeringen forteller elevgruppene hvordan de arbeidet, hvilke funksjonsuttrykk de brukte og hvorfor. Læreren setter fokus på hensiktsmessig bruk av de tre skrivemåtene for funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon.
I dette opplegget skal elevene utforske ulike skrivemåter for andregradsfunksjoner. De skal se på funksjoner fremstilt på følgende måter: `f(x)=ax^(2)+bx+c` `g(x)=k(x-r)(x-s)` `h(x)=t(x-m)^(2)+n` Når elevene skal skrive uttrykket til en andregradsfunksjon, vil de som regel notere funksjonen på formen til f(x) siden det er den formen de har arbeidet mest med og som lærebøker bruker oftest. I dette opplegget skal elevene bli bedre kjent med alle skrivemåtene og fordelene til hver av dem. Hvert elevpar får ett elevark for aktivitet 1, 2 og 3 og ett elevark for aktivitet 4 og 5, Vi anbefaler at elevene får arket med aktivitet 4 og 5 etter at de har jobbet med aktivitet 1, 2 og 3. Elevene skal forklare tankene sine for hverandre og samarbeide om å skrive ned observasjonene sine. Vi foreslår at elevene jobber sammen på en PC, men bytter på å skrive inn i GeoGebra. For alle oppgaver gjelder: Lag en ny fil i GeoGebra for hver aktivitet Skriv funksjonen inn i GeoGebra. Lag glidere. Vis Navn og verdi på alle Glidere. Undersøk bare en parameter (glider) om gangen. Observer og noter observasjonene. Sett alltid glidere tilbake til startverdien før du starter på en ny parameter. Elevene arbeider i eget tempo med aktivitetene, og vi anbefaler å notere ned hva elevene synes er vanskelig underveis og diskutere det i oppsummeringen. Hvis noen elever jobber lenge med en aktivitet og ikke kommer fram til en god løsning, kan det være lurt at de går videre til neste aktivitet slik at de kan få en viss oversikt over hele opplegget. Aktivitet 1 Elevene skal undersøke `f(x)=ax^(2)+bx+c`. Sett alle glidere på tallet 1,5 (NB:1.5 i GeoGebra). Undersøk c, a og b (tabell på elevark). Kommentarer til læreren GeoGebra setter startverdien for glidere på 1. Tallet 1 er et spesialtilfelle som lett kan gjøre at elevene feiltolker egenskapene til et funksjonsuttrykk. Elevene skal derfor bruke 1,5, som er et vilkårlig valgt tall, som utgangspunkt for undersøkelsene. Rekkefølgen til parameterne som elevene skal undersøke er satt til c, a, b. Egenskapene til parameter c og a skal være kjent for elevene. Parameter c er den enkleste å finne ut av. Egenskapene til parameter b er ukjent for elevene. Som hjelp blir de bedt om å tegne inn Ekstremalpunkt og sette sporing på den. Elevene finner ekstremalpunktet ved å skrive inn Ekstremalpunkt i skrivefeltet eller ved å velge Ekstremalpunkt fra verktøylinjen. Elevene blir bedt om å undersøke tilfellene der parameterne er lik 0. De blir ofte overrasket over at grafen blir en rett linje når a = 0. Det er først da mange elever ser en sammenheng mellom lineære funksjoner og andregradsfunksjoner, noe som kan gi dem en dypere forståelse for funksjoner. Aktivitet 2 Elevene skal undersøke `g(x)=k(x-r)(x-s)`. Sett glidere til: k = 1, s = -4, r = 2. Undersøk parameter k. Hva skjer med grafen når k er positiv, negativ, 1 eller 0? Legg merke til både det som endrer seg og det som ikke endrer seg. Hvor på grafen finner dere s og r? Flytt s og r etter tur. Hva skjer med grafen? Hva kaller vi slike punkter? Noter med egne ord hva som dere kan lese ut av funksjonen: `p(x)=-1,5(x-3)(x-4)` Kontroller svaret med GeoGebra. Skriv eventuelt et nytt svar. Kommentarer til læreren Eleven starter med å undersøke parameter k. Da vil de se at grafen henger fast på to punkter på x-aksen. Mange elever vil gjenkjenne disse punktene som nullpunkter. De fleste elevene vil også se at parameter k påvirker grafen på samme måte som parameter a i aktivitet 1. Det vil si at funksjonen har et bunnpunkt hvis k er positiv og et toppunkt hvis k er negativ. Spesielt interessant er tilfellet der k = 0. Da ligger grafen på x-aksen. Så skal elevene undersøke r og s. Det kan være overraskende for elevene å se at skjæringspunktene med x-aksen beveger på seg. Parameterne r og s betegner x-koordinatene til nullpunktene til funksjonen. Dersom elevene tror at r og s bestemmer formen til grafen, kan det være lurt å be de om å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt og vise verdi på punktene. Til slutt skal elevene anvende det de har funnet ut på en gitt andregradsfunksjon. Det viser om elevene har forstått hva parameterne betyr. For elevene kan det være en utfordring å tolke operasjonstegnene i parentesene riktig. (x-3) betyr at funksjonen har et nullpunkt ved x = 3. Gjennom utforsking kan de se at y-koordinaten alltid er 0 for alle punkter på x-aksen. Aktivitet 3 Elevene skal undersøke `h(x)=t(x-m)^(2)+n`. Sett gliderne på 1,5. Utforsk t, m og n (tabell på elevark). Tegn et punkt med koordinater P = (m, n). Hvor ligger dette punktet? Hva heter punktet? Finn nullpunktene til h(x). Tegn linja x = m. Hva heter denne linja? Flytt på gliderne og noter observasjonene deres. Kommentar til læreren Denne måten å skrive uttrykket til en andregradsfunksjon er ukjent for elevene. Elever som har hatt 1T har brukt skrivemåten som en løsningsmetode for andregradslikninger (fullstendig kvadraters metode), men elevene har aldri sett den i sammenheng med funksjoner. Elevene ser her at noe som er kjent fra algebra gir verdifulle opplysninger i funksjonslære, noe som kan gi dem dypere forståelse i matematikk. Aktiviteten er tredelt. Elevene arbeider først med parameterne t, m og n. De vil oppdage at t bestemmer om funksjonen har en minimal- eller maksimalverdi, men at den ikke endrer på koordinatene til ekstremalpunktet. Ved å endre m og n, kan elevene flytte grafen langs x- og y-aksen, og dermed endre grafens ekstremalpunkt. I andre del av aktiviteten blir elevene bedt om å skrive inn punkt P = (m, n). De fleste elevene vil da oppdage at m og n er koordinatene til ekstremalpunktet til funksjonen h. Til slutt skal elevene undersøke sammenhengen mellom funksjonens nullpunkter, ekstremalpunkt og symmetrilinje. Målet er at elevene skal oppdage at x-verdien til ekstremalpunktet alltid er midt i mellom x-verdiene til nullpunktene og at symmetrilinja går gjennom ekstremalpunktet. Dette kan elevene utnytte når de skal skissere grafen til en andregradsfunksjon uten å lage verditabell. Aktivitet 4 Elevene skal undersøke en funksjon F som er skrevet på tre forskjellige måter. `f(x)=3x^(2)-3x-6` `g(x)=3(x-2)(x+1)` `h(x)=3(x-(1)/(2))^(2)-(27)/(4)` Finn ut mest mulig om grafen uten hjelpemidler (tabell på elevark). Vis ved regning at f(x) = g(x) = h(x). Kommentar til læreren I denne aktiviteten skal elevene oppsummere hva de har funnet ut i aktivitet 1-3. Det er anbefalt at hver elevgruppe bare får ett elevark slik at de er nødt til å jobbe sammen og diskutere for å komme fram til et svar. Elevene skal se at alle skrivemåtene har sine fordeler, og at det er mulig å skifte mellom de ulike skrivemåtene. Det gjør det mulig å skissere grafer uten digitale hjelpemidler, noe elevene får prøve når de skal skissere i(x) i aktivitet 5. Elevene skal notere ned hvilken funksjon de bruker for å finne de forskjellige verdiene/egenskapene, og det gjør de mer bevisste på fordelene de ulike skrivemåtene har. For å vise at f(x) = g(x) = h(x), må elevene bruke algebra. Det er ikke nok å tegne grafen til funksjonene og vise at de dekker hverandre. Det er enklest å omskrive uttrykkene til g(x) og h(x) til f(x). Elever som trenger utfordringer kan omforme f(x) til h(x). Det er viktig å ha god tid til en grundig, felles oppsummering etter aktivitet 4. Læreren bør ha fokus på å få fram hva elevene har funnet ut og hvilke fordeler de ulike skrivemåtene har når elevene arbeider med funksjoner. Det er viktig å løfte frem hvordan elevene kan dra nytte av fordelene når de skal skissere en graf. Aktivitet 5 Elevene skal skissere funksjonen `i(x)=2x^(2)-2x-12` i koordinatsystemet uten bruk av hjelpemidler og uten å regne ut en verditabell. Kommentarer til læreren Tallene er valgt slik at det skal være lett å veksle mellom de tre skrivemåtene. Elevene skal bruke det de har lært i aktivitetene 1- 4 for å skissere grafen. De fleste elevene vil se at grafen skjærer y-aksen i punktet (0, -12). Det kan de lese direkte ut av det oppgitte uttrykket til i(x). Elevene kan finne nullpunktene ved å faktorisere uttrykket slik at det blir på formen til g(x) eller ved å sette i(x) = 0 og løse likningen. For å finne ekstremalpunktet, vil noen elever benytte seg av at x-verdien til ekstremalpunktet må ligge midt i mellom nullpunktene siden en andregradsfunksjon er symmetrisk, og deretter kan de beregne y-verdien ved å sette inn i uttrykket for i(x). Andre elever vil fullføre kvadratet og bruke det de har lært i aktivitet 3 og 4. I oppsummeringen etter aktivitet 5 skal elevene fortelle hvordan de arbeidet og hvordan de utnyttet fordelene til funksjonsuttrykkene. Dette kan skje i hel klasse hvor læreren velger ut noen elevpar som forteller, eller det kan skje i grupper bestående av flere elevpar. GeoGebra-hjelp Glidere Noen av oppgavene forutsetter bruk av Glidere. Den enkleste måten å lage disse på, er å skrive inn funksjonen slik den står og svare bekreftende på spørsmål om glidere. Minn elevene på at de må bruke gangetegn mellom to bokstaver slik som a og x2 og b og x. Mange elever vil oppleve at gliderne er i veien for grafen. De kan flytte gliderne ved å høyreklikke og ta bort haken ved Lås objekt.
Finn funksjonsuttrykket 1 Elevene jobber i par eller i små grupper i Kikora. Programmet lager hemmelige, lineære funksjoner og elevene skal forsøke å finne funksjonsuttrykket som passer til. De skriver inn en x-verdi og Kikora gir dem tilhørende y-verdi. Prosessen gjentas. Elevene kan legge punktene inn i koordinatsystemet og tegne en linje mellom punktene hvis de vil. Når elevene tror at de har funnet riktig funksjonsuttrykk, skriver de det inn i svarfeltet. Kikora tegner da grafen til elevenes funksjonsuttrykk i koordinatsystemet og forteller om det er riktig. Etter at alle elevene har løst noen oppgaver, skal de reflektere individuelt over følgende spørsmål: Hvor mange x-verdier må dere ha for å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon? Hvilke x-verdier er «lure» å spørre Kikora om og hvorfor? Hvordan kan dere finne funksjonsuttrykket raskest og enklest? Deretter oppsummerer klassen aktiviteten og refleksjonsspørsmålene. Læreren løfter fram effektive strategier for å finne funksjonsuttrykkene. Kommentarer til læreren Funksjonene i oppgaverekken er tilfeldige. Det betyr at elevene kan jobbe seg gjennom hele opplegget flere ganger med nye funksjonsuttrykk. I tillegg medfører det at elevgruppene ikke nødvendigvis har de samme oppgavene. Vanskelighetsgraden øker utover i oppgaverekken. Hvis elevene trykker på Oppdater i Grafikkfeltet, får de en ny funksjon med samme vanskelighetsgrad. På denne måten kan elevene arbeide over lengre tid på samme nivå. Ved å la elevene jobbe sammen på én PC må de samarbeide og diskutere. Finn funksjonsuttrykket 2 Elevene arbeider i par eller i små grupper i Kikora. Opplegget består av to oppgaverekker og en oppsummeringsoppgave. Første rekke består av oppgaver hvor elevene skal finne funksjonsuttrykket til en funksjon som går gjennom to gitte punkter, med svaralternativer. Andre rekke inneholder oppgaver hvor de skal finne en funksjon som tilfredsstiller ulike krav. Siste oppgave består av et sett med avkryssingsoppgaver som oppsummerer temaet. Til slutt oppsummerer klassen aktiviteten ved at elevene presenterer hvordan de tenkte for å løse utvalgte oppgaver. Kommentarer til læreren Det er viktig at elevene vet hva det betyr at grafen til en funksjon går oppover eller nedover før de starter med oppgavene. Det er ikke alle elever som vet at retningen til en lineær graf er bestemt av hva som skjer når x øker (oppover hvis y øker når x øker og nedover hvis y minker når x øker). Elevene kan zoome inn og ut og flytte på Grafikkfeltet dersom de ikke er fornøyde med utsnittet som er gitt. I noen av oppgavene skal elevene skrive inn funksjonsuttrykket i en tekstboks. Dersom de skriver feil uttrykk og ønsker å endre deler av det, trykker de i tekstboksen og bruker piltastene for å flytte markøren. Det finnes mange måter å løse disse oppgavene på. Når elevene arbeider sammen, må de forklare hva de tenker og argumentere for hvorfor de mener noe. Sammen kommer de fram til gode, varierte strategier. Læreren bør se og høre på elevenes arbeid og samtaler underveis, og gjerne notere slik at hun har et godt grunnlag for å velge ut oppgavene til oppsummeringen. Det er ikke nødvendig at alle elever har løst alle oppgavene før oppsummeringen starter. I oppgavene i første oppgaverekke har elevene mulighet til å vise linjen dersom de ikke klarer å se for seg hvordan linjen ser ut, når de bare ser punktene. Læreren bør utfordre elevene til å prøve uten å vise linjen først slik at de får trening i å visualisere lineære funksjoner. Oppgavene hvor elevene skal finne funksjoner som står normalt på en gitt funksjon, er beregnet på elever som blir raskt ferdige og/eller trenger ekstra utfordringer.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
