Aktivitet 1 Aktiviteten er ment som en introduksjon eller repetisjon av speiling. Elevene skal brette ark og speile figurer. Bretten skal være speilingslinjen. Læreren gir oppgavene muntlig eller skriver de opp på tavla. Brett et A5-ark tilfeldig. Bretten skal være speilingslinjen. Pass på at bretten ikke er parallell med sidekanten til arket. Tegn en mangekant på den ene siden av bretten slik at ett hjørne ligger på bretten. Tegn speilbildet av figuren på den andre siden av bretten. Brett et nytt A5-ark slik at bretten blir en skrå speilingslinje. Tegn en mangekant der ingen punkter berører speilingslinjen. Speil mangekanten om bretten. Kommentarer til læreren Elevene kan løse oppgaven på mange måter: Brettet ark på mykt underlag og tegne over figuren slik at det blir et avtrykk. Brettet ark og markere hjørner med blyant eller en passerspiss. Brettet ark mot et vindu. Åpent ark og tegne på måfå. Åpent ark og bruke linjal, sånt omtrentlig. Åpent ark og konstruere speilbildet med normale linjer. Åpent ark og konstruere speilbildet med hjelp av sirkler. Vær oppmerksom på om noen elever tegner speilbildet som om speilingslinjen er parallell med sidekanten. Det er en vanlig misoppfatning som er viktig å være bevisst på. Læreren må legge til rette for at elevene som er i en slik misoppfatning kan utvikle en bedre begrepsforståelse om speiling. Oppgavene i dette undervisningsopplegget vil utfordre tankegangen til elevene og skape et behov for å endre tankemønster. Noter hvilke strategier elevene bruker og tenk over hvilken rekkefølge elevene skal presentere løsningene sine i. Legg spesielt merke til feilløsninger siden de kan være nyttige for å diskutere egenskapene til speiling. Elevene skal komme frem til at linjene mellom punkt og speilingspunkt står normal på speilingslinjen og at avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er like stor. Aktivitet 2 I denne aktiviteten begynner elevene med oppgaverekkene på Kikora sin plattform. De sitter sammen i par med én PC. Arbeidet i Kikora blir avbrutt av korte helklassesamtaler. Læreren instruerer muntlig: Åpne Kikora og velg Speiling om linjer om sidekanter. Bruk god tid og gjør gjerne en oppgave flere ganger. Trykk på snurrehjulet for å starte på nytt. Husk å velge Flytt før dere endrer farge eller drar i figurer. I første oppgaverekke (to oppgaver) lager elevene tegninger ved at de drar i punkter. Bruk god tid og be elevene ha fokus på hva som skjer når de beveger på et punkt. Kikora gir elevene godkjent (et steg blir grønt) når de har beveget et stykke på punktene. I andre oppgaverekke (tre oppgaver) blir elevene kjent med verktøyet Speil objekt om linje og det skal de bruke i resten av oppgavene. I disse oppgavene bruker elevene sidekantene som speilingslinjer. Elever som trenger flere utfordringer, kan for eksempel lage fargerike mønstre av figurene eller speile rombene slik at de ser ut som terninger. Det er ikke nødvendig at alle elevene blir ferdige med alle oppgavene i oppgaverekken. I oppgave 3 skal elevene lage en larve ved å speile firkanter. Like viktig som et pent sluttresultat, er at elevene leker med oppgaven. De må få anledning til å oppdage fordelen ved å arbeide i GeoGebra. Hvorfor beveger hele larven seg hvis elevene drar i ett punkt? Hva må de gjøre for at larven skal bli liten eller kanskje veldig stor? Etter at alle elevene har arbeidet en stund med oppgave 3, samler læreren klassen til en kort felles oppsummering. Ha fokus på hvordan larven beveger seg og hva som gjør at den blir liten eller stor. I fjerde oppgaverekke skal elevene speile en figur flere ganger inntil den dekker en annen figur. Det finnes mange veier til mål så elevene kan gjerne gjøre oppgavene flere ganger. Trykk på snurrehjulet for å starte på nytt. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale om erfaringene elevene har fått. Sørg for at begrepene speiling, speilbilde, speilingslinje og symmetrilinje blir nevnt. Kommentarer til læreren Det er en fordel at elevene er litt kjent med GeoGebra før de starter med oppgavene. De bør vite når de må trykke på Flytt, hvordan de beveger på objekter, hvordan de bruker verktøy og hvordan de endrer farger. Dette kan de lære i Lær GeoGebra: Geometri. Hver av disse oppgaverekke består av liknende oppgaver. Elevene får derfor erfaringer de kan dele i helklassesamtale så lenge de har gjort en oppgave i hver oppgaverekke. Det er derfor ikke nødvendig at elevene gjør alle oppgavene. Læreren kan be elever som blir raskt ferdig om å gjøre oppgavene flere ganger med ulikt resultat. På den måten vil alle elever ha mulighet til å bruke den tiden de trenger. Aktivitet 3 Elevene arbeider videre på Kikora. Oppgave 5 er en flervalgsoppgave. Det er viktig at elevene beveger figuren før de svarer på spørsmålene. Vi anbefaler at læreren viser bildet på storskjerm for en felles gjennomgang av spørsmålene. Pass på å bevege alle punktene i originalfiguren, samt å undersøke hva som skjer om dere drar et punkt til eller over speilingslinjen. De siste to oppgaver henger sammen. Oppgaven 6.1 er en forberedelse til den siste oppgaven. Her skal elevene speile en figur om forskjellige speilingslinjer. Til slutt skal de teste om oppgaven er løst riktig ved å dra i hjørnene til trekanten. I den siste oppgaven skal elevene speile en trekant, en firkant og en femkant, tre ganger til det er tre figurer i de fire områdene. Målet med oppgaven er å lage et egendesignet, symmetrisk bilde. Elevene kan dra i hjørnene til originalfigurene og endre farger. Legg merke til at det bare er figurene som er utgangspunktet for speilingene som er bevegelige. Kommentarer til læreren I oppgave 6.1 bruker elevene verktøyet Mangekant. Det kan være nødvendig å minne dem på at de må trykke på startpunktet for å avslutte figuren. Oppgave 6.2 er egnet som en innlevering enten digitalt eller som utskrift på papir. Det er mulig å avslutte undervisningsopplegget etter at elevene har gjort oppgave 6.2 på Kikora sin plattform. Vi anbefaler imidlertid at elevene arbeider med samme tema og verktøy i det vanlige GeoGebra-programmet slik at de også lærer å bruke GeoGebra uten hjelpen som Kikora gir underveis. Et forslag finner du i aktivitet 4. Aktivitet 4 I denne aktiviteten bruker elevene det de har lært om speiling og om verktøyene i GeoGebra. Elevene arbeider på hver sin PC i det vanlige GeoGebra-programmet. Da får de trening i å bruke programmet, i tillegg til at arbeidsfeltet er større og flere verktøy er tilgjengelige. Læreren gir oppgaven muntlig eller skriftlig. Åpne GeoGebra. Skjul koordinatsystem og velg isometrisk rutenett Bruk Mangekant og tegn en rombe. Velg én eller to ruter som sidelengde. Lag en figur som består av mange terninger ved å speile om sidekanter. Fargelegg terningene med tre farger slik at figuren ser tredimensjonal ut. Kommentarer til læreren Oppgaven er ikke krevende, men gir et pent resultat. Rutenettet gjør det enkelt å tegne den første romben. Minn elevene på å bruke Flytt når de skal endre farge. Noen elever vil kanskje prøve å lage terninger med parallellogram hvor to og to sider er like lange (ikke alle fire slik som for en rombe). Det fungerer fint når de speiler i en retning, men ikke hvis de speiler i alle retninger. Hvorfor?
Aktivitet 1 Elevene arbeider i par med elevarket som inneholder åtte forskjellige bilder. De skal tegne inn symmetrilinjer som gjelder for hele og deler av bildene. I en oppsummerende klassesamtale drøfter klassen begreper som speiling, speilbilde, symmetrilinje og speilingslinje. Kommentar til læreren Elevene kjenner til begrepet speiling så elevarket er tenkt som en oppfrisking. Hver figur har minst én symmetrilinje. En symmetrilinje deler figuren i to nøyaktig like deler. Læreren sørger for å fremheve symmetrier som bare gjelder for deler av figuren/bildet. I garnnøstet, blomsten, jordbærbladet og edderkoppen finnes ikke en matematisk korrekt symmetri. Likevel vil vi oppfatte objektene som symmetriske. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene jobbe med første oppgaverekke på Kikora (fem oppgaver). De skal finne symmetrilinjene til forskjellige mangekanter. Målet med oppgaven er at elevene skal få bekreftet at de har forstått begrepet symmetrilinje og at en figur kan ha mange symmetrilinjer. En figur kan ha mer enn én symmetrilinje og elevene bruker glideren for å velge antall og for å ta bort overflødige linjer. Hvis de trykker på snurrehjulet, kan de starte oppgaven på nytt. Kommentar til læreren Kikora gir elevene riktig (et steg blir grønt) når elevene har plassert speilingslinjene slik at de også er symmetrilinjer. Det vil si at alle punkter på figuren speiles i andre punkter som også ligger på figuren. Vis speilbilde kan hjelpe elevene ved at de ser hvordan speilbildet endrer posisjon når de beveger speilingslinjen. Det er ikke nødvendig at elevene løser alle oppgavene før klassen samles til en samtale. Mulige spørsmål: Hva kjennetegner figurer som har symmetrilinjer? Hvorfor er diagonalene i rektangelet ikke en symmetrilinje? Hvorfor er diagonalene i sekskanten symmetrilinjer? Aktivitet 3 Elevene jobber videre med oppgaverekke 2 på Kikora (seks oppgaver). I disse oppgavene skal elevene prøve å tegne speilbildet til gitte mangekanter. Det er ikke lett å tegne et korrekt bilde av mangekantene uten hjelpemidler. Elevene kan justere løsningen sin ved å dra i punktene. Når elevene har funnet en nokså god løsning, kommer det opp en fasit-knapp slik at elevene kan se den korrekte løsningen. Elevene kan da tilpasse figuren sin. La de gjøre det, men oppfordre dem til å prøve på nytt. Oppgavene skal gjøre elevene bedre til å visualisere speiling og til å tegne speilbilder uten å lage hjelpelinjer. Det er ikke nødvendig at alle elevene løser alle oppgavene siden det er samme type oppgaver, men med ulik vanskelighetsgrad. Kommentarer til læreren Oppgavene har stigende vanskelighetsgrad. Det er enklere på finne speilingspunktet til punkter som ligger nær speilingslinjen enn de som lengre unna. Derfor starter oppgaverekken med figurer som har en side eller et punkt på speilingslinjen. Hvis elevene synes det er vanskelig, kan de bruke en blyant eller hånden til hjelp. Eller kanskje det holder å snu litt på hodet? Aktivitet 4 Elevene jobber med tredje oppgaverekke på Kikora (ett sett med avkryssingsoppgaver). De skal først lage en trekant og speile den med Speil objekt om linje. Så skal de bevege på figuren og svare på en flervalgsoppgave om egenskapene til speiling. Dette er første gang elevene har verktøyet Speil objekt om linje tilgjengelig i Kikora. Etter at de har svart på påstandene, skal hele klassen sammen bruke figuren til å bekrefte egenskapene til speiling. Vi anbefaler at læreren viser bildet på storskjerm samtidig som elevene arbeider i par på én PC. Målet er å vise at avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik og at speilingslinjen står normalt på linjen mellom punkt og speilingspunkt (vinkelen mellom dem er 90°). Husk å dra i hjørnene til trekanten underveis for å se at egenskapene forblir uforandret. Avslutt klassediskusjonen med å utfordre elevene til å finne ut hvordan de kan få speilingslinjen til å være en symmetrilinje i trekanten. Det letteste er å først plassere et punkt på speilingslinjen. Så kan elevene dra i de to andre hjørnene inntil trekanten og speilbildet ligger oppå hverandre. Kommentarer til læreren Forslag til fremgangsmåte: Bruk Linjestykke mellom to punkt til å lage linjestykker mellom punkt og speilingspunkt. Finn skjæringspunktene mellom linjestykkene og speilingslinjen ved å bruke Skjæring mellom to objekt. Bruk Vinkel til å måle vinkelen mellom linjestykkene og speilingslinjen. Finn avstanden mellom punkt og speilingslinje og mellom speilingspunkt og speilingslinje ved å tegne inn nye linjestykker og velge Avstand eller lengde. Ofte måler vi korteste avstand fra speilingslinjen til et punkt. Det kan være lærerikt for elevene å se at avstanden fra et punkt på speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik, uansett hvor punktet er plassert på speilingslinjen. Dette er et eksempel på hvordan bruken av digitale hjelpemidler kan hjelpe elever til å se sammenhenger som er vanskelige å vise med papir og blyant. Aktivitet 5 Denne aktiviteten er tenkt som en oppsummering. Elevene skal arbeide i det vanlige GeoGebra-programmet hvor arbeidsfeltet er større og flere verktøy er tilgjengelige. De skal bruke det de har lært om speiling til å speile en figur uten verktøyet Speil objekt om linje. Det er anbefalt at elevene arbeider parvis på hver sin PC. Da kan de diskutere underveis, samtidig som de får trening i å bruke GeoGebra. Læreren gir oppgaven skriftlig. Åpne GeoGebra. Ta bort akser og rutenett. Tegn en linje som skal være speilingslinjen. Linjen skal være på skrå (ikke horisontal eller vertikal). Gjør punktene usynlige. Bruk Mangekant til å tegne en femkant på den ene siden av speilingslinjen. Speil femkanten om speilingslinjen ved å bruke egenskapene til speiling (ikke Speil objekt om linje). Gi speilbildet en ny farge. Dra i hjørnene til den originale femkanten. Kontroller løsningen med Speil objekt om linje. Kommentarer til læreren Ved å bruke egenskapene til speiling og grunnleggende geometriverktøy i GeoGebra, utvider elevene geometriforståelsen og kompetansen i GeoGebra samtidig. Elevene kan tegne speilbilder på ulike måter, basert på ulike geometriske egenskaper. Læreren bør notere hvilken løsningsmetode de ulike elevparene bruker og la elevene presentere et utvalg framgangsmåter for hele klassen som oppsummering av aktiviteten. Forslag til fremgangsmåter: Verktøy og tegning Egenskapene til speiling Fremgangsmåte Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik. Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik.
Finn funksjonsuttrykket 1 Elevene jobber i par eller i små grupper i Kikora. Programmet lager hemmelige, lineære funksjoner og elevene skal forsøke å finne funksjonsuttrykket som passer til. De skriver inn en x-verdi og Kikora gir dem tilhørende y-verdi. Prosessen gjentas. Elevene kan legge punktene inn i koordinatsystemet og tegne en linje mellom punktene hvis de vil. Når elevene tror at de har funnet riktig funksjonsuttrykk, skriver de det inn i svarfeltet. Kikora tegner da grafen til elevenes funksjonsuttrykk i koordinatsystemet og forteller om det er riktig. Etter at alle elevene har løst noen oppgaver, skal de reflektere individuelt over følgende spørsmål: Hvor mange x-verdier må dere ha for å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon? Hvilke x-verdier er «lure» å spørre Kikora om og hvorfor? Hvordan kan dere finne funksjonsuttrykket raskest og enklest? Deretter oppsummerer klassen aktiviteten og refleksjonsspørsmålene. Læreren løfter fram effektive strategier for å finne funksjonsuttrykkene. Kommentarer til læreren Funksjonene i oppgaverekken er tilfeldige. Det betyr at elevene kan jobbe seg gjennom hele opplegget flere ganger med nye funksjonsuttrykk. I tillegg medfører det at elevgruppene ikke nødvendigvis har de samme oppgavene. Vanskelighetsgraden øker utover i oppgaverekken. Hvis elevene trykker på Oppdater i Grafikkfeltet, får de en ny funksjon med samme vanskelighetsgrad. På denne måten kan elevene arbeide over lengre tid på samme nivå. Ved å la elevene jobbe sammen på én PC må de samarbeide og diskutere. Finn funksjonsuttrykket 2 Elevene arbeider i par eller i små grupper i Kikora. Opplegget består av to oppgaverekker og en oppsummeringsoppgave. Første rekke består av oppgaver hvor elevene skal finne funksjonsuttrykket til en funksjon som går gjennom to gitte punkter, med svaralternativer. Andre rekke inneholder oppgaver hvor de skal finne en funksjon som tilfredsstiller ulike krav. Siste oppgave består av et sett med avkryssingsoppgaver som oppsummerer temaet. Til slutt oppsummerer klassen aktiviteten ved at elevene presenterer hvordan de tenkte for å løse utvalgte oppgaver. Kommentarer til læreren Det er viktig at elevene vet hva det betyr at grafen til en funksjon går oppover eller nedover før de starter med oppgavene. Det er ikke alle elever som vet at retningen til en lineær graf er bestemt av hva som skjer når x øker (oppover hvis y øker når x øker og nedover hvis y minker når x øker). Elevene kan zoome inn og ut og flytte på Grafikkfeltet dersom de ikke er fornøyde med utsnittet som er gitt. I noen av oppgavene skal elevene skrive inn funksjonsuttrykket i en tekstboks. Dersom de skriver feil uttrykk og ønsker å endre deler av det, trykker de i tekstboksen og bruker piltastene for å flytte markøren. Det finnes mange måter å løse disse oppgavene på. Når elevene arbeider sammen, må de forklare hva de tenker og argumentere for hvorfor de mener noe. Sammen kommer de fram til gode, varierte strategier. Læreren bør se og høre på elevenes arbeid og samtaler underveis, og gjerne notere slik at hun har et godt grunnlag for å velge ut oppgavene til oppsummeringen. Det er ikke nødvendig at alle elever har løst alle oppgavene før oppsummeringen starter. I oppgavene i første oppgaverekke har elevene mulighet til å vise linjen dersom de ikke klarer å se for seg hvordan linjen ser ut, når de bare ser punktene. Læreren bør utfordre elevene til å prøve uten å vise linjen først slik at de får trening i å visualisere lineære funksjoner. Oppgavene hvor elevene skal finne funksjoner som står normalt på en gitt funksjon, er beregnet på elever som blir raskt ferdige og/eller trenger ekstra utfordringer.
Digitale hjelpemidler gjør det mulig å starte med temaet «Funksjoner» på en utforskende måte. Opplegget starter med at elevene skriver inn ti funksjoner i GeoGebra. Elevene skal så finne sammenhenger mellom funksjonene ved å studere innholdet i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. GeoGebra gjør det enkelt å sammenligne mange funksjoner i løpet av kort tid, noe som gjør det lettere for elevene å observere og analysere funksjonene. Anbefalte andre opplegg Rette linjer – et spill for to (Ungdomstrinn/VGS) Aktivitet 1 Elevene får utdelt hvert sitt elevark. Det er en fordel om kopien er tosidig. De skriver inn alle funksjonene i Skrivefeltet og gir hver funksjon ulik farge. Deretter gjør de alle funksjonene usynlige ved å trykke på sirkelen foran funksjonsnavnet i Algebrafeltet. Kommentar til læreren Elevene trenger ingen forkunnskaper i GeoGebra for å gjennomføre dette opplegget, men det kan være lurt om læreren viser hvordan de endrer farge på objekter og gjør objektene synlig eller usynlig dersom de aldri har brukt GeoGebra før. En funksjon er to variabler som endrer seg i takt, og derfor er det viktig at elevene blir vant til å skrive funksjonene med navn, likhetstegn og funksjonsuttrykk. Hvis elever skriver y= eller bare den høyre delen av utrykket, vil GeoGebra automatisk gi funksjonen et navn. Det kan bety at samme funksjon får ulikt navn hos ulike elever, noe som gjør det vanskeligere når elevene skal bruke funksjonsnavnene i Aktivitet 2. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene sammenligne bestemte funksjoner for å finne felles egenskaper. Elevene gjør de aktuelle funksjonene synlig, og så sammenligner de grafene og funksjonsuttrykkene. De noterer observasjonene sine i tabellen. Etter at alle elevene har svart på minst fire oppgaver, starter læreren en klassesamtale som legger vekt på sammenhengen mellom graf og funksjonsuttrykk. Det kan være lurt å skrive ned observasjonene til elevene på tavla. Uavhengig av om læreren bruker opplegget som innføring i lineære funksjoner eller som repetisjonsopplegg, må begrepene «stigningstall» og «konstantledd» være en del av oppsummeringen. Kommentar til læreren Ved bare å vise enkelte av funksjonene i Grafikkfeltet samtidig, kan elevene lettere fokusere på å finne felles egenskaper. For eksempel at funksjonene er parallelle eller at funksjonene krysser y-aksen i samme punkt. Ved å se på representasjonene graf og funksjonsuttrykk, vil elevene komme fram til at «tallet foran x» (stigningstallet) og «tallet som står alene» (konstantleddet) har betydning for hvordan funksjonen ser ut. Mulige elevsvar i tabellen: Linjene er parallelle. Alle funksjonene starter med 2x. Linjene er parallelle og går nedover. Grafene er parallelle og går oppover. Alle grafer krysser hverandre på samme sted på y-aksen. Alle grafer har samme skjæringspunkt på y-aksen. Det siste tallet er lik. Det er viktig at klassesamtalen tar utgangspunkt i elevenes observasjoner. Læreren må være oppmerksom på at mange elever ikke ser at det er tallet foran x og ikke «2x» som avgjør hvordan grafen ser ut. For noen elever kan det også være uklart hva som menes med nedover og oppover. Målet med klassesamtalen er at alle elever får en god forståelse av sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf. De skal vite at tallet foran x er stigningstallet som bestemmer hvor bratt og i hvilken retning grafen går og at konstantleddet viser hvor grafen skjærer y-aksen. De tomme rutene kan brukes til å differensiere. Her kan læreren gi elever som blir fort ferdig oppgaver som gir dem passende utfordringer. For eksempel: Velg i(x) i GeoGebra og finn to nye funksjoner som er parallelle til i(x). Tegn tre funksjoner som krysser hverandre på den negative delen av y-aksen. Tegn tre funksjoner som går gjennom origo. Aktivitet 3 Denne aktiviteten gjennomfører elevene og læreren i felles klasse. Alle skriver funksjonen s(x) = ax + b inn i Skrivefeltet og svarer bekreftende på å lage glidere. Vis Navn og verdi på gliderne dersom GeoGebra ikke gjør det automatisk. Skyv gliderne slik at de har en positiv verdi a ≠ 1 og b ≠ 1. Nå kan læreren spille spørsmål til elevene. Hva må jeg gjøre for at grafen blir brattere? grafen går nedover? grafen krysser y-aksen ved 4? grafen krysser y-aksen på den negative siden? grafen går gjennom nullpunktet? grafen krysser y-aksen ved 2,5 og går bratt oppover? grafen blir vannrett? ….. Kommentar til læreren Aktiviteten viser om elevene har forstått begrepene «stigningstall» og «konstantledd». Legg spesielt vekt på funksjoner som går gjennom origo og funksjoner med stigningstall 0. Slike funksjoner bryter mønsteret til det vanlige uttrykket for lineære funksjoner, og det er ikke alle elever som er klar over at uttrykk som f(x) = 3 og g(x) = 4x er spesialtilfeller av lineære funksjoner. I neste time kan elevene teste sin forståelse av lineære funksjoner med opplegget Finn funksjonsuttrykket 1 og 2. GeoGebra-hjelp Synlige og usynlige objekter Blå sirkler viser at objektet (her: funksjonen) er synlig og gjennomsiktige sirkler viser at objektet er usynlig. Endre egenskapene til et objekt Trykk på objektet som du vil endre egenskapene til. Velg farge (her: Rød), tykkelse og tekststil (her: Navn og verdi). Flytt funksjonsuttrykket fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet med «dra og slipp». Skriv inn f(x)= a*x+b med verktøyet Tekst. Lag glidere Skriv inn f(x)=a*x+b i Skrivefeltet. Svar «Lag glidere» for a og b. Endre egenskapene til gliderne ved å høyreklikke og velge «Egenskaper».
Aktivitet 1 Figur 1: Stolpediagram som viser narkotikadødsfall i perioden 1994-2001 Opplegget starter i hel klasse. Læreren viser fram figur 1 (se PowerPoint-presentasjon) på en Whiteboard slik at det er mulig å tegne på figuren. I en klassesamtale skal elevene beskrive hva de ser og hva de tror kommer til å skje. Mange elever vil tro at antallet narkotikadødsfall øker også i fremtiden. Kommentarer til læreren Elevene kan tegne inn linjer som viser hvordan de tror utviklingen blir. Læreren bør oppfordre elevene til å være konkrete når de forklarer hvordan de tror linjene skal se ut. For eksempel at linja skal ligge over hver søyle, at den skal ligge midt i mellom alle verdiene eller at den skal gå fra laveste til høyeste verdi. Be gjerne elevene om å anslå et antall for 2012 (eller et annet år som har vært, slik at det er mulig å sjekke det faktiske antallet). Etter klassesamtalen, kan et tavlebilde se ut som figur 2. Erfaring viser at mange elever tenker slik som det grønne eksempelet, nemlig å lage en slags gjennomsnittslinje. Mulige elevkommentarer til de forskjellige linjene kan være: Denne linja ligger for høyt. (rød linje) I 1994 er det over 120 dødsfall. Denne linja starter for lavt. (svart linje) Denne linja kan være ganske riktig. Det har noen verdier over og noen under. (grønn linje) Det må bli flere enn dette. Linja ligger under hele veien. (blå linje) Figur 2: Forslag til regresjonslinjer Aktivitet 2 Elevene kan bruke GeoGebra til å finne linja som passer best til verdiene. Læreren må tilpasse veiledningen til hvor mye elevene kan fra før. Vi anbefaler at elevene arbeider i smågrupper slik at de kan diskutere og hjelpe hverandre. Elevene skal først tegne et stolpediagram, og deretter finne linja som passer best til verdiene. Vi har valgt å lage to utgaver av elevarket, ett for GeoGebra 5 og ett for GeoGebra 6, siden fremgangsmåten for å tegne stolpediagram er forskjellig. Kommentarer til læreren Mange elever vil skrive inn årstallene i regnearket. Når de så overfører stolpediagrammet til Grafikkfeltet, kommer stolpediagrammet langt unna origo. For å få stolpediagrammet nærmere origo, kan de velge år 1994 som år 4, 1995 som år 5 og så videre. De kan også velge 1994 som år 0, men da blir det litt vanskeligere å bruke regning for å finne rett årstall. Aktivitet 3 Etter at elevene har funnet ei linje som passer til verdiene, fortsetter opplegget i hel klasse. Målet er å sammenligne linja som GeoGebra har tegnet med forslagene som klassen kom fram til, samt å drøfte hva linja forteller oss om antall narkotikadødsfall før og etter de oppgitte årstallene. Hvordan stemmer resultatet fra beregningene i året 2010 og 2016? Læreren viser elevene nyere statistikk over antall narkotikadødsfall fra SSB (se figur 3). Målet er å diskutere forskjellen mellom det teoretiske svaret og virkeligheten. Elevene har fått et riktig matematisk svar, men svaret stemmer ikke overens med virkeligheten. Figur 3: Narkotikadødsfall i perioden 1994-2016 Kommentarer til læreren Relevante spørsmål i diskusjonen kan være: Hva betyr stigningstallet til funksjonen? Hvor mange narkotikadødsfall vil det bli i 2010 eller i 2016? Hvor mange dødsfall var det i 1980 etter denne modellen? Hva skjer hvis elevene utelater verdien for 1994 og 1995? Blir svaret det samme? Elevene kan finne ut hvor mange dødsfall det blir i 2010 ved å skrive x = 20 (hvis 1990 er år 0) og finne skjæringspunktet med grafen. Det klarer de fleste elevene. Men svaret stemmer bare hvis utviklingen fortsetter på samme måte, og det gjør den ikke i dette tilfellet. 1980 gir et negativt svar. Hva betyr det? Resultatet viser at elevene må se på gyldighetsområdet til modellen. Vi kan ikke si noe om antallet før den første målingen. Elevene kan også diskutere årsaker til nedgangen og deretter relativt stabilt antall narkotikadødsfall. Kan det være innsats mot narkotika på skoler, flere politifolk ute på patrulje, sykepleiere ute i byen, nye sprøyterom eller strengere straff ved salg? Veien videre Elevene kan utforske statistikk fra mange forskjellige fagfelt på denne måten. Eksempler er forbruk pr husholdning, folkeutvikling i kommunen de bor i eller Norges utslipp av klimagasser. Elevene kan finne relevant data på nettsidene til Statistisk sentralbyrå (www.ssb.no).
Opplegget består av to aktiviteter elevene skal gjøre i GeoGebra. Aktivitetene forutsetter at elevene kan tegne i GeoGebra. Elevene skal først tegne en figur som er et rektangel uansett hvordan de snur og vender på den. Deretter skal de tegne et rektangel med omkrets 24. Aktivitet 1: Tegn et rektangel Oppgave 1 til elevene Åpne GeoGebra og tegn et rektangel. Dra i hjørnene til rektangelet. Hva skjer? Kommentarer til læreren Mange elever bruker verktøyet Mangekant og tegner et rektangel på rutearket i GeoGebra, mens noen bruker Linjestykke mellom to punkt. Figurene de da får er ikke rektangler, men mangekanter som tilfeldigvis har form som rektangler. Når elevene tester figurene ved å dra i hjørnene, blir figurene til uregelmessig firkanter. Klassesamtale Aktiviteten fortsetter med en klassesamtale om egenskapene til et rektangel. Resultatet kan se omtrent slik ut: Et rektangel er en firkant der To og to sider er like lange To og to sider er parallelle Alle vinkler er 90° Diagonalene er like lange Diagonalene halverer hverandre Rektangler har alle disse egenskapene, men må elevene bruke alle egenskapene for å tegne et rektangel, eller er det nok med en eller to? Elevene skal diskutere i smågrupper for å finne ut hvor mange egenskaper de trenger for å tegne et rektangel. For eksempel: «Tegner vi alltid et rektangel når vi vet at to og to sider er like lange?» eller «Finnes det firkanter som har diagonaler som er like lange, som ikke er rektangler?». Målet med diskusjonen er at elevene selv skal komme fram til at dersom alle vinkler er 90°, så er figuren et rektangel. Det betyr at alle firkanter med fire rette vinkler er rektangler. Denne egenskapen skal elevene ta utgangspunkt i når de skal tegne et rektangel i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Slå av rutenettet og koordinatsystem. Tegn et rektangel som forblir et rektangel når du drar i hjørnene. Kommentarer til læreren Elevene skal de dra nytte av at et rektangel har fire rette vinkler. I dynamisk geometri skal en figur beholde formen uansett hvordan elevene snur og vender på den, for eksempel skal et rektangel være et rektangel selv om elevene drar i hjørnene. Dette kravet gjør det annerledes å tegne en geometrisk figur med dynamisk geometriprogram enn med papir og blyant. Elevene skal slå av rutenettet og koordinatsystemet når de arbeider med geometri i GeoGebra. De har lov til å bruke alle verktøyknappene, og derfor sier vi at vi tegner, ikke at vi konstruerer. For at GeoGebra skal tolke en samling av linjestykker som en figur, må elevene bruke verktøyet Mangekant. Da får figuren navn og farge, i tillegg til at GeoGebra beregner arealet. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Velg Linjestykke mellom to punkt for å lage et linjestykke. Dette gir punktene A og B og linjestykket f. Tegn Normal linje på endepunktene. Dette gir linjene g og h. Bruk Nytt punkt for å lage et punkt C som ligger fritt på linje g. Finn det fjerde punktet/hjørnet i rektangelet ved å tegne normalen gjennom punkt C på linje g (den får navnet linje i), og deretter lage Nytt punkt i skjæringspunktet mellom linjene h og i. Gjør rektangelet ferdig ved å bruke verktøyet Mangekant. Elevene kan med fordel gjøre linjestykke f og linjene g, h og i usynlig. Elevene kan nå forsøke å dra i hjørnene for å endre på rektangelet. Da ser elevene at figuren forblir et rektangel selv om de drar i de blå hjørnene for å endre størrelse, form og plassering. Selv om elevene har jobbet med rektangel som figur helt siden barnehagen, er begrepet «rektangel» ofte ikke godt utviklet hos mange elever. De kjenner til egenskapene, men har sjelden tenkt over at de har noe å si for en tegning. De færreste har tenkt over at to og to sider automatisk blir like lange og parallelle når alle vinkler er 90°. Det er viktig at elevene slår av rutenett og koordinatsystem når de jobber med geometri. Dersom de tegner alle figurer parallelt med rutenettet, kan det føre til en svak begrepsutvikling. Aktivitet 2: Tegn et rektangel med omkrets 24 Oppgave 1 til elevene Bruk kvadratiske plastbrikker til å lage rektangler med omkrets 24. Noter løsningene i en tabell. Det er lurt å være systematisk. Se på tabellen. Skriv ned noen observasjoner. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten er målet at elevene skal tegne et rektangel med en omkrets på 24 i GeoGebra. Aktiviteten starter med at elevene lager rektangler med omkrets 24 ved hjelp av kvadratiske plastbrikker. Elevene vil oppdage at det finnes mange løsninger, og de ser også at arealet endrer seg. Forslag til tabell: Side1 Side 2 Areal 1 11 11 2 10 20 3 9 27 4 8 32 5 7 35 6 6 36 7 5 34 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11 Klassesamtale I klassesamtalen studerer elevene og læreren resultatene i tabellen. Det er viktig at elevene oppdager at tabellen er symmetrisk, samt at summen av lengden og bredden alltid er 12 og at det er halvparten av omkretsen på 24. Læreren bør også forsikre seg om at elevene kjenner formelen for omkretsen til et rektangel. Deretter skal elevene og læreren sammen komme fram til sammenhengen mellom lengden, bredden og omkretsen til et rektangel. Formelen for omkretsen til et rektangel er: o = 2a+2b I dette tilfelle blir det 24 = 2a + 2b Her har vi en likning med to ukjente, hvor de ukjente er avhengige av hverandre. Blir a større, må b bli mindre og omvendt. Hvis vi kjenner a, kan vi finne b: b = `(24 - 2a)/(2)= 12 - a` Elevene må bruke denne sammenhengen mellom a og b når de skal tegne figuren i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Lag et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra. Bruk metoden fra aktivitet 1, oppgave 2 og sammenhengen mellom side a og b i et rektangel med omkrets 24 Kommentarer til læreren Aktiviteten krever at elevene bruker kunnskaper om algebra. Mange elever ser ikke sammenhengen mellom ulike emner i matematikk, og det å bruke algebra for å lage en tegning i GeoGebra kan være helt nytt for dem. Ved å bruke algebra i varierte situasjoner, vil elevene få en dypere forståelse for emnet. Elevene bruker først firkantbrikker til å lage rektangler med omkrets 24, og da finner de et endelig antall løsninger. Sidene har bare heltallsløsninger. I GeoGebra kan vi endre sidelengdene med små steg, noe som gir uendelig mange ulike rektangler med omkrets 24. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi linjestykket navnet «a». Linjestykke a blir den første siden i rektangelet. Tegn Normale linjer på linje a i både punkt A og B. Linjene får navnene linje f og linje g. Side b i rektangelet ligger langs linje g (eller linje f). Lengden til side b avhenger av lengden til a, når omkretsen er bestemt. Velg Sirkel definert med sentrum og radius i punkt B for å finne ut hvor lang side b skal være. Skriv inn høyre delen av formelen for b (lengden av b, gitt a). Marker skjæringspunktene, og tegn rektangelet med Mangekant. Vis omkretsen og arealet til rektangelet. Omkretsen finner du ved å velge Avstand eller lengde og klikke i mangekanten. Arealet finner du ved å vise «Verdi» for mangekanten. Legg merke til at rektangelet bare har to blå punkter (punkter som elevene kan dra i). Det kommer av at bredden er avhengig av lengden (når elevene endrer på a, endrer b seg). Lagre figuren. Elevene kan teste svarene de fikk i tabellen ved å dra i ett av de blå punktene. Finn rektangelet med det største arealet. Hvor lange er sidene da? Tips til alternativt undervisningsopplegg Dette undervisningsopplegget ser på sammenhengen mellom geometri og algebra. Dersom dere ønsker å se på sammenhengen mellom geometri, algebra og funksjoner, kan dere se på dette undervisningsopplegget: Sammenhengen mellom areal og omkrets til et rektangel.
To – tre elever spiller sammen på ett spillebrett. Spillerne kaster etter tur to terninger og lager en brøk der verdien på den ene terningen er teller, og den andre er nevner. Elevene skal bedømme størrelsen av brøken de lager, finne den prosenten som svarer til brøken og legge en av brikkene på ei rute som viser denne prosenten. Eksempel: Terningene viser 3 og 4. Du kan lage brøken `(3)/(4)` og legge brikken på 75 %, eller `(4)/(3)` og legge brikken på `133(1)/(3)%`. Dersom ingen ledige ruter passer til prosentene du kan lage, legger du brikken på ei av rutene med smilefjes. Når alle seks brikkene er lagt ut, flytter du en av brikkene som står på brettet. Spillet fortsetter til en av spillerne har fått tre på rad: vannrett, loddrett eller diagonalt. Matematiske sammenhenger Når vi jobber med sammenhengen mellom brøker, desimaltall og prosent må de betraktes som ulike symbolske representasjoner av samme forholdstall. Denne kunnskapen er nyttig i mange sammenhenger, for eksempel hvis man skal regne 25 % av 120. Man kan bare dele på fire, dersom man vet at en firedel er det samme som 25 %. På samme måte kan man tenke på 10 % som en tidel, så da kan man bare dele på 10 for å finne 10 %. Denne kunnskapen kan man bruke i videre beregninger. Vet man 10 %, så er halvparten av det 5 %. Så for å finne 5 % kan man dele på 10 og deretter dele på to. Det er til stor hjelp for elevene å få mange slike erfaringer som de kan bruke som referanser i arbeid med brøk og prosent. Med utgangspunkt i kjente erfaringsreferanser som null, en halv og en hel, kan elevene bygge flere referanser som en firedel, en tidel, en femdel, en seksdel, tre firedeler osv. I spillet Tre på rad – brøk og prosent skal elevene finne sammenhenger og forklare og begrunne omgjøringene de gjør. Elevene kan også etterhvert studere spillbrettet og diskutere tallene som er valgt. Hvorfor er det akkurat de prosentene? Hvorfor er noen av dem oppført flere ganger? Tabell 1 viser en oversikt over brøkene elevene kan lage når de bruker to vanlige terninger (1-6). Med utgangspunkt i kjente sammenhenger som for eksempel at halvparten kan uttrykkes som både `(1)/(2)` og 50 %, kan elevene resonnere seg fram til hvilken prosent som stemmer med brøken de har valgt. Eksempel: Lise har laget brøken `(4)/(3)`. Hun forklarer at det må være mer enn 100 % og mindre enn 150 %, fordi "tre tredeler" er 100 % og "fire og en halv tredel" er 150 %. Lise vet at en tredel er det samme som 33,33 (med uendelig mange desimaler), så da må `133(1)/(3)%` være riktig. Hun legger brikken sin på `133(1)/(3)%`. Dersom en ønsker å utvide spillet, kan elevene bruke andre terninger (0-9, 1-12 eller 1-20). Spillbrettet må da tilpasses de nye brøkene. Å finne ut hvilke prosenter som skal stå på spillbrettet kan være en fin oppgave for elevene.
Dette er et lommeregnerspill der elevene spiller to og to sammen. Spiller 1 taster inn et tall på lommeregneren. Spiller 2 multipliserer dette tallet med et annet tall, med det målet å komme så nær hundre som mulig. Spiller 1 multipliserer det nye svaret med et nytt tall for å komme enda nærmere hundre. Spiller 1 og 2 bytter på å multiplisere med nye tall til en av dem får 100 på lommeregneren. Eksempel på hvordan et spill kan bli: Spiller nr Taster inn, multipliserer med Tall på lommeregneren Refleksjon 1 64 64 2 1,5 96 For lite 1 1,2 115,2 Femten for mye 2 0,9 102,68 Nesten. Bare tre for mye 1 0,9 93,312 For lite igjen 2 1,08 100,77696 Jeg vant! Spillerne kan diskutere om tidelsplassen må være null, om hundredelsplassen må være null osv. Læringseffekten av spillet øker dersom elevene etterhvert diskuterer strategiene de har brukt. Spillet er godt egnet til å avdekke misoppfatninger og legger opp til en kognitiv konflikt hos elevene. Når tallet på lommeregneren i eksemplet over viser 115,2, må elevene reflektere over – og teste ut – hvilke tall de kan multiplisere med for å få et mindre tall så de kommer nærmere hundre. Elevene erfarer at ved å multiplisere med tall mindre enn 1, så blir svaret mindre. Spillet utfordrer misoppfatningen om at multiplikasjon alltid gjør svaret større, og fremmer i tillegg overslagsregning. En kan lage tilsvarende oppgaver der en bare har lov å dividere. Elevene får da oppleve at divisjon kan «gi et større tall».
Elevene arbeider i GeoGebra på hver sin PC, men de sitter i par så de kan diskutere. Opplegget har som mål å gi en dypere forståelse av arealet til trekanter. Mange elever klarer å finne arealet ved hjelp av formler uten at de forstår sammenhengen mellom variablene. I dette opplegget trenger elevene kunnskapene fra algebra for å finne alle mulige trekanter med areal 12. Forberedelse Opplegget er godt egnet til å la elevene øve på føring av oppgaver digitalt, slik de skal gjøre på eksamen. Elevene kan lage sin egen Wordfil der de skriver inn svar og limer inn bilder fra GeoGebra. Alternativt kan læreren la elevarket være tilgjengelig digitalt slik at elevene kan skrive inn svarene og lime inn resultatene fra GeoGebra. Det er en stor fordel om elevene blir kjent med utklippsverktøyet slik at de enkelt kan ta bilde av et valgt utsnitt i GeoGebra-vinduet, og deretter lime inn bildet i et tekstdokument. Vi anbefaler at elevene fester utklippsverktøyet på oppgavelinjen slik at det er lett tilgjengelig gjennom hele skoleåret. Utklippsverktøyet kan brukes i alle program, og eleven slipper dermed å forholde seg til mange ulike utskriftsmuligheter. Figur 1: Utklippsverktøy Aktivitet 1 Oppgavetekst fra elevark Bruk verktøyet Mangekant og tegn fire trekanter. Vis arealet til figurene. Flytt på hjørnene slik at alle figurene dine har areal som er så nær 12 som mulig. Lim trekantene inn i dokumentet. Beskriv så nøyaktig som mulig hvordan du har tenkt og hva du har gjort. Hvilke fellestrekk finner du mellom trekantene? Er du fornøyd med resultatet? Kommentarer til læreren Elevene skal komme fram til svaret gjennom å prøve og feile, og med litt tålmodighet klarer de fleste elever å lage trekanter med areal 12. Målet med aktiviteten er å gjøre elevene bevisst på at det finnes mange ulike trekanter med areal 12 (se tittelbilde). Læreren må godta at noen elever er fornøyde med at arealet er omkring 12. Oppgaven blir enklere ved å velge en eller ingen desimal under Innstillinger. Aktivitet 2 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebrafil. Velg Linjestykke med fast lengde. Skriv inn 8 i dialogboksen. Tegn en trekant der linjestykket med lengde 8 er en side. Vis arealet. Flytt på hjørnene slik at arealet blir lik 12. Gjør det samme en gang til slik at du har to trekanter med side 8 og areal 12 på arket. Lim trekantene inn i dokumentet. Sammenlign med figurene som du laget i aktivitet 1. Var det lettere eller vanskeligere å få lage disse trekantene? Gi en begrunnelse. Kommentarer til læreren Når elevene tegner et linjestykke med bestemt lengde, vil linjestykket alltid legge seg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet (horisontalt). Dersom elevene kun får erfaring med figurer som har sider som ligger parallelt med sidekanten, kan det føre til dårlig forståelse av egenskapene til figurer. Det er derfor lurt å be elevene om å bevege litt på linjestykket (se figur 2). Selv om den ene siden er kjent, er det ikke nødvendigvis lettere for elevene å finne trekanter med areal 12. Elevene kan ikke lenger dra i alle hjørnene til trekanten, men selv med en felles egenskap kan elevene finne mange ulike trekanter. Figur 2: Trekanter som ikke er parallelle med sidekantene til Grafikkfeltet. Aktivitet 3 Oppgavetekst fra elevark Denne oppgaven besvarer du uten å bruke GeoGebra. Bruk det du vet om trekanter. Hva må du vite for å kunne finne arealet til trekanter? Hvorfor finnes det uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8? Hva er felles for alle trekanter med areal 12 og side 8? Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene notere kunnskapene de har om beregning av areal, for eksempel kan de skrive ned formelen for arealet til trekanter og beskrive den med ord. Videre skal elevene begrunne hvorfor de kan tegne uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Elevene har arbeidet med arealformelen for trekanter mange ganger. Likevel vil mange ha vanskeligheter med å se hvordan en formel og en tegning henger sammen. Det er ikke selvsagt for alle elever at side 8 kan være grunnlinjen når den ligger på skrått på arket, eller at alle sidene kan være grunnlinjen til trekanten, og dermed brukes til å beregne arealet til trekanten. I neste aktivitet skal elevene utforske at alle trekanter med areal 12 og en side på 8 har samme høyde. Aktivitet 4 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil Tegn et linjestykke med lengde 8. Flytt litt på en av endepunktene slik at linjen ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn tre trekanter med areal 12 der linjestykket med lengde 8 er en av sidene. Hva observerer du? Tegn gjerne hjelpelinjer hvis det hjelper deg med å forklare. Kommentarer til læreren Når elevene har tegnet figuren med tre trekanter med samme grunnlinje, skal de se at det er mulig å tegne en linje gjennom alle punktene C. Denne linjen er parallell med grunnlinjen c. I GeoGebra er det ikke lett å måle avstanden mellom paralleller, og derfor forventes det ikke at elevene skal gjøre det. Hvis læreren vil vise høyden, er det enklest å tegne en loddrett linje gjennom et punkt C, finne skjæringspunktet med grunnlinjen og tegne inn linjen mellom to punkt. Figur 3 viser et eksempel på hvordan figuren vil se ut hvis elevene ikke tegner trekanter med nøyaktig areal 12. Da blir ikke høyden nøyaktig 3, og linjene er ikke parallelle. Elevene vil likevel oppfatte linjene som parallelle. Figur 3: Tre trekanter med samme grunnlinje og areal 12. Klassesamtale Når de fleste elever har kommet godt i gang med aktivitet 4 og noen har startet med aktivitet 5, er det lurt med en felles oppsummering av arbeidet så langt. Elevene arbeider ikke like fort, og derfor er det viktig å ikke vente med en oppsummerende samtale til alle elevene er ferdige. Mye av hjelpen som elevene kan gi hverandre ville da gå tapt. I klassesamtalen kan læreren kontrollere om alle elevene har forstått at det finnes en sammenheng mellom tegningene og formel for areal og hvorfor det finnes uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Ikke alle elever er klar over at avstanden mellom to parallelle linjer er lik uansett hvor de tegner den inn. Mange elever tenker at høyden må gå fra et bestemt punkt til motsatt side, så noen elever vil oppleve det som nytt at de kan tegne inn høyden hvor som helst på de to parallellene. Læreren må avgjøre hvor mye hjelp elevene trenger for å komme videre, for eksempel om elevene trenger hjelp til å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand (se figur 4). Det kan være lurt å gjøre aktivitet 5 i felles klasse siden fremgangsmåten for å tegne parallelle linjer i GeoGebra er noe forskjellig fra fremgangsmåten med papir og blyant. Ved å gjøre aktiviteten i fellesskap, får også alle elevene samme utgangspunkt for å prøve seg på aktivitet 6. Figur 4: Fremgangsmåte for å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand. Aktivitet 5 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil. Nå skal du bruke kunnskapene fra aktivitet 3 og observasjonene fra aktivitet 4 til å tegne en trekant med grunnlinje 8 og areal 12 hvor arealet ikke endrer seg uansett hvordan du flytter på hjørnene. Se på GeoGebra-hjelp dersom du trenger noen ideer. Bildet viser starten av konstruksjonen. Forklar hvordan du tenker. Kommentarer til læreren Elevene starter med å tegne grunnlinjen. Minn de gjerne om å bevege grunnlinjen slik at den ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn en parallell i avstand 3 (høyden til trekanten) og sett et punkt hvor som helst på parallellen. Tegn trekanten. Dette er en vanskelig oppgave som vi ikke kan forvente at alle elever klarer selvstendig, og derfor anbefaler elevene og læreren løser oppgaven i fellesskap. Aktivitet 6 Oppgavetekst fra elevark I denne oppgaven skal du lage en trekant med areal 12. Tallet 8 fra den siste oppgaven må du erstatte med en bokstav. Du kan velge hvilken som helst bokstav. I forklaringen er det valgt c. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi det navnet c. Når du skal tegne sirkelen, må du sette inn en formel for radius. Tenk over hvordan du regnet for å finne radius i aktivitet 5. For å gjøre ferdig trekanten, tegner du videre som i aktivitet 5. Test tegningen din ved å dra i hjørnene. Ta flere bilder og lim dem inn i dokumentet. Forklar hvorfor alle trekantene dine har areal 12. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten har elevene bruk for algebrakunnskapene sine. De begynner med et linjestykke med lengde c (grunnlinjen i trekanten). Formelen for arealet blir dermed: `h = (c * h)/(2)` For elevene kan det se ut som om dette er en likning med to ukjente, c og h. Men her er det bare h som er ukjent, mens c er lengden til grunnlinjen i trekanten. Det kan være uvant for elevene. Elevene får så en formel for høyden: `h = (12 * 2)/(c)` Hvis GeoGebra ikke tegner en sirkel, har elevene valgt for lang grunnlinje. Deretter kan elevene konstruere trekanten på samme måte som i aktivitet 5. Resultatet blir en trekant med areal 12 og tre blå hjørner som elevene kan bevege fritt. Elevene kan gjerne vise at det blir riktig selv om de bruker mange desimaler på sidelengdene. Dette står i kontrast til aktivitet 1, der det var vanskelig å få til areal 12 når elevene valgte 2 eller flere desimaler. Ekstra utfordring Aktiviteten passer for elever som vil utforske GeoGebra litt ekstra, og læreren kan gi den til elever som blir tidlig ferdig eller trenger ekstra utfordring. Oppgavetekst Lag en figur der du kan endre både areal og grunnlinje. Det vil si at du skal klare å tegne en figur med areal 10 og grunnlinje 12, og deretter endre figuren til å ha areal 18 og grunnlinje 4. Kommentarer til læreren Her må elevene velge en variabel for grunnlinje og en variabel for areal. Den enkleste framgangsmåten er at elevene starter med å lage Glider for c og A. Resten av konstruksjonen er som før, bortsett fra at elevene erstatter 8 med c og 12 med A. Ved å bevege på gliderne kan elevene stille inn nøyaktig hvilken lengde og areal de ønsker (se figur 5). Høyden til trekanten er gitt ved: `h = (2A)/(c)`, og det må elevene bruke når de skal lage sirkelen som bestemmer avstanden mellom grunnlinjen til trekanten og parallellen som høyden må ligge på (se figur 6). Figur 5: Trekant hvor elevene kan endre på grunnlinje og areal med glidere. Figur 6: Sirkel hvor radius er gitt av størrelsen på areal og grunnlinje. Oppsummering Målet med opplegget er å gi elevene en økt forståelse for geometriske sammenhenger. Ved å bruke algebra kan elevene komme fram til at sammenhengen mellom grunnlinje og høyde stemmer uansett lengden av grunnlinjen. GeoGebra gir elevene trening i bruk av dynamisk programvaren, og de blir kjent med fordeler og ulemper med digitale tegninger. At det er avgjørende å bruke den samme bokstaven bare en gang i hver tegning, tvinger elevene til en nøyaktighet som de ellers gjerne hopper over.
Aktivitet 1 Hvis du velger å bruke figurene uten navn skal elevene først sette navn på figurene. Elvene skal notere egenskaper som de mener er typiske for figuren. Vanlige svar kan være: Rektangel: to og to sider er parallelle alle vinkler er 90° diagonalene er like lange diagonalene halverer hverandre Kvadrat alle fire sider er like lange alle vinkler er 90° diagonalene er like lange Parallellogram … Rombe … Trapes … Drage To og to sider er like lange Diagonalene står normalt på hverandre I samtalen etterpå kan læreren oppfordre elevene til å se om alle egenskapene er nødvendig for å beskrive en av firkantene ovenfor. Er det noen egenskaper som er felles for flere firkanter? Kommentar til læreren For veldig mange elever er rektangler og kvadrater sidestilte figurer. Begge er firkanter med 4 rette vinkler. Det er ikke innlysende at kvadrater er spesialtilfeller av rektangler. Et tips kan være at man spør elevene om to og to sider er parallelle i et kvadrat. Svaret er ofte ja, …. men i et rektangel er ikke sidene like lange. Det tar tid til å få elevene til å forstå at man bare spør om sidene er parallelle og ikke spør etter lengden på sidene. Aktivitet 2 Alle rektangler er firkanter, men ikke alle firkanter er rektangler. Alle kvadrater er rektangler, men ikke alle rektangler er kvadrater Start opplegget med en fellessamtale om betydningen av setningene. Bruk god tid med elevene slik at de forstår innholdet. I det følgende skal de legge figurene i rekkefølge slik at de kan lage tilsvarende setninger bare ved å bytte ut navnet til firkantene. Parallellogram Rektangel To og to sider er like To og to sider er like lange To og to sider er parallelle To og to sider er parallelle Diagonalene er like lange Alle vinkler er 90° Rektangelet har alle egenskaper til parallellogrammet. Derfor er alle rektangler parallellogram men ikke alle parallellogram er rektangler. La elevene sortere figurene. Forslag for sortering: Kontroller om elevene har forstått det ved å spørre setninger som: Hvorfor vet du at: Alle kvadrater er trapeser? Alle romber er parallellogram? Alle kvadrater er rektangler? … Avslutt med å la elevene lage sin egen oversikt med figurer og sammenhengen mellom dem. Kommentar til læreren I et første forsøk plasserer elevene gjerne den uregelmessige firkanten, parallellogrammet, rektangelet og kvadratet i riktig rekkefølge. Trapeset er de mer ukjent med, men etter litt samtale om egenskaper går det greit. Mange elever vil slite med å plassere romben, da figuren ikke kan settes mellom to figurer. Elevene må da lage en veiskille som samles igjen ved kvadratet Hvis man gjennomfører denne aktiviteten på barnetrinnet kan det være lurt å ta bort dragen i første omgang. Det er figuren som elevene er minst vant med. Forslag med drage: Hvis læreren vil legge vekt på implikasjon og direkte bevis, kan det brukes eksempler som: Vis at et kvadrat er et parallellogram. Vis at et kvadrat er et trapes. Vis at et parallellogram er et trapes.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
