Proporsjonalitet
Proporsjonalitet og proporsjonal tenkning er grunnleggende i matematikk. Elevene vil møte proporsjonalitet i mange matematiske sammenhenger. Proporsjonalitet har sammenheng med multiplikasjon og multiplikativ tenking, divisjon, brøk, prosent, desimaltall, formlikhet, sannsynlighet og med funksjoner.
Læringsmål
- Del 1: Introduksjon til proporsjonale forhold
- Del 2: Skalere og justere forhold
- Del 3: Koble like proporsjoner, sammenligne ulike proporsjoner
- Del 4: Proporsjoner i hverdagssituasjoner
- Del 5: Utforsking av mengder/helhet
Forkunnskaper
Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, brøk
Introduksjon til proporsjonale forhold
Hensikt
Bli introdusert til proporsjonale forhold.
I går lagde bestemor jordbærsyltetøy. I dag lager hun også syltetøy, men bruker mer bær og mindre sukker enn i går. Smaker syltetøyet fra i dag søtere, mindre søtt, like søtt, eller er det for lite informasjon til å svare?
Viktig!
Be elevene tenke individuelt først, så snakke sammen i par/grupper. Be gruppene presentere sitt standpunkt i plenum. Be elevene begrunne svarene sine.
Lærerveiledning
Før man begynner å tallfeste situasjonene er det lurt å se mer kvalitativt på det. I arbeid med kvalitative problem kan ikke elevene benytte memorerte prosedyrer, men fokuserer heller på størrelsene som inngår og forholdet mellom dem. Slik kan læreren føre elevene mer gradvis inn i tankegangen istedenfor å gå for raskt til oppsett/algoritmer/formler.
I fjor brukte bestemor 3 kg sukker til 6 kg jordbær da hun lagde jordbærsyltetøy. Diskuter i gruppe og beskriv sammenhengen mellom sukker og jordbær! Prøv å gi ulike beskrivelser!
Viktig!
Vær nøye med å poengtere språk- og begrepsbruken: beskrivelsene som innebærer pluss og minus er beskrivelser av forskjeller, eller differanser. Beskrivelsene som innebærer ganging eller deling er beskrivelser av forhold. Additiv tenkning fokuserer på differanse og sier lite om forholdet. Multiplikativ tenking handler om forhold og skalering og vil gi den korrekte forståelsen av proporsjonalitet.
Lærerveiledning
I denne aktiviteten handler det om å identifisere forhold: her er det dobbelt. Skriv ned forslag fra elevene på tavla og suppler eventuelt med noen av de seks beskrivelsene som er nevnt under:
- det er 3 kg mer jordbær enn sukker,
- det er 3 kg mindre sukker enn jordbær,
- det er dobbelt så mye / to ganger så mye (egentlig dobbelt så mange kg jordbær som sukker),
- det er halvparten så mye sukker som jordbær (målt i kg),
- til hvertkg sukkerer det 2 kg jordbær,
- til hvertkg jordbærer det ½ kg sukker
La elevene analysere beskrivelsene med tanke på regneoperasjoner som er involvert: handler det om addisjon/subtraksjon eller multiplikasjon/divisjon? Sorter i to grupper: additive (de som er beskrevet med addisjon eller subtraksjon) og multiplikative (de som handler om multiplikasjon eller divisjon). Dersom elevene deler i fire operasjoner, godta det, men prøv å samle dem i additive (pluss og minus) og multiplikative (ganging og deling).
I a) er det snakk om mer enn, altså addisjon. Det er forskjellen som beskrives.
I b) er det snakk om mindre enn, altså subtraksjon. Det er forskjellen som beskrives.
I c) er det snakk om dobbelt så mye (eller to ganger), altså multiplikasjon. Det er forholdet mellom kg sukker og kg jordbær som beskrives.
I d) er det snakk om halvparten, altså divisjon. Det er forholdet mellom kg sukker og kg jordbær som beskrives.
I e) er det snakk om hvor mye jordbær det er til hvert kg sukker, altså en beskrivelse av forholdet mellom kg sukker og kg jordbær.
I f) er det snakk om hvor mye sukker det er til hvert kg jordbær, altså en beskrivelse av forholdet mellom jordbær og sukker.
Mamma har høstet 9 kg jordbær. Hun vil lage samme syltetøy som bestemor og vil at det skal smake like søtt. Søster sier at da må hun bruke 6 kg sukker. Bror sier at da blir syltetøyet altfor søtt. Har Søster eller Bror rett? Hvorfor?
Lærerveiledning
Her har Søster antagelig tenkt at Mamma har 3 kg mer jordbær enn Bestemor slik at hun trenger 3 kg mer sukker. Altså har Søster brukt en additiv tankegang, en vanlig misoppfatning. For å få like søtt syltetøy er det nødvendig å tenke proporsjonalt, altså at antall kg sukker skal være halvparten av antall kg jordbær.
Klar til å gå videre når
- elevene kan skille mellom en situasjon som beskriver en forskjell (differanse) og en situasjon som beskriver et forhold
Skalere og justere proporsjonale forhold
Hensikt
Kunne bruke en eksisterende proporsjonal sammenheng til å beregne nye mengder i en oppskrift og kunne uttrykke sammenhengen mellom proporsjonale størrelser og bruke dette i ulike problemstillinger.
- I fjor brukte bestemor 3 kg sukker til 6 kg jordbær da hun lagde jordbærsyltetøy. I år har hun høstet 18 kg jordbær. Hvor mye sukker trenger hun til 18 kg jordbær når hun vil ha akkurat like søtt syltetøy?
- Lag en oversikt over ulike mengder like søtt syltetøy.
- Bruk en av oversiktene klassen har laget til å svare på følgende spørsmål: Hvis bestemor bruker 5 kg sukker, hvor mange kg jordbær trenger hun for at syltetøyet skal smake like søtt?
Viktig!
I Aktivitet 4 er forholdet mellom jordbær og sukker at antall kg jordbær er dobbelt så mye som antall kg sukker (fast forhold). Legg merke til om elevene velger å multiplisere med 2 (fast forhold) eller om de tenker at det alltid er 3 kg mer jordbær enn sukker (fast differanse).
Lærerveiledning
La elevene utforske problemet (for eksempel i tilfeldige grupper på vertikale tavler). Ha som mål at elevene lager en hensiktsmessig oversikt, som for eksempel tabellen under. Diskuter de ulike oversiktene i plenum.
| Jordbær | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sukker | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
En mulig utvidelse med utgangpunkt i c): be elevene lage oppgaver til hverandre
Additiv tenkning er en vanlig feil i proporsjonalitetssituasjoner (18 kg jordbær er 12 kg mer enn 6 kg, så man trenger 12 kg mer sukker, altså til sammen 15 kg sukker; eller: 6 kg (jordbærvekta) er 3 kg mer enn 3 kg (sukkervekta), så til 18 kg jordbær trenger man 18 – 3 = 15 kg sukker).
Vær oppmerksom på at ikke-heltalls forhold kan trigge additive feil: for eksempel 3,5 kg sukker til 5 kg jordbær, hvor mye sukker til 8 kg jordbær? Siden tallene som inngår ikke er «pene», er det lett å henfalle til feilaktige additive strategier.
Bestemor syns at syltetøyet smaker perfekt når hun bruker 3 kg sukker til 6 kg jordbær. Hun vil ha en oversikt i en tabell som viser forholdet mellom sukker og bær for ulike mengder bær.
- Lag entabellmed andre tall enn de som er brukt i de tidligere oppgavene! For eksempel slik:
Jordbær (kg) Sukker (kg) 1 2 3,5 4 - Hvaermønsteret i tabellen?Kan du uttrykke sammenhengen mellom jordbær og sukkerpå engenerell måte?
- Hva om bestemor har 1,5 kg jordbær, hvor mye sukker trenger hun da?
Lærerveiledning
Her er det viktig å fokusere på det multiplikative forholdet: at det er dobbelt så mye jordbær som sukker. Dette uttrykkes med multiplikasjon: antall kg jordbær er lik 2 ganger antall kg sukker. Her kan det også være lurt å peke på at det samtidig betyr at antall kg sukker er halvparten av antall kg jordbær, noe som kan uttrykkes ved divisjon, at antall kg sukker er lik antall kg jordbær delt på 2.
Hvis det passer i klassen, kan du gjerne bruke brøk eller desimaltall.
- Bestemor har en venninne som vil ha søtere syltetøy. Hun har 4 kg jordbær. Hvor mye sukker trenger hun? Argumenter for et forhold mellom sukker og jordbær som bestemors venninne kan bruke.
- Lag en tabell eller en regel hun kan bruke hvis hun får mer eller mindre jordbær neste år.
Lærerveiledning
Diskuter de ulike svarene, hva kan realistisk sett bli for søtt/umulig?
I motsetning til de andre oppgavene som handler om å skalere innenfor samme forhold, er det nå snakk om å justere forholdet mellom jordbær og sukker slik at det er mer enn halvparten så mye sukker som jordbær. Det er i utgangspunktet uendelig mange svar. På a) vil alle svar på over 2 kg sukker være rett. Elevene bør velge «enkle» tall fordi oppgaven spør etter ei oppskrift (tabell eller regneuttrykk) som venninna kan bruke.
Klar til å gå videre når
- elevene kan skille mellom en situasjon som beskriver en forskjell (differanse) og en situasjon som beskriver et forhold
- elevene kan uttrykke en proporsjonal sammenheng og bruke det til å skalere og justere en oppskrift
Koble like proporsjoner, sammenligne ulike proporsjoner.
Hensikt
Kjenne igjen, vurdere og sortere proporsjonale situasjoner med ulike representasjoner. Finne sammenhenger, generalisere og koble uttrykk med konkrete kontekster.
- Her er tolv forskjellige kort. Oppgaven er å samle de kortene som beskriver det samme forholdet mellom sirkler og kryss. Hvorfor mener du at de kortene du har gruppert hører sammen?
- Lag et nytt kort som til hver av gruppene du har samlet der forholdet mellom sirkler og kryss er det samme.
- Uttrykk forholdet i hver bunke med to ulike representasjoner, for eksempel med ord, med tall, i en tabell, eller med andre symboler.
- Lag en kontekst til hver av bunkene, for eksempel en tegning eller en regnefortelling.
Viktig!
Det er ikke et mål at alle elevene skal uttrykke alle forholdene med alle mulige representasjoner.
Lærerveiledning
Læreren må kopiere, skrive ut og klippe opp kortene. Elevene kan samarbeide om å finne kort som hører sammen. De 12 kortene skal sorteres i bunker på 4, 4, 3 og 1 ut fra hvilke kort som viser samme forhold mellom antall sirkler og antall kryss.
Representasjoner og kommunikasjon er en viktig del av matematikkopplæringen, noe som betyr at vi bør legge vekt på at elever må få bruke matematiske representasjoner i ulike sammenhenger. Elever som kan veksle og oversette mellom matematiske representasjoner og dagligspråk og mellom ulike representasjoner utvikler en god begrepsforståelse.
Klar til å gå videre når
- elevene kan kjenne igjen like proporsjoner og beskrive når forhold er proporsjonale