Elevene skal lage ulike rektangler som har en omkrets på 24 lengdeenheter. En lengdeenhet er sidelengden til én brikke. Deretter skal de bruke regresjon for å komme fram til et uttrykk som beskriver arealet som en funksjon av sidelengden. La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Aktivitet 1 Elevene lager ulike rektangler med omkrets 24 ved å bruke kvadratiske brikker. De skriver opp sidelengde og areal i en tabell. Kommentar til læreren Oppfordre elevene til å tegne skisser av rektanglene, inkludert sidelengde og areal. Deretter samler de observasjonene i en tabell der rektangelets lengde er x-verdien og arealet er y-verdien. Hvis skolen ikke har kvadratiske brikker, kan elevene bruke fyrstikker eller tegne rektangler på ruteark. x, sidelengde y, areal Aktivitet 2 Elevene bruker regresjon i GeoGebra for å finne et funksjonsuttrykk. Kommentar til læreren Hvis elevene har brukt regresjon i GeoGebra tidligere, er aktiviteten en fin repetisjon. Hvis ikke, er det en fin aktivitet for å introdusere det til elevene. For at GeoGebra skal kunne finne et passende funksjonsuttrykk, må elevene først skrive inn x- og y-verdiene i hver sin kolonne i Regneark-vinduet. Deretter merker de alle verdiene og velger Regresjonsanalyse. Elevene kan velge ulike regresjonsmodeller, men vil raskt oppdage hvilken som passer best til punktene, nemlig et andregradspolynom. Oppsummering La elevene diskutere sammenhengen mellom rektangel og graf/funksjonsuttrykk i par. Etterpå er det fint med en oppsummering i helklasse. Gode spørsmål: Hva forteller grafen? Hva forteller toppunktet? Hva er den minste verdien for sidelengden til rektangelet? Hvorfor? Hva er den største verdien for sidelengden til rektangelet? Hvorfor? Det kan være fint å introdusere begrepene gyldighetsområde/definisjonsmengde og verdimengde for elevene i oppsummeringen. Den praktiske konteksten kan gjøre det lettere for elevene å forstå hva begrepene betyr. I tillegg viser opplegget hvordan de kan bruke en funksjon til å beskrive en geometrisk sammenheng. Oppleggene Andregradsfunksjoner 4 og Sammenhengen mellom arealet og omkretsen til et rektangel passer fint som fortsettelse.
Elevene skal bli kjent med hvordan koeffisientene til andregradsfunksjonen påvirker grafen. De bruker GeoGebra i utforskningen og arbeider parvis med hvert sitt elevark. Elevene bør skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Oppfordre elevene til å bruke begrep som funksjonsuttrykk, graf, ekstremalpunkt, toppunkt, bunnpunkt, andregradskoeffisient, førstegradskoeffisient og konstantledd. Prøv ut aktivitetene på forhånd slik at du vet hva elevene skal gjøre og hvilke problemer som kan oppstå, både faglige og tekniske. Minn elevene på å teste løsningene sine i GeoGebra. Aktivitet 1-3 Elevene skal variere én og én koeffisient ved hjelp av glidere i GeoGebra. De skal observere og beskrive hvilke egenskaper til grafen som endrer seg og som ikke endrer seg. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf når koeffisientene varierer. Kommentar til læreren Sørg for at elevene kjenner til begrepene koeffisient og variabel. I uttrykket elevene skal arbeide med står koeffisientene a, b og c for ukjente tall som er faste, mens variabelen x står for et ukjent tall som kan variere. Elevene kan ha nytte av å bruke sporing av punkter når de undersøker funksjonene. For eksempel ved å tegne ekstremalpunktet til funksjonen, høyreklikke på punktet og velge Vis spor. Når elevene beveger på en glider, vil GeoGebra tegne sporet til ekstremalpunktet. Det kan gjøre det lettere å beskrive hva som skjer. Når alle elevene har skrevet ned sine observasjoner fra aktivitet 1, kan det være lurt med en klassesamtale for å komme fram til hva en god beskrivelse bør inneholde. Velg ut noen elevpar som presenterer sine beskrivelser, og bruk disse som utgangspunkt for samtalen. Ved å undersøke likheter og ulikheter til hverandres beskrivelser, kan elevene bli bedre til å beskrive matematiske observasjoner med egne ord. Aktivitet 4 Elevene skal bruke erfaringene fra aktivitet 1-3 til å lage funksjoner som oppfyller gitte kriterier. Målet er at de skal få varierte erfaringer med andregradsfunksjoner. Kommentar til læreren I de fleste oppgavene skal elevene starte med å tegne en funksjon. Så skal de resonnere seg fram til hvordan de kan endre funksjonsuttrykket slik at grafen tilfredsstiller nye kriterier. Oppfordre elevparene til å lage hypoteser, resonnere og diskutere muntlig før de tester løsningene sine i GeoGebra. Elevene kan også lage oppgaver til hverandre. Oppsummering La elevene dele beskrivelsene fra aktivitet 1-3. Snakk også om utvalgte oppgaver fra aktivitet 4. Hvordan har elevene løst oppgavene og hvordan har de tenkt? På forhånd kan du gjerne spørre noen elevpar om å presentere løsningen sin og forklare hvordan de har tenkt.
I opplegget skal elevene bli kjent med andregradsfunksjoner gjennom å undersøke funksjonsuttrykk, graf og viktige punkter i GeoGebra. Elevene skal også tegne grafen for hånd i et koordinatsystem og digitalt med GeoGebra. La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene bør skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Forberedelse Klipp opp kortene og legg de i konvolutter, én til hvert elevpar. Skriv funksjonsuttrykket g(x) = 2x2 - 8x + 6 utenpå konvoluttene. Det er tre typer kort: et eksempel (grønne kort), et begrep (gule kort) og en forklaring (blå kort). Aktivitet 1 Elevene arbeider med å lage eksempler på funksjonsuttrykk til andregradsfunksjoner. Så skal de beskrive med egne ord hva som kjennetegner slike uttrykk. Målet er at de skal kjenne igjen funksjonsuttrykket til andregradsfunksjoner. Kommentar til læreren La elevparene få noen minutter på oppgaven før de presenterer forslagene sine for klassen. Skriv forslagene på tavla. Kom gjerne med egne eksempler, for eksempel om ingen elever har foreslått andregradsledd med negativ koeffisient. Velg så to eller tre av funksjonene og be elevene om å tegne grafene i GeoGebra. Så skal elevene lage en skriftlig beskrivelse av hva som kjennetegner funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon. La dem først arbeide individuelt. Deretter kan de diskutere beskrivelsene i elevpar og i hel klasse. Sørg for at det er tydelig at det er andregradsleddet som er kjennetegnet. Innfør navnet parabel på slike grafer. Eksempler på beskrivelser: Funksjonsuttrykket inneholder x2. Funksjonsuttrykket inneholder x-ledd av andre grad, men ingen x-ledd som har høyere grad. Funksjonsuttrykket inneholder et andregradsledd, og eventuelt også et førstegrads- og konstantledd. Vi kan skrive funksjonsutrykket som f(x) = ax2+ bx + c der a ≠ 0. Aktivitet 2 Elevene får utdelt konvoluttene med kort. De skal finne tre og tre kort som hører sammen. Målet er å bli bedre kjent med relevante matematiske begreper. Kommentar til læreren Tegn grafen til g(x) = 2x2 - 8x + 6 med GeoGebra på storskjerm eller la elevene gjøre det på egen PC. Oppsummer arbeidet i hel klasse slik at alle får en oversikt over faguttrykkene. På funksjonskortene kalles x for variabel. Endre det om du i stedet bruker fri variabel eller uavhengig variabel i ditt klasserom. Aktivitet 3 Elevene tegner grafen til andregradsfunksjonen fra aktivitet 2 på papir ved hjelp av en verditabell. Målet er at elevene skal kunne tegne grafen til andregradsfunksjoner for hånd. x -1 0 1 2 3 4 5 y Kommentar til læreren Tips elevene om at de kan bruke det de fant ut i aktivitet 2. Oppfordre dem til å sammenligne grafen sin med grafen GeoGebra tegner. Ha spesielt fokus på området der krumningen er størst, altså rundt bunnpunktet. Mange elever tegner grafen spiss i stedet for avrundet. Hvis noen elevpar blir ferdige, kan de fortsette med å lage verditabell til h(x) = x2 - 5x + 4 og tegne grafen på papir. Funksjonen har bunnpunkt mellom to heltall på x-aksen. Hvordan løser elevene det? Oppsummering Når alle elevene har tegnet minst en funksjon, er det klart for oppsummering. Be elevene om å skrive de nye begreper de har lært og hva de betyr (med deres egne ord). Oppsummer muntlig i hel klasse etterpå. Relevante faguttrykk er funksjon, funksjonens navn, variabel, andregradsledd, førstegradsledd, konstantledd, koeffisient, toppunkt, bunnpunkt, skjæring med x-aksen og skjæring med y-aksen. Be gjerne elevene om å sammenligne uttrykkene h(x) = x2 - 4x + 3 og i(x) = 3 - 4x + x2. Har rekkefølgen til leddene noe å si? Aktivitetene gir et godt utgangspunkt for å diskutere bruk av digitale verktøy. Hva er fordelene (og eventuelt ulempene) med å bruke GeoGebra til å tegne grafene istedenfor å tegne de for hånd? Andregradsfunksjoner II passer fint som fortsettelse. I opplegget blir elevene kjent med egenskapene til andregradsfunksjoner og sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf når koeffisientene varierer. Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.
Undervisningsopplegget: La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Denne oppgaven er åpen i den forstand at det ikke er formulert spørsmål hvor elevene skal finne de riktige svarene. Det er et opplegg hvor elevene skal arbeide med utforskning. Utgangspunktet er hundrekart og plastbrikker, og matematikken må tas i bruk som et verktøy for å observere, eksperimentere, gjette på systemer, prøve ut og verifisere eller forkaste gjetningen. De må analysere, systematisere og generalisere. De inviteres også selv til å formulere nye problemstillinger med utgangspunkt i systemet de forsker på. og til slutt kreves at de skal bevise at systemene de har funnet, er allmenngyldige. I slike utforskningsoppgaver får elevene erfaring i å tenke matematisk. Vi ønsker at de skal utvikle et repertoar av strategier for å løse matematiske problemer, og at de skal oppleve at matematikk er mer enn å bruke faste innlærte metoder til å løse bestemte typer oppgaver. Det gjelder ikke bare å huske regler og prosedyrer, men å være kreativ og våge å prøve seg fram og gjøre sine egne erfaringer. Et slikt arbeid er også en utfordring for læreren. Her kan problemstillingene ta mange ulike retninger, og det finnes ingen fasit. Vi oppmuntrer også læreren til å våge å la elevene ta styring over utforskningsarbeidet. I dette opplegget vil ulike elever utfordres på ulike nivåer. For noen elever vil det være et mål å kunne se og beskrive mønsteret i 2 x 2-kvadrater og kanskje utvide det til større kvadrater. Det kan være en hjelp å få tips om at resultatene kan fylles inn i en tabell. For andre elever vil det være en passende utfordring å finne et system i alle rektangler og kvadrater. når de kjenner systemet, kan de da si hvilke rektangler som gir et bestemt svar på regnestykket? Elevene utfordres også til å bevise de ulike systemene ved å bruke algebra for å generalisere. noen elever vil kanskje utvikle mønster i andre figurer enn kvadrater og rektangler. De vil støte på nye, men tilsvarende problemer. Læreplanen sier at "problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear". Dette er ferdigheter som må øves gjennom matematikkundervisningen på alle trinn. i dette opplegget refererer vi til kompetansemål i r2, men det er viktig at elevene tidlig får erfaring med problemløsning. opplegget med hundrekartet gir problemstillinger som kan passe for ulike nivåer og klassetrinn. På de neste sidene er gangen i arbeidet med en slik undersøkelsesoppgave skissert. Det er ikke laget elevark med oppgaver til dette emnet. Her skal elevene få arbeide mest mulig fritt. Pass på at det settes av tid i slutten av økta til oppsummering. Gangen i arbeidet Del først ut hundreark og brikker til elevene: (Kopieringsorginal) 1) Be elevene om å legge brikkene slik at de danner et 2 x 2-kvadrat, hvor som helst på hundrekartet. Nedenfor finner du to eksempler på plassering av brikkene. Gi elevene instruksjonene nedenfor. Be dem om å skrive hvilke tall de velger, og utregningene de gjør. Elevene skal bruke de fire tallene i rutene til et regnestykke etter et bestemt mønster: Tallene som danner en diagonal fra øvre høyre til nedre venstre hjørne multipliseres med hverandre. Trekk så ifra produktet av tallene i den andre diagonalen. Be elevene om å finne svaret på regnestykket i eksempelet ovenfor: 2 • 11 – 1 • 12 = Sammenlikn svarene elevene har fått. Be elevene undersøke hva som skjer når de legger stadig større kvadrater på hundrekartet. Mange kan trenge hjelp til å velge strategier som kan være nyttige for å se systemer. Én slik strategi er å sette resultatene opp i en tabell: 2) Etter at elevene har arbeidet en stund med dette, kan det passe å ta en plenumssamtale. Hva har de oppdaget? ser det ut til å være noe system her? NB! Vent med å forklare eller vise systemet generelt for alle. Det er viktig å forsikre seg om at alle har forstått hva de skal gjøre. 3) Be elevene fortsette undersøkelsen av liknende tilfeller. Det betyr at elevene selv må bestemme seg for hva slags lignende tilfeller de vil fortsette å undersøke. noen vil komme til å legge stadig større kvadrater, andre vil legge rektangler. Det er også mulig å legge fire brikker i andre mønster. Utfordring til elevene Formuler skriftlig hva du vil fortsette å undersøke. Formuler også dine egne gjetninger: Tror du resultatene vil følge et bestemt mønster? i tilfelle: Hvilket mønster? sjekk om det stemmer. Skriv ned det du erfarer og finner ut. 4) Prøv å hjelpe elevene til å finne ut mest mulig selv. Mange kan trenge hjelp til å velge strategier som kan være nyttige for å se systemer. 5) Når elevene har funnet en del systemer, er det tid for å generalisere og vise hvorfor alle kvadratene med samme størrelse gir samme svar. Anbefal dem å begynne med det enkleste - kvadratet fra pkt. 1. Hvordan vil de bygge opp et slikt bevis? a) Det må først presiseres hva man vil bevise. Be elevene skrive det som en påstand som skal bevises. b) Et bevis skal gjelde generelt, så de må generalisere. gi elevene et hint: Kall tallet i en av rutene for a. Kan tallene i de andre rutene uttrykkes ved hjelp av a? c) Regn ut det generelle tilfellet etter de samme reglene som før. Blir systemet bekreftet? d) Skriv til slutt en konklusjon, den skal relateres til påstanden. Tilsvarende metode kan brukes til å bevise systemene som skapes dersom brikkene legges ut i andre mønster. Forberedelse til oppsummering og oppsummering • Har elevene sett ulike systemer? Hvilke? • Hvilke strategier har de brukt? • Hva må til for å sette opp et bevis? Finn i løpet av økta noen elever som kan presentere arbeidet sitt i oppsummeringen. Slik kan man få belyst flere måter å løse problemene på, elevene får øving i å vise og begrunne strategiene sine og eksemplene som trekkes fram kan brukes til en konklusjon. Forslag til løsninger Forklaring ved hjelp av algebra: Hvis vi velger et kvadrat av fire ruter hvor som helst i hundrekartet, og kaller tallet i øverste venstre rute for a, hvordan kan vi da skrive tallene i de tre andre rutene ved hjelp av a? Lag nå et regnestykke etter samme regler som i forrige oppgave, men bare ved hjelp av de fire talluttrykkene som inneholder a. Hva blir svaret i dette regnestykket? Stemmer det med det du fant ut i forrige oppgave? Tallene i de fire rutene kan skrives slik: a a + 1 a + 10 a + 11 Og regnestykket blir: (a + 1) · (a + 10) – a · (a + 11) = a2 + a + 10a + 10 – a2 – 11a = 10 Dette vil alltid gjelde i 2 x 2–kvadrater i hundrekartet. Vi har vist det for et generelt tilfelle. Oppgave Elevene kan for eksempel utvide denne oppgaven ved å lage stadig større kvadrater: Legg brikkene i hjørnene av et 3 x 3-kvadrat: Vi lager regnestykke etter samme mønster: Multipliser tallet i øvre høyre hjørne med tallet i nedre venstre hjørne og trekk fra produktet av tallene i øvre venstre hjørne og nedre høyre hjørne. I eksempelet over blir regnestykket 3 • 21 – 1 • 23 = Hva blir svaret? Legg brikkene ut i samme mønster på andre steder på hundrekartet, lag regnestykker og regn ut. Hva ser du? Prøv å forklare hvorfor det blir slik du ser. Du kan forklare med ord eller på algebraspråket (dvs. med bokstaver). Hva skjer hvis vi i stedet for kvadrater legger brikkene ut i rektangelform? Hva blir svaret på regnestykket om vi lager et 2 x 3–rektangel? Både de turkise og de oransje brikkene nedenfor ligger i 2 x 3-mønster, men ikke på samme måte. Vi kan godt kalle formene 2 x 3 og 3 x 2. Blir det forskjell på svarene i regnestykkene i de to tilfellene? Oppgave Kan du legge brikkene i rektangler slik at svaret på regnestykket blir 30? Hvordan må de eventuelt legges da? Kan du legge brikkene slik at svaret blir 50? enn 60? 70? 80? 90? Forklar hva du gjør! Er det noen av disse oppgavene som kan løses på flere måter, dvs. ved å legge ulike rektangler? Generalisering Vi tenker oss igjen at vi starter i et tilfeldig valgt tall a. så tenker vi oss at vi legger brikkene i et tilfeldig valgt rektangel med bredde b og høyde h. Det betyr at tallet i øvre høyre rute blir a + (b – 1) og i nedre venstre hjørne a + 10 (h – 1). Hvorfor blir det slik? Finn svaret på regnestykket i hundrekartet på forrige side. Forklar hvorfor løsningen ikke er avhengig av tallet a som vi tok utgangspunkt i. Sammenlikn løsningen du har fått her med det du har regnet ut tidligere. Stemmer den generelle løsningen med utregningene du har gjort i eksemplene ovenfor? Den generelle løsningen kan skrives som 10(b – 1) (h – 1). Forsøk å arbeide med svaret du fikk til du får det på denne formen. Forklar hvorfor denne løsningen sier oss at vi får samme svar om et rektangel ”ligger” eller ”står på høykant”, bare det er like stort. Andre muligheter for å utvide oppgaven - I stedet for et 10 x 10–ark, kan vi bruke 7 x 7, 8 x 8 eller 9 x 9 osv. - Vi kunne også ha forsket på hva som skjer om vi legger andre former enn rektangler.
Arbeidsform La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Alternativ 1 to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke to skruer og en mutter skrudd sammen til ett stykke Alternativ 3 to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke en skrue og tre muttere skrudd sammen til ett stykke Alternativ 2 to skruer og en mutter skrudd sammen til ett stykke en skrue og tre muttere skrudd sammen til ett stykke Alternativ 4 to skruer og tre muttere skrudd sammen til ett stykke to skruer og to muttere skrudd sammen til ett stykke Undervisningsopplegget På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal samarbeide i par om å løse oppgavene. Oppgavene finner du som kopioriginal. Før du gjennomfører opplegget, er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp ligningssettene. Film {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/LyT28vlhibY.jpg?itok=dnmy2T5s","video_url":"https://youtu.be/LyT28vlhibY","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} Introduksjon Presenter planen for timene og læringsmålene. Elevene organiseres i par. Hvert par får utdelt en pose med skruer og muttere som er skrudd sammen. Det er ikke lov å skru delene fra hverandre. Ikke fortell elevene at du har satt fram vekter ved tavla. La elevene finne ut selv at de er nødt til å få vite hvor mye de sammenskrudde skruene og mutterne veier. Oppgave 1 Skruer og muttere Utstyr: Hver gruppe får utdelt et sett med skruer og muttere. Eksempel: 2 skruer og 1 mutter er skrudd sammen 2 skruer og 2 muttere er skrudd sammen Hvor mye veier en skrue? Hvor mye veier en mutter? Det er ikke lov til å skru dem løs fra hverandre. Kommentar til læreren Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger, eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?" Noen sett med skruer og muttere er slik at det er ganske lett å finne svarene uten å sette opp en likning mens med andre sett er det vanskeligere. Hvis du kjenner klassen godt, kan du planlegge på forhånd hvilke elever som skal ha de ulike posene. La gjerne elevene bytte poser etter hvert som de finner vekten til skruene og mutterne i posen de har fått. Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter: Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom vekten av skruer og muttere? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål hvis det er aktuelt. Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke s og m, mens noen kanskje vil skrive skruer og muttere. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Ved å bruke s og m kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. Hvis elevene spør om de har fått riktig svar, gir du dem en skrue og en mutter og ber dem veie dem selv for å sjekke løsningene sine. Forberedelse til oppsummering Det er to hovedmål med oppsummeringen. Det første målet er å vise at man kan finne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene. Det andre målet er å vise spesifikt at man kan sette opp et likningssystem og løse det, og at denne metoden kan illustreres, eller har sammenheng med å tenke systematisk med utgangspunkt i den praktiske oppgaven. Vår erfaring er at addisjonsmetoden er den metoden som passer best til å forklare den praktiske systematiske tenkingen/resonneringen i denne oppgaven. Dersom opplegget brukes til repetisjon, tar du utgangspunkt i metodene elevene har brukt tidligere. Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. La elevene forklare hva de har gjort, og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet og forsøk å lage en struktur på det slik at de to målene med oppsummeringen blir nådd. Oppgave 2 Griser og høns Utstyr: 40 fyrstikker og 24 brikker På gården til Truls er det griser og høns. I følge Truls, har disse dyrene til sammen 40 ben og 24 øyne. Finn ut hvor mange griser og hvor mange høns Truls har på gården sin, både ved hjelp av fyrstikker og brikker, og ved hjelp av likninger. Anta deretter at et ukjent antall stålormer sniker seg inn på gården. Det totale antall øyne og ben er det samme som før. Hvor mange griser, hvor mange høns og hvor mange stålormer har Truls på gården sin nå? Kommentar til læreren Denne oppgaven har høyere vanskelighetsgrad enn oppgaven med skruer og muttere. Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?" Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter: Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom griser og høns? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? i så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke g og h, mens noen kanskje vil skrive griser og høns. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker g og h, kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. I oppgave 2 må elevene tenke logisk og prøve og feile, praktisk og/eller ved regning. Forberedelse til oppsummering Målet med oppsummeringen er å vise at man kan fi nne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. La elevene forklare hva de har gjort og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet, og forsøk å lage en struktur på det slik at målet med oppsummeringen blir nådd. Videre arbeid Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka etter å ha gjennomført dette undervisningsopplegget. Som vi har skrevet ovenfor: Velg oppgaver med ulik vanskelighetsgrad fra boka og la elevene velge, under veiledning av læreren, hvilke oppgaver (vanskelighetsgrad) de vil arbeide med. Hvor mange timer elevene skal arbeide med oppgaver fra boka, må vurderes for hver enkelt klasse. Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.
Arbeidsform La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Undervisningsopplegget Her er oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal arbeide med oppgavene i par. Oppgavearket finner du som kopieringsoriginal. Før du gjennomfører opplegget er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. Ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp likningene. La elevene slite en stund før du gir direkte hjelp. Tenk også over hvordan du kan få i gang en diskusjon i oppgave 5. Film {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/5_ZoJax7CxI.jpg?itok=qNiTR9Du","video_url":"https://youtu.be/5_ZoJax7CxI","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} 1) Du skal bruke 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at: • den røde kolonnen inneholder 3 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 1 flere enn den blå kolonnen La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5. 2) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Her er det viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x, y og z for de ukjente, andre vil bruke r, g og b, mens noen kanskje vil skrive rød, grønn og blå. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x, y og z, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker r, g og b kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. Du kan gjerne stille gode spørsmål og gi hint til elever som vil ha hjelp og som du vet sliter med matematikk. Vent i det lengste med å gi dem direkte hjelp. Hvis du ser at flinke elever strever med oppgaven, så la dem holde på en stund før du gir dem hjelp. Våre erfaringer er at de som regel finner ut av det selv til slutt. 3) Bruk 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at: • den blå kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 2 færre enn den røde kolonnen La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5. 4) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Disse oppgavene har litt høyere vanskelighetsgrad enn oppgave 1 og 2. 5) Sammenlikn kolonnene og likningsuttrykkene fra oppgave 1 og oppgave 3. Forklar hva du ser og hvorfor. Kommentar til læreren Elever tror ofte at når de skal omforme praktiske situasjoner til likninger, så er det bare en måte å velge x (den ukjente i likningen) på. De stiller ofte følgende spørsmål: "Hva skal jeg velge som x?", "Har jeg valgt riktig x?" Vi vil at elevene, gjennom å gjøre disse oppgavene, skal forstå at hva de velger som x, ikke er avgjørende for å løse oppgaven. De vil få samme løsning uansett. selvfølgelig vil det i enkelte oppgaver være hensiktsmessig å velge en bestemt ukjent som x, men et av målene i dette opplegget er å vise at sammenhengen mellom de ukjente er konstant, uavhengig av hva de velger som x. 6) Bruk 13 brikker til å lage 3 kolonner slik at • den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen 7) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Disse oppgavene har høyere vanskelighetsgrad enn de tidligere oppgavene, da vi ikke tar utgangspunkt i den samme fargen i begge setningene. 8) Bruk 12 brikker til å lage 3 kolonner slik at • den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen 9) Lag minst to liknende oppgaver selv. Kommentar til læreren Det finnes ingen heltallig løsning på oppgave 8. siden dette er en praktisk problemstilling, finnes det ikke en løsning på oppgaven. La elevene forklare (bevise) at det ikke finnes en løsning ved å bruke brikkene. Du kan utfordre de flinke elevene til å vise at det ikke finnes en heltallig løsning ved regning. Forberedelse til oppsummering På hvilke måter har elevene løst den praktiske delen av oppgaven? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste den praktiske delen av oppgaven. Gjør tilsvarende med den teoretiske delen av oppgaven. Be elevene forklare hvorfor det ikke finnes noen løsning på oppgave 8. Hvis noen elever mener at løsningen deres er gyldig, la dem begrunne det. Diskuter gjerne dette med gyldighet av løsninger. Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Dette er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine i plenum. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. om du avtaler med noen elever på forhånd sikrer du også at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. Praktisk del La elevene vise hvordan de løste den praktiske delen av oppgaven på overhead. Hvilke strategier har de brukt? La dem forklare selv. Har de valgt en bestemt strategi, eller har de prøvd og feilet? Teoretisk del La elevene vise hvordan de løste de teoretiske oppgavene. Diskuter eventuelle ulike oppsett av likninger. La elevene forklare hvordan de har tenkt. I oppgave 5 vil elevene se at de får de samme kolonnene som i oppgave 1 og oppgave 3, og dermed samme svar på likningene. er likningene de samme? Hvordan er dette mulig? Mange elever tror at når man skal stille opp likninger, så er det bare en riktig måte å gjøre det på. Oppgaven over viser at det er mange måter å stille opp likninger på for det samme problemet. Hvorfor finnes det ikke noen løsning på oppgave 8? Kan elevene forklare det på forskjellige måter? Utvidelse Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka i etterkant av opplegget. Elevene kan få i lekse å løse noen av oppgavene de har laget selv. Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.
Areal Start med et A3-ark, mål hver av sidene og beregn arealet. Brett arket nøyaktig i to en gang, mål eller beregn sidene og arealet. Gjenta brettingen, og mål eller beregn hver gang sidene og arealet. Hvor mange brett klarer du? Fyll ut tabellen. Antall brett 0 1 2 3 4 5 6 lengde bredde areal Lag en matematisk modell som kan brukes til å finne arealet etter x brettinger. A(x)= Tykkelse Beregn tykkelsen på et ark ved å måle tykkelsen av det sammenbrettede godt sammentrykte papiret etter 6 brett. Alternativt kan en måle tykkelsen av en bunke som inneholder 500 ark. Tykkelsen av et ark: Når du bretter arket vil antall lag med papir og dermed tykkelsen på det brettede papiret øke. Fyll ut tabellen under. Antall brett 0 1 2 3 4 5 6 Antall lag med papir Tykkelse (mm) Framstill resultatene i tabellen grafisk. Finn en matematisk modell, T(x), for tykkelsen av papirene. T(x)= Rent teoretisk: Hvor mange ganger måtte du ha brettet hvis tykkelsen skulle passere 1 meter? Avstanden fra jorda til månen er ca 380 000 km. Rent teoretisk: Hvor mange ganger måtte vi brette hvis tykkelsen skulle bli like høy som avstanden fra jorda til månen? Eksempel på verdier: Arktykkelsen kan være (53:500)mm=0,106 mm Modellen for tykkelsen blir for eksempel T(x) = 0.106 · 2x Oppgaven er godt egnet til å jobbe med i regneark.
Klippe biter av tauet Elevene kan gjerne arbeide i grupper, 2-3 elever per gruppe er fint. 1. Start med å klippe til en hyssing som måler nøyaktig 100,0 cm. 2. Klipp av 20% av hyssingen. Ta vare på den avklipte biten, mål restlengden så nøyaktig som mulig og noter den i tabellen under. 3. Klipp av nøyaktig 20% av det som er igjen av hyssingen. Ta vare på den avklipte biten og noter restlengden i tabellen. 4. Gjenta til du har klipt av 8 biter. Klipp nr (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Restlengde(cm) 100,0 5. Finn en modell for restlengden etter at du har klipt av x biter. R(x)= 6. Hvor mange ganger må du klippe for at hyssingen skal være halvert? Undersøke de avklipte bitene 1) Legg nå de avklipte bitene etter hverandre på et ruteark. Start fra venstre med den minste biten (den du klipte av sist), og legg bitene etter hverandre i stigende rekkefølge bortover. La det være 1 cm mellom hver bit, og la nederste enden på alle bitene starte på ei vannrett linje nederst på rutearket. Hvis hyssingbitene krøller seg kan du merke av på rutearket hvor toppen av hyssingbiten skal være. 2) Mål lengden av bitene og noter lengdene i tabellen under. Bit nr (x) 0 (den minste) 1 2 3 4 5 6 7 (den lengste) Lengde (cm) 3) Finn en matematisk modell for lengden av de avklipte bitene. Sammenlikn med modellen R(x) som dere fant tidligere, og tenk over hvorfor vekstfaktoren blir som den blir. B(x)= 4) Er det mulig å få en bit på nøyaktig 100 cm ved hjelp av denne modellen? Ville det vært mulig hvis vi hadde klipt av flere biter? Finn historien om Akilles og skilpadden på Internet hvis du ikke kjenner den fra før. Hvordan likner den historien på det vi har arbeidet med her? Det er viktig å være nøyaktig med klipping og måling for å få bra resultat. De målte verdiene bør bli omtrent slik: Restlengde etter x klipp: Lengden av de avklipte bitene: De matematiske modellene kan også finnes ved hjelp av eksponentiell regresjon på lommeregneren. Om ønskelig kan modellen lages i regneark, formlene blir slik:
Forarbeid Elevene bør ha litt erfaring med eksponentialfunksjoner og gjerne noe erfaring med å bruke lommeregner eller annen programvare til ulike typer av regresjon. Beskrivelse Elevene arbeider i grupper, grupper på 3 passer fint. 1. Slipp en sprettball fra 200 cm høyde målt fra toppen av ballen. Mål spretthøyden til toppen av ballen for de 3 første sprettene. Fyll ut tabellen under. Det kan være lurt å gjenta målingen tre ganger for hver høyde og bruke gjennomsnittsverdien i tabellen. Sprett nr 0 1 2 3 Høyde til toppen av ballen (cm) 200 2. Foreslå en matematisk modell for spretthøyden for denne ballen. Du kan enten løse likning for å komme fram til en modell eller du kan bruke regresjon på lommeregneren. f(x)= 3. Kontroller modellen ved å slippe ballen fra en annen høyde, for eksempel 400 cm. Høyde Beregnet verdi Målt verdi 4. Får alle gruppene samme modell? Hvilke faktorer har betydning for modellen? Begrensninger? Tips til læreren/variasjonsmuligheter Eleven måler i første omgang høyden på bare første sprett. Når en skal måle høyden på neste sprett slippes ballen fra den høyden en målte i sprettet før. Eksempel på resultat når spretthøyden hver gang er 60% av forrige høyde: Sprett nr 0 1 2 3 Høyde til toppen av ballen (cm) 200 120 72 43 Eksponentiell regresjon på lommeregner er et alternativ. Hvis elevene har utstyr til og interesse for arbeid med film kan sprettene filmes og målingene gjøres på stillbilder av filmen.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
