Ingen beskrivelse
Lærer: Ingvill Merete Stedøy, Sverresborg skole Trinn: Alle
To elever spiller mot hverandre. Målet er å lage flest mulig linjer gjennom tre punkter. Læreren kan velge å gjennomgå opplegget muntlig i klassen eller å la elevene arbeide med utgangspunkt i et elevark. Aktivitet 1 Elevene åpner GeoGebra og velger at programmet skal vise både koordinater og rutenett. Så bruker de verktøyet Nytt punkt og tegner mange punkter i koordinatsystemet. Punktene skal ligge på rutenettet. I algebrafeltet kan elevene se koordinatene til punktene, og hvis alle punktene har heltallige koordinater, har de gjort det riktig. Elevene bruker så verktøyet Linje for å tegne linjer gjennom to punkter uten at GeoGebra lager nye punkter. La elevene prøve seg fram. I første omgang vil elevene ofte lage mange nye punkter, før de finner ut at de må trykke nøyaktig på de to punktene GeoGebra skal tegne linjen gjennom. Vis, ved å flytte på punkt og på linje, hva det vil si at to punkter ligger på linje. Endre farge, tykkelse og utseende på linjene (se under GeoGebra-hjelp litt lenger ned på siden). Kommentar til læreren I denne øvelsen lærer elevene at de må være nøyaktig når de jobber med digitale verktøy. Om punktene ikke ligger på linje, synes det tydelig i Grafikkfeltet. Pass på at det er valgt: Innstillinger- Navn på objekt- Ikke på nye objekt. Slik unngår elevene å få mange unødige bokstaver i Grafikkfeltet. Det er viktig at elevene aktiverer Flytt før de klikker på objektet de vil endre. Først da blir verktøylinjen for endringer synlig. Vær oppmerksom på at elevene velger verktøyet Linje og ikke Linjestykke mellom to punkt. Aktivitet 2 Elev 1 kaster terningene og bruker tallene på terningene som koordinater. Hun kan fritt velge mellom mulige kombinasjoner. For eksempel gir terningkast 2 og 5 følgende mulige koordinater: (2,5), (5,2), (-2,5), (-5,2), (5,-2), (2,-5) og (-5,-2). Eleven skriver inn koordinatene i Skrivefeltet for å legge inn det valgte punktet på riktig sted i koordinatsystemet. Elev 2 kaster så terningene og avsetter et punkt på samme måte. Elev 1 og elev 2 bytter på og avsetter mange punkter i koordinatsystemet. Begge spillere kan bruke alle punktene. Når en elev oppdager at hun kan legge inn det nye punktet, slik at tre punkter ligger på en linje, tegner hun linjen og fargelegger den med sin farge. Eleven får da 1 poeng. Hvis ikke alle punktene ligger på linje, sletter eleven linjen med returknappen. Noen ganger er mulig å lage flere linjer i et trekk. Eleven får da 1 poeng for hver linje. Dette gjelder også hvis hun kan tegne linjer gjennom tidligere avsatte punkter. De grønne linjene er riktige løsninger. Den røde linjen er ikke riktig siden punkt D ikke ligger på linjen. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten repeterer elevene plassering av punkter i koordinatsystem. Dersom elevene ikke har forstått betydningen til x- og y-koordinatene til punkter i et koordinatsystem, kan punktene komme på andre steder enn elevene trodde. Da er det ikke lov til å prøve på nytt. Hvis elevene har tegnet punkter på koordinataksene, er det viktig å få en forklaring fra elevene siden tallene på terningen går fra 1 til 6 og punktene på aksene må ha en koordinat lik 0. Elevene kan øve på at punkter på aksene har en koordinat som er 0 ved å bruke en terning med 10 sider og tall fra 0 – 9. Læreren kan variere aktiviteten ved å la elevene bruke verktøyet Nytt punkt for å sette inn punkter i Grafikkfeltet. Det er også mulig å differensiere aktiviteten ved å bruke bare positive akser, å bruke terninger med mer enn seks sider eller å gi elevene tre terninger, hvor elevene selv må avgjøre hvilke to terninger de bør lage punktet sitt med. GeoGebrahjelp Endre egenskaper for objekter Elevene må aktivere Flytt og klikke på ønsket objekt for å få fram verktøylinjen for egenskaper under Grafikkfelt. Klikk på den lille grå trekanten til venstre for ordet Grafikkfelt om linjen ikke blir synlig. I den første ruten velger elevene fargen (her grønn). I den andre ruten endrer elevene utseende og tykkelsen (her tykk og stiplet). I den tredje ruten bestemmer elevene hvordan GeoGebra skal vise benevningen (her skjult). Tilpasse koordinatsystem I denne oppgaven trenger vi et koordinatsystem med hele tall, fra -6 til 6, på aksene. GeoGebra skal beholde inndelingen når elevene forstørrer eller forminsker bildet. Navn på aksene er viktig. Klikk på et tannhjul, velg Grafikkfelt og xAkse Skriv x for Navn på aksen (NB: Skriv aldri inn noe under enhet) Kryss av for avstand 1 Bare i positiv retning (eventuelt) Gjør det samme under fanen for yakse (y-akse skal hete y). Det er ikke anbefalt å lagre disse innstillingene.
Introduksjon Start timen med en samtale om prismer. For eksempel: Hvordan ser et prisme ut, grunnflate, toppflate, volum, overflate og eventuelt noen formler. Det kan også være hensiktsmessig å se på sammenhengen mellom prisme og kube siden det ikke er selvsagt for alle elever at en kube er et spesialtilfelle av et prisme. Opplegget er laget slik at elevene, etter en kort innføring, jobber seg parvis gjennom et elevark . Det er en fordel at elevene gjør GeoGebra brukervennlig ved at de velger at GeoGebra skal vise hjelpelinje og ikke sette navn på nye objekt (se GeoGebrahjelp nederst på siden). Elevene jobber selvstendig med elevarket som inneholder en oppskrift. Elevene må lese en matematisk tekst og tolke det som står der, samtidig som de utfører oppgaven i GeoGebra. Selv om elevene jobber med hver sin PC, skal de jobbe sammen parvis eller i smågrupper. Det er viktig at de diskuterer med hverandre hvordan de skal tolke instruksjonen. Først når de har diskutert og prøvd, kan de spørre læreren. Før læreren svarer, er det viktig at hun sjekker om alle elevene i gruppen har det samme problemet. På den måten kan hun være mer sikker på at elevene jobber sammen og trener på å forklare for hverandre. Elevarket inneholder de samme tegningene som denne beskrivelsen av opplegget, men her står det i tillegg noen tips og henvisninger til vanlige feil og misforståelser. Utforsking og kommentarer til læreren Elevene åpner en ny fil i GeoGebra og velger å vise både rutenett og koordinatsystem. Så tegner de en Mangekant rundt origo. Antall hjørner spiller ingen rolle, men pass på at mangekanten ikke er for stor. Årsaken er at vi ønsker at elevene skal se hele figuren når de åpner Grafikkfelt 3D. Elevene åpner så Grafikkfelt 3D. Da får de se figuren som de har tegnet. Den ligger «på gulvet», altså i xy-planet. Elevene skal nå flytte på hjørnene til figuren både i Grafikkfelt og i Grafikkfelt 3D for å se om de ser sammenhengen mellom vinduene? For elevene er begrepet "xy-plan" ukjent, men de har tegnet mange grafer med x- og y-akse. Derfor kan det være fint for elevene å se at det de har jobbet med i 2D, finner de igjen i 3D. Ordet "gulvet" gir mening. Hvis elevene ikke finner figuren i Grafikkfelt 3D, må de høyreklikke i vinduet for å kontrollere om GeoGebra viser vinduet i Standard visning. Grafikkfelt 3D har verktøyknapper som er forskjellig fra verktøyknappene i Grafikkfelt. Elevene åpner undermenyene i knappen med pyramiden og velg Ekstruder til prisme eller sylinder. Så klikker de på mangekanten og skriver inn et lite tall (3, 4 eller 5) som høyde i tekstboksen. Da får de en figur som ligner figuren på bildet. Ved å velge et lite tall for høyden, slipper elevene å endre størrelsen til Grafikkfelt 3D. Det er imidlertid mulig å endre størrelsen i Grafikkfelt 3D ved å høyreklikke i feltet og velge Forstørr eller forminsk. Elevene skal nå passe på at Flytt er aktivert, og deretter klikke på den lille trekanten foran Grafikkfelt 3D. Da ser de en ny verktøylinje. Ved å klikke på de tre knappene til venstre, forsvinner koordinataksene, rutenettet og «gulvet». Disse endringene gjør at figuren ligner mest mulig på figurene i lærebøkene. Hvis figuren er i en boks, kan de fjerne boksen med andre knapp fra høyre. Elever som ikke finner verktøylinjen har enten glemt å aktivere Flytt eller glemt å klikke på trekanten foran Grafikkfelt 3D. Elevene må igjen kontrollere at Flytt er aktivert. Så finner de ordet Prisme i Algebrafelt og klikker på det. Hele figuren blir da markert. Elevene skal så gi figuren svarte kanter med så lite fyll som mulig. Det er viktig at de ikke tar bort all farge for da vil det ikke være mulig å se forskjell på synlige (heltrukkede) og usynlige (stiplede) linjer. Ved å venstreklikke og bevege musa i Grafikkfelt 3D kan elevene bevege prismet, og elevene skal undersøke hva som skjer med de synlige og usynlige kantene. Figuren ligner nå på figurene elevene kjenner fra læreboka, og når elevene snur på figuren vil de synlige og usynlige kantene hele tiden tilpasse seg automatisk. Elever som trenger ekstra utfordring kan jobbe med hele linjer (fjerne all farge slik at både synlige og usynlige linjer blir heltrukkede). Etter at elevene har studert prismet i ulike posisjoner, skal de snurre figuren tilbake til utgangspunktet. Elevene klikker på trekanten ved knappen lengst til høyre i verktøylinjen under Grafikkfelt 3D og finner fram til knappen med brillene. Figuren blir da utydelig, og de må se på figuren med 3D-briller. Elevene vil se at figuren "kommer ut fra" PCen, og det blir lettere å se sammenhengen mellom en tredimensjonal figur og figuren i læreboka. 3D-brillene gjør at alle figurer vil se grå ut. Deretter skal elevene finne verktøyknappen BrettUt (på samme undermeny som Ekstruder til prisme eller sylinder) og klikke på figuren. Prismet vil da bli brettet ut slik at elevene kan studere overflaten. Det blir samtidig laget en glider i Grafikkfelt, og ved å eksperimentere med glideren kan elevene undersøke overflaten ytterligere. Ved å høyreklikke på glideren og sette Animasjon på skjer utbrettingen automatisk i lavt tempo. Elevene kan ta av 3D-brillene og vise den vanlige figuren. Da kan det være fint å fargelegge de forskjellige sidene. Funksjonen BrettUt fungerer bare på figurer basert på mangekanter. Den lager et nytt lag utenpå prismet, og det kan forvirre noen elever. Da er det best å gjøre prismet usynlig ved å høyreklikke på prismets navn i algebrafeltet og trykke på Vis objekt slik at GeoGebra bare viser overflaten. På den måten samsvarer figuren bedre med elevenes forestilling. Hvis elevene har tegnet en mangekant med konkave hjørner, fungerer ikke verktøyet BrettUt. Eleven må da flytte på hjørnene i mangekanten slik at alle hjørner blir konvekse. Utforske videre Når elvene har laget og undersøkt prisme i 3D, kan de utforske andre figurer. Det finnes verktøyknapper for blant annet kule, terning og tetraeder i Grafikkfelt 3D, og elevene trenger ikke å gå veien om Grafikkfelt når de bruker disse. La elevene prøve seg fram. På elevarket foreslår vi en oppgave som går ut på å tegne en terning med en kule inni. Figuren er lettest å tegne ved at elevene legger kvadratet som utgjør grunnarealet til terningen rundt origo. Utfordringen blir å finne sentrum og radius til kula. Vær oppmerksom på at GeoGebra ikke oppfatter en sirkel i Grafikkfelt som en sirkelflate, men bare som en kurve. Elevene kan derfor ikke klikke på arealet til sirkelen. Hvis de derimot aktiverer Ekstruder til prisme eller sylinder og så klikker på sirkellinja i Grafikkfelt 3D blir sirkelen endret til en sirkelflate og tekstboksen for å skrive inn høyden vises. Til utforskning er det viktig at GeoGebra viser hjelp for verktøylinjen. Da kommer det opp en tekst ved siden av verktøylinjen som forteller hva knappene er til, og det gjør det lettere for elevene å vite hvilke knapper de skal bruke og hvordan. Oppsummering Læreren avslutter aktiviteten med en felles oppsummering. Aktuelle spørsmål til elevene kan være: Hva lærte dere i denne aktiviteten? Hvordan kan dere bruke disse erfaringene når dere arbeider med todimensjonale tegninger av tredimensjonale figurer? Hva var vanskelig? Hva var lett? Hva diskuterte dere i gruppene? Det kan også være aktuelt å velge ut noen grupper som viser fram sin figur og forklarer prosessen, utfordringene og diskusjonene de har hatt underveis. GeoGebrahjelp For å endre innstillinger, klikker elevene på tannhjulet i øvre, høyre hjørne eller høyreklikker i Grafikkfelt eller Grafikkfelt 3D og velger Grafikkfelt. Deretter velger de Utforming, og krysser av for Vis hjelp for verktøylinja. For læreren er det viktig at Inntastingsfelt står øverst, og det kan hun velge i øverste felt. GeoGebra gir automatisk alle nye objekt en etikett med navn i Grafikkfelt og Grafikkfelt 3D. Det blir fort uoversiktlig, og derfor er det lurt å krysse av for Ikke på nye objekt under Innstillinger. Elevene kan hente navn og verdi etter behov. I Grafikkfelt 3D kan det hende at GeoGebra setter navn på nye objekt likevel, men elevene kan ta bort disse. Ved å klikke på Lagre innstillinger, slipper elevene å gjøre denne prosedyren hver gang. I GeoGebra er det mulig å endre endre farge, linjestil og benevning på objekt. Først markerer elevene objektet de vil endre, og deretter velger de hva de vil endre. Hvis verktøylinjen ikke er synlig, må elevene klikke på den grå trekanten til venstre for ordet "Grafikkfelt".
INTRODUKSJON Før man gjennomfører opplegget, må læreren reflektere over spørsmål som kan stilles for å stimulere elevene i arbeidet. Ikke gi elevene svar på spørsmål, men still deg undrende til problemstillingene sammen med elevene. DIDAKTISK BEGRUNNELSE Gjennom utforsking og en induktiv tilnærming til lærestoffet vil mange elever oppleve en ny innfallsvinkel til dette temaet. De bygger selv opp forståelse for temaet, og i samarbeid og samtale med andre elever forsterker de begrepsdannelsen. For mange elever er det læringsstøttende å jobbe med konkreter og å visualisere oppgaven de skal løse. Det er også viktig å forberede spørsmål som underbygger forståelse for temaet, slik at elevene selv finner svar på oppgaven. Oppgaven gir rom for å trekke inn flere begreper fra sannsynlighet, og det gir læreren gode muligheter for å tilrettelegge for den enkelte elevs læring. OPPLEGG 1: VENNDIAGRAM AKTIVITET 1 Denne oppgaven gjøres i fellesskap. Målet er å vise oppbyggingen av venndiagram. I starten av timen må læreren skrive følgende oppgave på tavlen: I en klasse er det 29 elever. Når vi undersøker idrettsinteressen finner vi at 18 elever i klassen liker fotball, og 13 elever liker ski. 5 av elevene liker ingen av disse to idrettene. Mange elever vil si at læreren har gjort en feil, da 18 + 13 + 5 er mer enn 29. Dermed er klassesamtalen i gang, og man kan utfordre elevene til å systematisere opplysningene. Eleven får firkantbrikker og jobber parvis med systematiseringen. Velg først ut 29 blå brikker som illustrerer antall elever i klassen. Deretter tar du 18 grønne brikker som illustrerer det «å like fotball», og 13 røde brikker som illustrerer det «å like ski» Legg ut de 29 blå elev-brikkene på bordet. Skyv 5 blå elev-brikker litt for seg selv. Dette illustrerer de elevene som ikke liker noen av de to idrettene vi jobber med. Plasser brikkene med egenskapene «å like fotball» og «å like ski» oppå de blå elevbrikkene. Alle egenskapene må få plass. Med brikkene foran seg og på elektronisk tavle eller overhead, kan læreren stille følgende spørsmål til klassen. Læreren noterer svarene på tavlen. Hvor mange av de 29 elevene • Liker ikke noen av idrettene. • Liker kun fotball. • Liker kun ski. • Liker både fotball og ski. • Summer de fire svarene. Kan dere gi en begrunnelse for summen? Kommentar til læreren Elevene har nå funnet frem 29 brikker som illustrerer elevene i klassen. Av disse er det 5 elev-brikker som ikke skal ha noen egenskap, og de legges litt for seg selv. Det er da igjen 24 elev-brikker som skal gis egenskap. Av egenskaper har vi 18 som liker fotball og 13 som liker ski, altså har vi 31 egenskaper som skal plasseres totalt. Det betyr at det må være noen elever som liker både fotball og ski, og som derfor skal tillegges to egenskaper. Legg også merke til ordbruken i oppgaven. Det står at 18 elever liker fotball, det står ikke at 18 elever liker kun fotball. Dette er det fint om læreren påpeker overfor elevene, for da stimulerer læreren elevene til å diskutere hvordan de kan ha 31 egenskap-brikker, når det kun er 24 elev-brikker som skal ha egenskap. I store klasser vil det ikke være mulig at alle elever velger de samme fargene som blir anbefalt i teksten. Da er det viktig at elevgruppene noterer hva den enkelte fargen står for. Figuren nedenfor illustrerer hvordan elevene kan ha lagt brikkene. Her er røde og grønne brikker lagt oppå de blå, og det er 7 blå brikker med både en rød og en blå oppå. AKTIVITET 2 Elevene jobber videre med brikkene. Oppgavene gis muntlig. Gi elevene nok tid til å utføre oppgaven. Oppgave: Ta to mengderinger, ev. løkker av hyssing. På den ene ringen settes en klistrelapp med «liker fotball» og på den andre en klistrelapp med «liker ski». Plasser brikkene fra den forrige oppgaven slik at alle elevbrikkene får sin plass. Tenk over hvordan dere må legge ringene slik at dere kan plassere alle brikkene. Kravet er at det bare skal være brikker med én egenskap i hver mengde, dvs. i hvert «rom». Hvor mange brikker/elever er det i hvert rom? Kommentar til læreren Elevene skal nå bruke funnene fra forrige oppgave til å legge ringene. Elevene utfordres til å finne ut hvordan de skal plassere ringene slik at de får et «rom» som inneholder begge egenskapene, dvs. både fotball og ski. Poenget er at man får avgrenset mengdene slik at alle brikkene i hvert «rom»/mengde har samme egenskap. Denne delen av oppgaven oppleves erfaringsmessig som vanskelig for elevene når de gjør den kun ved regning. Å ha oppgaven konkretisert vil kunne hjelpe for å forstå oppgaven. Elevene vil kunne erfare at når samme person liker to idretter, så må det dannes et overlappende område mellom de to mengderingene. Når elevene har lagt ferdig brikkene, vil det ligge 11 blå/grønne, 7 blå/grønne/røde, 6 blå/røde og 5 blå brikker på bordet. Læreren bør vie dette punktet stor oppmerksomhet, og han må legge til rette for en god faglig dialog. Her kan man ta opp spørsmålene fra aktivitet 1. Nå skal det være lettere å finne svaret, da brikkene er sortert i enkelte mengder/«rom». AKTIVITET 3 Oppgaveark 1: Venndiagram 1 Elevene jobber i par med hvert sitt oppgaveark. Når elevene har forstått oppbygningen av venndiagrammmet, er det viktig at de får øve seg. Oppgavearket er bygd opp slik at de første oppgavene er enkle å gjøre med brikker, mens elevene må finne tallene uten konkreter i de siste oppgavene. Denne tenkingen viser veien til det som i neste opplegg blir forklart som «addisjonssetningen». Kommentar til læreren Når vi bruker venndiagram i matematikken, må man merke seg at det skal være en ytre ramme i tillegg til mengdesirklene. Også de 5 brikkene skal plasseres innenfor den ytre rammen. Hver brikke-stabel representerer et utfall, og mengden av alle brikkene utgjør utfallsrommet. Det er alltid viktig å skaffe seg oversikt over hele utfallsrommet når man arbeider med problemer i sannsynlighetsregning. Her introduseres skrivemåten med symboler. Det er viktig at elevene lærer seg de formelle kravene. For å bruke skrivemåten med symboler i sannsynlighetsregning, bør man lage forkortelser for alle kategorier (hendinger). Krev at elevene skriver hva de enkelte forkortelsene står for i hver ny oppgave. I oppgave 1 kan elevene skrive cola og solo på de to mengdesirklene, men hvis de vil bruke forkortelser, skal de skrive: C : (en tilfeldig valgt elev) liker cola S : (en tilfeldig valgt elev) liker solo I tillegg til antall i hver mengde (hvert rom), skal det også skrives totalt antall på rammen rundt (hele utfallsrommet). Fasit og merknader for oppgavene: AKTIVITET 4 Oppgaveark 2: Venndiagram 2 Vi går tilbake til utgangspunktet fra aktivitet 1: I en klasse er det 29 elever. Når vi undersøker idrettsinteressen finner vi at 18 elever i klassen liker fotball, og 13 elever liker ski. 5 av elevene liker ingen av disse to idrettene. For å få en god overgang til sannsynlighetsregning, innfører vi skrivemåten P(...) for «sannsynligheten for…» og en del symboler. Forkortelsene må forklares: F : (en tilfeldig valgt elev) liker fotball S : (en tilfeldig valgt elev) liker ski ∪ : union betyr «enten det ene eller det andre eller begge deler» (liker enten ski eller fotball eller begge deler). Ofte sier vi bare «eller» ∩ : snitt betyr «og samtidig» eller «både – og» (liker både fotball og ski). Ofte sier vi bare «og» Strek over symbolet betyr «ikke» (liker ikke fotball) F \ S : Skrå strek betyr «uten» eller «men ikke» (liker fotball, men ikke ski) Oppgave 1 Fargelegg de ulike mengdene i Venndiagrammene nedenfor: Nå bruker vi det vi har lært til å regne sannsynligheter. Oppgave 2 Oversett til symbolspråk og regn ut følgende sannsynligheter: • Sannsynligheten for at en elev liker fotball. • Sannsynligheten for at en elev liker ski. • Sannsynligheten for at en elev ikke liker noen av idrettene. • Sannsynligheten for at en elev liker både fotball og ski. • Sannsynligheten for at en elev liker ski eller fotball. • Sannsynligheten for at en elev kun liker ski. Kommentar til læreren De fire nye symbolene kan illustreres med skisser der man fargelegger de aktuelle mengdene. La elevene foreslå hvilken mengde som skal fargelegges i hvert av tilfellene. Bruk god tid på å oversette fra tekst til symboler, og sørg for at symbolene alltid oversettes til ord når de leses. P(F) leses som «sannsynligheten for at en (tilfeldig valgt) elev liker fotball». (P står for probability.) Sannsynlighetene er forhold mellom to tall. Det er viktig å vite hva man skal dele på, dvs. hva som er «det hele» eller utfallsmengden. I alle disse eksemplene finner vi hvor stor del de enkelte delmengdene utgjør av antall elever i hele klassen. Elevene har antakelig lært at sannsynligheter kan skrives både som brøk, desimaltall og prosent på ungdomsskolen. Dette er en fin anledning til å se sammenhengen mellom de tre ulike måtene å skrive samme tall på. Spesielt for elevene på 1T er det viktig at læreren understreker at brøksvaret er et eksakt svar, mens desimaltall og prosent er et mer eller mindre nøyaktig svar. UTVIDELSE AV OPPGAVEN Tre mengderinger gir flere valgmuligheter. For å jobbe med begrepene «union» og «snitt», kan det være en mulighet å skravere de ønskete områdene uten å bruke tall. I en gruppe personer leser noen Dagbladet, noen Morgenbladet og noen Aftenposten. Marker området for alle personer som leser nøyaktig to aviser. Marker området for alle personer som leser Dagbladet og Morgenbladet. Marker området for alle personer som leser Aftenposten eller Dagbladet, men ikke Morgenbladet. Osv. OPPLEGG 2: ADDISJONSSETNINGEN I dette opplegget skal elevene få en forståelse for addisjonssetningen ved hjelp av venndiagram. Elevene jobber i par med oppgaveark. Oppgave 1 En gruppe med 20 personer ble spurt om de har søsken. 12 svarte at de har brødre, 10 at de har søstre, mens 6 personer er enebarn. Legg informasjonen med brikker inn i et venndiagram. Sett navn på mengdene. Skriv antallene inn i venndiagrammet. » Bruk forkortelsene » B: har brødre » S: har søstre Finn sannsynlighetene Oppgave 2 Addisjonssetningen i sannsynlighet er gitt ved formelen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Skriv setningen slik at den passer til oppgave 1 ovenfor. Forklar det som står i formelen med ord. Oppgave 3 I en skoleklasse på 28 elever ble det gjort en undersøkelse for å finne ut hvem som hadde vært i Tyskland og hvem som hadde vært i Frankrike. Det viste seg at 13 elever hadde vært i Tyskland, 15 hadde vært i Frankrike, mens 4 ikke hadde vært i noen av disse landene. Skriv opp forkortelsene du vil bruke. Tegn opplysningene inn i venndiagrammet. Bruk addisjonssetningen og finn sannsynligheten for at en elev i denne klassen har vært i Tyskland eller Frankrike. Oppgave 4 En gruppe på 25 elever blir spurt om de går på ungdomsskolen eller på videregående skole. 15 elever svarer at de går på ungdomsskolen, 8 elever svarer at de går på videregående skole, og 2 elever svarer at de ikke går på skole. Tegn opplysningene inn i venndiagrammet. Skriv opp forkortelsene du vil bruke. Bruk addisjonssetningen og finn sannsynligheten for at en elev går på videregående skole eller på ungdomsskolen. Hvorfor er denne oppgaven mye enklere enn oppgave 2? Kommentar til læreren Prøv å få elevene til å se og forklare hvorfor formelen stemmer med venndiagrammet. Se spesielt på hvorfor man må trekke fra sannsynligheten for snittmengden for å finne sannsynligheten for unionen. Det er viktig å problematisere ordet «eller». Pass på at elevene leser forkortelsene med fulle setninger. OPPSUMMERING Til slutt må man se tilbake og få et overblikk over hva man har arbeidet med og lært gjennom klassesamtale. Bruk elevenes arbeider med konkretene som innfallsvinkel til oppsummering. Ta utgangspunkt i venndiagrammet, og la elevene beskrive funnene de har gjort, og hvordan de har jobbet med oppgaven. Se spesielt på overgangen fra venndiagrammet til sannsynlighetsregning. Løft gjerne frem noe av det elevene har skrevet for å synliggjøre at det er viktig at de dokumenterer arbeidet sitt. Opplegget viser hvordan man kan jobbe med mer kompliserte oppgaver uten å bruke faguttrykkene i undersøkelsesfasen, men heller bygge opp disse etter hvert. Hovedfokuset er rettet mot forståelse for temaet, for deretter å formalisere det med faguttrykk og formler.
Opplegget har tre aktiviteter, hver av dem med utgangspunkt i oppgaver som læreren gir elevene muntlig. AKTIVITET 1 • Tenk deg et kvadrat laget av 81 kvadratiske brikker. De ytterste brikkene i kvadratet kaller vi rammen. Hvor mange brikker er det i rammen? Kommentar til læreren Svaret 32 noteres på tavlen. Selve svaret er uinteressant, for i dette opplegget er det viktigere å fokusere på de ulike strategiene elevene bruker. Læreren skal notere alle de ulike fremgangsmåtene elevene har brukt for å komme frem til 32. AKTIVITET 2 • Tegn eller legg en figur som viser hvordan du har tenkt. • Tegn eller legg figurer som viser andres tenkemåter. Kommentar til læreren Elevene blir først utfordret til å visualisere sin egen løsning ved å tegne den eller legge den med brikker. Etterpå skal de sette seg inn i løsninger som andre elever har presentert og tegne disse løsningene. AKTIVITET 3 • Alle figurene som er laget hittil, kaller vi for figur 9, da sidene er 9 brikker lange. • Hvis det var n brikker langs siden, hvor mange brikker trenger man da til rammen? Start med å lage eller tegne figur 4, 5 og 6. Kommentar til læreren Før utvidelsen til n bør elevene begynne med mindre kvadrater. Det går raskere og det er lettere å beholde oversikten dersom man legger få brikker. Derfor oppfordres elevene til å starte med et kvadrat med sidelengde 4, så et med sidelengde 5, for så å fortsette med sidelengde 6 osv. Det er en fordel at elevene samler resultatene i en tabell der de ikke bare noterer svaret, men også regnestykket som ligger bak. Da er det lettere å se hva som endrer seg og hva som forblir likt. Overgangen fra tall til variabel er vanskelig for mange elever, og det er viktig at disse elevene får nok tid. Andre elever vil derimot finne formelen for n direkte ut fra samtalen i den første oppgaven. Hvis forklaringene er tydelige og tegningene er gode, er det bare å erstatte 9 med n. Disse elevene trenger selvsagt ikke å lage mange kvadrater, men trenger nye utfordringer. Se utvidelsen av oppgaven. Læreren må ta seg tid til å vise at alle tenkemåtene er riktige, og at alle formlene gir det samme svaret. Det er viktig å vise at alle svarene er riktige ved å omforme dem algebraisk. UTVIDELSE AV OPPGAVEN Elevene oppfordres til å legge et rektangel og finne formler for rammen rundt figuren. Siden forholdet mellom sidene er valgfritt, vil denne oppgaven ha individuelle svar.
Opplegget er tilpasset elever i den videregående skolen, men kan også passe for elever på ungdomstrinnet (med noen tilpasninger). Elevene arbeider grupper på to eller tre. De skal undersøke tårn av terninger og beskrive de matematiske sammenhengene. I aktivitet 1 og 2 arbeider elevene på vertikale tavler, og i aktivitet 3 arbeider de i GeoGebra. Pass på at alle elevene bygger tårnene på samme måte i aktivitet 1 og 2 slik at klassen kan sammenligne beskrivelsene i helklassesamtaler. Aktivitet 1 Elevene bygger tårn ved å sette terninger oppå hverandre, én og én (tittelbildet til aktiviteten viser hvordan). De skal undersøke hvor mange synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Elevene arbeider på vertikale tavler. Når en gruppe har funnet antall synlige sider for flere tårn med terninger, kan læreren stille spørsmål som leder elevenes tanker mot det generelle. For eksempel «Hva om dere skal bygge et tårn med 10 terninger?» eller «Kan dere forutse hvor mange synlige sider et hvilket som helst tårn får?». Elevene vil ofte starte med å beskrive mønsteret ved hjelp av tegning, tekst eller tabell. Så vil de oppdage at økning fra et tårn til tårnet som har en terning mer er lik, altså den rekursive sammenhengen. For eksempel at antall synlige sider øker med fire eller at tn = tn-1 + 4 t hvis t er antall synlige sider. Strategien fungerer fint så lenge elevene arbeider med påfølgende tårn, for eksempel tårn 1 og 2. Når elevene skal finne antall synlige sider til ikke-påfølgende tårn, blir strategien mer arbeidskrevende. De fleste vil da begynne å lete etter en eksplisitt formel som ikke er avhengig av at de vet antall synlige sider til det forrige tårnet, kun hvilket nummer tårnet har. Formlene vil se annerledes ut for ulike elevpar, avhengig av hvordan de beskriver mønsteret. Derfor er det viktig med en helklassesamtale hvor elevene deler løsningene sine og argumenterer for dem. Bruk god tid og sørg for at elevene forstår hverandres løsninger. Løsninger som inneholder feil, er gode utgangspunkt for læring. Diskuter hvorfor og gjør om slik at dem blir riktige. Omskriv gjerne alle de riktige løsningene til det samme uttrykket for å vise at de er like. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Jeg ser fire sider på alle terningene pluss én side på toppen»: 4t + 1 «Jeg ser fem sider på den øverste terningen og fire sider på de andre terningene»: 5 + 4(t – 1) «Alle terningene har seks sider. Siden jeg ikke ser sidene mellom terningene, må jeg trekke fra to sider for hvert mellomrom. Det er ett mellomrom mindre enn antall terninger. I tillegg ser jeg ikke siden mot bordet»: 6t - 2(t – 1)-1 Aktivitet 2 Elevene undersøker hvor mange ikke-synlige sider hvert tårn har. Deretter beskriver de sammenhengen mellom antall terninger og antall ikke-synlig sider matematisk. Til slutt deler elevene løsningene sine i helklasse. Kommentar til læreren Hvis mulig, gi elevene en ny tavle å skrive på, slik at de kan beholde notatene fra aktivitet 1. Eksempler på eksplisitte sammenhenger/formler: «Det er et mellomrom mindre enn antall terninger. Hvert mellomrom har to ikke-synlige sider. I tillegg må jeg legge til siden mot bordet.»: 2(t – 1) + 1 «Det er en ikke-synlig side ned mot bordet. For hver ny terning får jeg to nye ikke-synlige sider.»: 1 + 2(t – 1) «Hver terning har seks sider som enten er synlig eller ikke. Da må antall ikke-synlige sider være det samme som antall sider totalt minus antall synlige sider.»: 6t - 4(t + 1) Hvis elevene summerer antall synlige og antall ikke-synlige sider får de det totale antall sider på terningene. Det er logisk ettersom en side enten må være synlig eller ikke. Aktivitet 3 Elevene bygger tårn med terninger etter selvvalgt mønster. De bruker regresjon i GeoGebra til å finne en formel for sammenhengen mellom antall terninger i tårnet og antall synlige/ikke-synlige sider. Kommentar til læreren Mange elever synes det er vanskelig å finne eksplisitte formler. Regresjon med GeoGebra kan hjelpe elevene med å finne en formel basert på observasjonene de har gjort av antall terninger/tårn-nummer og antall synlige/ikke-synlige sider. Først legger elevene inn observasjonene sine i regnearket, markerer verdiene og velger Regresjonsanalyse. GeoGebra tegner da opp verdiene som punkter. Vanligvis er x antall terninger og y er antall synlige/ikke-synlige sider. Så finner elevene regresjonsmodellen som passer best til punktene. Bruk tid på å diskutere sammenhengen mellom uttrykk og mønster. Kan de beskrive mønsteret ved hjelp av uttrykket? Hvis elevene gjør regresjon med observasjonene fra aktivitet 1 og 2, vil modellen stemme overens med (forenklet versjon av) utrykkene de fant i aktivitet 1 og 2. Ved å kopiere regresjonen til Grafikkfeltet, kan de arbeide videre med den som en funksjon (se figur 1). Oppsummering Erfaringer med varierte representasjoner kan bidra til dybdelæring. I dette opplegget arbeider elevene med konkreter (terninger) og de kan bruke ulike matematiske representasjoner som tegning, ord, tabell, formel og graf. I oppsummeringen kan det være fint å diskutere sammenhengen mellom de ulike representasjonene.
I denne oppgaven skal elevene forsøke å gjøre et overslag over hvor mye en hest veier uten bruk av vekt. For å klare det må de ta i bruk litt algebra med formelregning, for det fins en formel som tar utgangspunkt i hestens brystmål for å angi cirka vekt. Formelen avhenger av hvilken type hest elevene har; lett edel rase, tung rase eller ponni. Oppgaven kan først brukes ved at elevene tar brystmål på egne hester og deretter anslår vekt. Når elevene føler seg trygge på formlene, går det an å øve på å finne brystmål ut fra ei angitt vekt. Gjennomføring i praksis Brystmålet måles rundt hesten; over manken, bak skuldrene, under magen og opp til manken igjen. Under viser et bilde hvor eleven skal måle. Målebåndet legges der den røde linjen er tegnet. Det finnes formler som gir oss muligheter til å anslå vekta til en hest ut fra brystmålet. Siden noen hester er grovt bygd, men andre er spinklere bygd, har vi tre ulike formler, en formel for lette edle raser, en for tunge raser og en for ponnier. Når brystmålet måles i cm blir vekta angitt i kg etter følgende tabell: Lett edel rase VEKT = 4,5 x BRYSTMÅL - 370 Tung rase VEKT = 6,25 x BRYSTMÅL - 625 Ponni VEKT = 3,25 x BRYSTMÅL - 185 Oppgave Hvorfor er det viktig å kunne vite hvor tung en hest er? Med utgangspunkt i egen og andres hester: Ta fornuftige mål og anslå vekta på noen hester ut fra hvilken rase du mener hesten tilhører. Agnes har en varmblodshest som veier 440 kg. Bruk riktig formel og prøv å regne ut brystmålet. Nils finner deler av en gammel tabell der det ser ut som om det står: Brystmål ….. 190 200 ….. Vekt ….. 562,5 625 ….. Hvilken type hest gjelder denne tabellen for? Refleksjon/ vurdering La rytterelevene/ hesteeierne ta ansvar for hver sin gruppe. La hver gruppe levere en kort rapport over de vurderinger, målinger og resultater de har kommet fram til. Oppsummeringen kan godt gjøres muntlig i ettertid. Da er det enklere å følge opp med utdypingsspørsmål.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
