Digitale hjelpemidler gjør det mulig å starte med temaet «Funksjoner» på en utforskende måte. Opplegget starter med at elevene skriver inn ti funksjoner i GeoGebra. Elevene skal så finne sammenhenger mellom funksjonene ved å studere innholdet i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. GeoGebra gjør det enkelt å sammenligne mange funksjoner i løpet av kort tid, noe som gjør det lettere for elevene å observere og analysere funksjonene. Anbefalte andre opplegg Rette linjer – et spill for to (Ungdomstrinn/VGS) Aktivitet 1 Elevene får utdelt hvert sitt elevark. Det er en fordel om kopien er tosidig. De skriver inn alle funksjonene i Skrivefeltet og gir hver funksjon ulik farge. Deretter gjør de alle funksjonene usynlige ved å trykke på sirkelen foran funksjonsnavnet i Algebrafeltet. Kommentar til læreren Elevene trenger ingen forkunnskaper i GeoGebra for å gjennomføre dette opplegget, men det kan være lurt om læreren viser hvordan de endrer farge på objekter og gjør objektene synlig eller usynlig dersom de aldri har brukt GeoGebra før. En funksjon er to variabler som endrer seg i takt, og derfor er det viktig at elevene blir vant til å skrive funksjonene med navn, likhetstegn og funksjonsuttrykk. Hvis elever skriver y= eller bare den høyre delen av utrykket, vil GeoGebra automatisk gi funksjonen et navn. Det kan bety at samme funksjon får ulikt navn hos ulike elever, noe som gjør det vanskeligere når elevene skal bruke funksjonsnavnene i Aktivitet 2. Aktivitet 2 I denne aktiviteten skal elevene sammenligne bestemte funksjoner for å finne felles egenskaper. Elevene gjør de aktuelle funksjonene synlig, og så sammenligner de grafene og funksjonsuttrykkene. De noterer observasjonene sine i tabellen. Etter at alle elevene har svart på minst fire oppgaver, starter læreren en klassesamtale som legger vekt på sammenhengen mellom graf og funksjonsuttrykk. Det kan være lurt å skrive ned observasjonene til elevene på tavla. Uavhengig av om læreren bruker opplegget som innføring i lineære funksjoner eller som repetisjonsopplegg, må begrepene «stigningstall» og «konstantledd» være en del av oppsummeringen. Kommentar til læreren Ved bare å vise enkelte av funksjonene i Grafikkfeltet samtidig, kan elevene lettere fokusere på å finne felles egenskaper. For eksempel at funksjonene er parallelle eller at funksjonene krysser y-aksen i samme punkt. Ved å se på representasjonene graf og funksjonsuttrykk, vil elevene komme fram til at «tallet foran x» (stigningstallet) og «tallet som står alene» (konstantleddet) har betydning for hvordan funksjonen ser ut. Mulige elevsvar i tabellen: Linjene er parallelle. Alle funksjonene starter med 2x. Linjene er parallelle og går nedover. Grafene er parallelle og går oppover. Alle grafer krysser hverandre på samme sted på y-aksen. Alle grafer har samme skjæringspunkt på y-aksen. Det siste tallet er lik. Det er viktig at klassesamtalen tar utgangspunkt i elevenes observasjoner. Læreren må være oppmerksom på at mange elever ikke ser at det er tallet foran x og ikke «2x» som avgjør hvordan grafen ser ut. For noen elever kan det også være uklart hva som menes med nedover og oppover. Målet med klassesamtalen er at alle elever får en god forståelse av sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf. De skal vite at tallet foran x er stigningstallet som bestemmer hvor bratt og i hvilken retning grafen går og at konstantleddet viser hvor grafen skjærer y-aksen. De tomme rutene kan brukes til å differensiere. Her kan læreren gi elever som blir fort ferdig oppgaver som gir dem passende utfordringer. For eksempel: Velg i(x) i GeoGebra og finn to nye funksjoner som er parallelle til i(x). Tegn tre funksjoner som krysser hverandre på den negative delen av y-aksen. Tegn tre funksjoner som går gjennom origo. Aktivitet 3 Denne aktiviteten gjennomfører elevene og læreren i felles klasse. Alle skriver funksjonen s(x) = ax + b inn i Skrivefeltet og svarer bekreftende på å lage glidere. Vis Navn og verdi på gliderne dersom GeoGebra ikke gjør det automatisk. Skyv gliderne slik at de har en positiv verdi a ≠ 1 og b ≠ 1. Nå kan læreren spille spørsmål til elevene. Hva må jeg gjøre for at grafen blir brattere? grafen går nedover? grafen krysser y-aksen ved 4? grafen krysser y-aksen på den negative siden? grafen går gjennom nullpunktet? grafen krysser y-aksen ved 2,5 og går bratt oppover? grafen blir vannrett? ….. Kommentar til læreren Aktiviteten viser om elevene har forstått begrepene «stigningstall» og «konstantledd». Legg spesielt vekt på funksjoner som går gjennom origo og funksjoner med stigningstall 0. Slike funksjoner bryter mønsteret til det vanlige uttrykket for lineære funksjoner, og det er ikke alle elever som er klar over at uttrykk som f(x) = 3 og g(x) = 4x er spesialtilfeller av lineære funksjoner. I neste time kan elevene teste sin forståelse av lineære funksjoner med opplegget Finn funksjonsuttrykket 1 og 2. GeoGebra-hjelp Synlige og usynlige objekter Blå sirkler viser at objektet (her: funksjonen) er synlig og gjennomsiktige sirkler viser at objektet er usynlig. Endre egenskapene til et objekt Trykk på objektet som du vil endre egenskapene til. Velg farge (her: Rød), tykkelse og tekststil (her: Navn og verdi). Flytt funksjonsuttrykket fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet med «dra og slipp». Skriv inn f(x)= a*x+b med verktøyet Tekst. Lag glidere Skriv inn f(x)=a*x+b i Skrivefeltet. Svar «Lag glidere» for a og b. Endre egenskapene til gliderne ved å høyreklikke og velge «Egenskaper».
Aktivitet 1 Figur 1: Stolpediagram som viser narkotikadødsfall i perioden 1994-2001 Opplegget starter i hel klasse. Læreren viser fram figur 1 (se PowerPoint-presentasjon) på en Whiteboard slik at det er mulig å tegne på figuren. I en klassesamtale skal elevene beskrive hva de ser og hva de tror kommer til å skje. Mange elever vil tro at antallet narkotikadødsfall øker også i fremtiden. Kommentarer til læreren Elevene kan tegne inn linjer som viser hvordan de tror utviklingen blir. Læreren bør oppfordre elevene til å være konkrete når de forklarer hvordan de tror linjene skal se ut. For eksempel at linja skal ligge over hver søyle, at den skal ligge midt i mellom alle verdiene eller at den skal gå fra laveste til høyeste verdi. Be gjerne elevene om å anslå et antall for 2012 (eller et annet år som har vært, slik at det er mulig å sjekke det faktiske antallet). Etter klassesamtalen, kan et tavlebilde se ut som figur 2. Erfaring viser at mange elever tenker slik som det grønne eksempelet, nemlig å lage en slags gjennomsnittslinje. Mulige elevkommentarer til de forskjellige linjene kan være: Denne linja ligger for høyt. (rød linje) I 1994 er det over 120 dødsfall. Denne linja starter for lavt. (svart linje) Denne linja kan være ganske riktig. Det har noen verdier over og noen under. (grønn linje) Det må bli flere enn dette. Linja ligger under hele veien. (blå linje) Figur 2: Forslag til regresjonslinjer Aktivitet 2 Elevene kan bruke GeoGebra til å finne linja som passer best til verdiene. Læreren må tilpasse veiledningen til hvor mye elevene kan fra før. Vi anbefaler at elevene arbeider i smågrupper slik at de kan diskutere og hjelpe hverandre. Elevene skal først tegne et stolpediagram, og deretter finne linja som passer best til verdiene. Vi har valgt å lage to utgaver av elevarket, ett for GeoGebra 5 og ett for GeoGebra 6, siden fremgangsmåten for å tegne stolpediagram er forskjellig. Kommentarer til læreren Mange elever vil skrive inn årstallene i regnearket. Når de så overfører stolpediagrammet til Grafikkfeltet, kommer stolpediagrammet langt unna origo. For å få stolpediagrammet nærmere origo, kan de velge år 1994 som år 4, 1995 som år 5 og så videre. De kan også velge 1994 som år 0, men da blir det litt vanskeligere å bruke regning for å finne rett årstall. Aktivitet 3 Etter at elevene har funnet ei linje som passer til verdiene, fortsetter opplegget i hel klasse. Målet er å sammenligne linja som GeoGebra har tegnet med forslagene som klassen kom fram til, samt å drøfte hva linja forteller oss om antall narkotikadødsfall før og etter de oppgitte årstallene. Hvordan stemmer resultatet fra beregningene i året 2010 og 2016? Læreren viser elevene nyere statistikk over antall narkotikadødsfall fra SSB (se figur 3). Målet er å diskutere forskjellen mellom det teoretiske svaret og virkeligheten. Elevene har fått et riktig matematisk svar, men svaret stemmer ikke overens med virkeligheten. Figur 3: Narkotikadødsfall i perioden 1994-2016 Kommentarer til læreren Relevante spørsmål i diskusjonen kan være: Hva betyr stigningstallet til funksjonen? Hvor mange narkotikadødsfall vil det bli i 2010 eller i 2016? Hvor mange dødsfall var det i 1980 etter denne modellen? Hva skjer hvis elevene utelater verdien for 1994 og 1995? Blir svaret det samme? Elevene kan finne ut hvor mange dødsfall det blir i 2010 ved å skrive x = 20 (hvis 1990 er år 0) og finne skjæringspunktet med grafen. Det klarer de fleste elevene. Men svaret stemmer bare hvis utviklingen fortsetter på samme måte, og det gjør den ikke i dette tilfellet. 1980 gir et negativt svar. Hva betyr det? Resultatet viser at elevene må se på gyldighetsområdet til modellen. Vi kan ikke si noe om antallet før den første målingen. Elevene kan også diskutere årsaker til nedgangen og deretter relativt stabilt antall narkotikadødsfall. Kan det være innsats mot narkotika på skoler, flere politifolk ute på patrulje, sykepleiere ute i byen, nye sprøyterom eller strengere straff ved salg? Veien videre Elevene kan utforske statistikk fra mange forskjellige fagfelt på denne måten. Eksempler er forbruk pr husholdning, folkeutvikling i kommunen de bor i eller Norges utslipp av klimagasser. Elevene kan finne relevant data på nettsidene til Statistisk sentralbyrå (www.ssb.no).
Opplegget består av to aktiviteter elevene skal gjøre i GeoGebra. Aktivitetene forutsetter at elevene kan tegne i GeoGebra. Elevene skal først tegne en figur som er et rektangel uansett hvordan de snur og vender på den. Deretter skal de tegne et rektangel med omkrets 24. Aktivitet 1: Tegn et rektangel Oppgave 1 til elevene Åpne GeoGebra og tegn et rektangel. Dra i hjørnene til rektangelet. Hva skjer? Kommentarer til læreren Mange elever bruker verktøyet Mangekant og tegner et rektangel på rutearket i GeoGebra, mens noen bruker Linjestykke mellom to punkt. Figurene de da får er ikke rektangler, men mangekanter som tilfeldigvis har form som rektangler. Når elevene tester figurene ved å dra i hjørnene, blir figurene til uregelmessig firkanter. Klassesamtale Aktiviteten fortsetter med en klassesamtale om egenskapene til et rektangel. Resultatet kan se omtrent slik ut: Et rektangel er en firkant der To og to sider er like lange To og to sider er parallelle Alle vinkler er 90° Diagonalene er like lange Diagonalene halverer hverandre Rektangler har alle disse egenskapene, men må elevene bruke alle egenskapene for å tegne et rektangel, eller er det nok med en eller to? Elevene skal diskutere i smågrupper for å finne ut hvor mange egenskaper de trenger for å tegne et rektangel. For eksempel: «Tegner vi alltid et rektangel når vi vet at to og to sider er like lange?» eller «Finnes det firkanter som har diagonaler som er like lange, som ikke er rektangler?». Målet med diskusjonen er at elevene selv skal komme fram til at dersom alle vinkler er 90°, så er figuren et rektangel. Det betyr at alle firkanter med fire rette vinkler er rektangler. Denne egenskapen skal elevene ta utgangspunkt i når de skal tegne et rektangel i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Slå av rutenettet og koordinatsystem. Tegn et rektangel som forblir et rektangel når du drar i hjørnene. Kommentarer til læreren Elevene skal de dra nytte av at et rektangel har fire rette vinkler. I dynamisk geometri skal en figur beholde formen uansett hvordan elevene snur og vender på den, for eksempel skal et rektangel være et rektangel selv om elevene drar i hjørnene. Dette kravet gjør det annerledes å tegne en geometrisk figur med dynamisk geometriprogram enn med papir og blyant. Elevene skal slå av rutenettet og koordinatsystemet når de arbeider med geometri i GeoGebra. De har lov til å bruke alle verktøyknappene, og derfor sier vi at vi tegner, ikke at vi konstruerer. For at GeoGebra skal tolke en samling av linjestykker som en figur, må elevene bruke verktøyet Mangekant. Da får figuren navn og farge, i tillegg til at GeoGebra beregner arealet. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Velg Linjestykke mellom to punkt for å lage et linjestykke. Dette gir punktene A og B og linjestykket f. Tegn Normal linje på endepunktene. Dette gir linjene g og h. Bruk Nytt punkt for å lage et punkt C som ligger fritt på linje g. Finn det fjerde punktet/hjørnet i rektangelet ved å tegne normalen gjennom punkt C på linje g (den får navnet linje i), og deretter lage Nytt punkt i skjæringspunktet mellom linjene h og i. Gjør rektangelet ferdig ved å bruke verktøyet Mangekant. Elevene kan med fordel gjøre linjestykke f og linjene g, h og i usynlig. Elevene kan nå forsøke å dra i hjørnene for å endre på rektangelet. Da ser elevene at figuren forblir et rektangel selv om de drar i de blå hjørnene for å endre størrelse, form og plassering. Selv om elevene har jobbet med rektangel som figur helt siden barnehagen, er begrepet «rektangel» ofte ikke godt utviklet hos mange elever. De kjenner til egenskapene, men har sjelden tenkt over at de har noe å si for en tegning. De færreste har tenkt over at to og to sider automatisk blir like lange og parallelle når alle vinkler er 90°. Det er viktig at elevene slår av rutenett og koordinatsystem når de jobber med geometri. Dersom de tegner alle figurer parallelt med rutenettet, kan det føre til en svak begrepsutvikling. Aktivitet 2: Tegn et rektangel med omkrets 24 Oppgave 1 til elevene Bruk kvadratiske plastbrikker til å lage rektangler med omkrets 24. Noter løsningene i en tabell. Det er lurt å være systematisk. Se på tabellen. Skriv ned noen observasjoner. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten er målet at elevene skal tegne et rektangel med en omkrets på 24 i GeoGebra. Aktiviteten starter med at elevene lager rektangler med omkrets 24 ved hjelp av kvadratiske plastbrikker. Elevene vil oppdage at det finnes mange løsninger, og de ser også at arealet endrer seg. Forslag til tabell: Side1 Side 2 Areal 1 11 11 2 10 20 3 9 27 4 8 32 5 7 35 6 6 36 7 5 34 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11 Klassesamtale I klassesamtalen studerer elevene og læreren resultatene i tabellen. Det er viktig at elevene oppdager at tabellen er symmetrisk, samt at summen av lengden og bredden alltid er 12 og at det er halvparten av omkretsen på 24. Læreren bør også forsikre seg om at elevene kjenner formelen for omkretsen til et rektangel. Deretter skal elevene og læreren sammen komme fram til sammenhengen mellom lengden, bredden og omkretsen til et rektangel. Formelen for omkretsen til et rektangel er: o = 2a+2b I dette tilfelle blir det 24 = 2a + 2b Her har vi en likning med to ukjente, hvor de ukjente er avhengige av hverandre. Blir a større, må b bli mindre og omvendt. Hvis vi kjenner a, kan vi finne b: b = `(24 - 2a)/(2)= 12 - a` Elevene må bruke denne sammenhengen mellom a og b når de skal tegne figuren i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Lag et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra. Bruk metoden fra aktivitet 1, oppgave 2 og sammenhengen mellom side a og b i et rektangel med omkrets 24 Kommentarer til læreren Aktiviteten krever at elevene bruker kunnskaper om algebra. Mange elever ser ikke sammenhengen mellom ulike emner i matematikk, og det å bruke algebra for å lage en tegning i GeoGebra kan være helt nytt for dem. Ved å bruke algebra i varierte situasjoner, vil elevene få en dypere forståelse for emnet. Elevene bruker først firkantbrikker til å lage rektangler med omkrets 24, og da finner de et endelig antall løsninger. Sidene har bare heltallsløsninger. I GeoGebra kan vi endre sidelengdene med små steg, noe som gir uendelig mange ulike rektangler med omkrets 24. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi linjestykket navnet «a». Linjestykke a blir den første siden i rektangelet. Tegn Normale linjer på linje a i både punkt A og B. Linjene får navnene linje f og linje g. Side b i rektangelet ligger langs linje g (eller linje f). Lengden til side b avhenger av lengden til a, når omkretsen er bestemt. Velg Sirkel definert med sentrum og radius i punkt B for å finne ut hvor lang side b skal være. Skriv inn høyre delen av formelen for b (lengden av b, gitt a). Marker skjæringspunktene, og tegn rektangelet med Mangekant. Vis omkretsen og arealet til rektangelet. Omkretsen finner du ved å velge Avstand eller lengde og klikke i mangekanten. Arealet finner du ved å vise «Verdi» for mangekanten. Legg merke til at rektangelet bare har to blå punkter (punkter som elevene kan dra i). Det kommer av at bredden er avhengig av lengden (når elevene endrer på a, endrer b seg). Lagre figuren. Elevene kan teste svarene de fikk i tabellen ved å dra i ett av de blå punktene. Finn rektangelet med det største arealet. Hvor lange er sidene da? Tips til alternativt undervisningsopplegg Dette undervisningsopplegget ser på sammenhengen mellom geometri og algebra. Dersom dere ønsker å se på sammenhengen mellom geometri, algebra og funksjoner, kan dere se på dette undervisningsopplegget: Sammenhengen mellom areal og omkrets til et rektangel.
Elevene arbeider i GeoGebra på hver sin PC, men de sitter i par så de kan diskutere. Opplegget har som mål å gi en dypere forståelse av arealet til trekanter. Mange elever klarer å finne arealet ved hjelp av formler uten at de forstår sammenhengen mellom variablene. I dette opplegget trenger elevene kunnskapene fra algebra for å finne alle mulige trekanter med areal 12. Forberedelse Opplegget er godt egnet til å la elevene øve på føring av oppgaver digitalt, slik de skal gjøre på eksamen. Elevene kan lage sin egen Wordfil der de skriver inn svar og limer inn bilder fra GeoGebra. Alternativt kan læreren la elevarket være tilgjengelig digitalt slik at elevene kan skrive inn svarene og lime inn resultatene fra GeoGebra. Det er en stor fordel om elevene blir kjent med utklippsverktøyet slik at de enkelt kan ta bilde av et valgt utsnitt i GeoGebra-vinduet, og deretter lime inn bildet i et tekstdokument. Vi anbefaler at elevene fester utklippsverktøyet på oppgavelinjen slik at det er lett tilgjengelig gjennom hele skoleåret. Utklippsverktøyet kan brukes i alle program, og eleven slipper dermed å forholde seg til mange ulike utskriftsmuligheter. Figur 1: Utklippsverktøy Aktivitet 1 Oppgavetekst fra elevark Bruk verktøyet Mangekant og tegn fire trekanter. Vis arealet til figurene. Flytt på hjørnene slik at alle figurene dine har areal som er så nær 12 som mulig. Lim trekantene inn i dokumentet. Beskriv så nøyaktig som mulig hvordan du har tenkt og hva du har gjort. Hvilke fellestrekk finner du mellom trekantene? Er du fornøyd med resultatet? Kommentarer til læreren Elevene skal komme fram til svaret gjennom å prøve og feile, og med litt tålmodighet klarer de fleste elever å lage trekanter med areal 12. Målet med aktiviteten er å gjøre elevene bevisst på at det finnes mange ulike trekanter med areal 12 (se tittelbilde). Læreren må godta at noen elever er fornøyde med at arealet er omkring 12. Oppgaven blir enklere ved å velge en eller ingen desimal under Innstillinger. Aktivitet 2 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebrafil. Velg Linjestykke med fast lengde. Skriv inn 8 i dialogboksen. Tegn en trekant der linjestykket med lengde 8 er en side. Vis arealet. Flytt på hjørnene slik at arealet blir lik 12. Gjør det samme en gang til slik at du har to trekanter med side 8 og areal 12 på arket. Lim trekantene inn i dokumentet. Sammenlign med figurene som du laget i aktivitet 1. Var det lettere eller vanskeligere å få lage disse trekantene? Gi en begrunnelse. Kommentarer til læreren Når elevene tegner et linjestykke med bestemt lengde, vil linjestykket alltid legge seg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet (horisontalt). Dersom elevene kun får erfaring med figurer som har sider som ligger parallelt med sidekanten, kan det føre til dårlig forståelse av egenskapene til figurer. Det er derfor lurt å be elevene om å bevege litt på linjestykket (se figur 2). Selv om den ene siden er kjent, er det ikke nødvendigvis lettere for elevene å finne trekanter med areal 12. Elevene kan ikke lenger dra i alle hjørnene til trekanten, men selv med en felles egenskap kan elevene finne mange ulike trekanter. Figur 2: Trekanter som ikke er parallelle med sidekantene til Grafikkfeltet. Aktivitet 3 Oppgavetekst fra elevark Denne oppgaven besvarer du uten å bruke GeoGebra. Bruk det du vet om trekanter. Hva må du vite for å kunne finne arealet til trekanter? Hvorfor finnes det uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8? Hva er felles for alle trekanter med areal 12 og side 8? Kommentarer til læreren I denne aktiviteten skal elevene notere kunnskapene de har om beregning av areal, for eksempel kan de skrive ned formelen for arealet til trekanter og beskrive den med ord. Videre skal elevene begrunne hvorfor de kan tegne uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Elevene har arbeidet med arealformelen for trekanter mange ganger. Likevel vil mange ha vanskeligheter med å se hvordan en formel og en tegning henger sammen. Det er ikke selvsagt for alle elever at side 8 kan være grunnlinjen når den ligger på skrått på arket, eller at alle sidene kan være grunnlinjen til trekanten, og dermed brukes til å beregne arealet til trekanten. I neste aktivitet skal elevene utforske at alle trekanter med areal 12 og en side på 8 har samme høyde. Aktivitet 4 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil Tegn et linjestykke med lengde 8. Flytt litt på en av endepunktene slik at linjen ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn tre trekanter med areal 12 der linjestykket med lengde 8 er en av sidene. Hva observerer du? Tegn gjerne hjelpelinjer hvis det hjelper deg med å forklare. Kommentarer til læreren Når elevene har tegnet figuren med tre trekanter med samme grunnlinje, skal de se at det er mulig å tegne en linje gjennom alle punktene C. Denne linjen er parallell med grunnlinjen c. I GeoGebra er det ikke lett å måle avstanden mellom paralleller, og derfor forventes det ikke at elevene skal gjøre det. Hvis læreren vil vise høyden, er det enklest å tegne en loddrett linje gjennom et punkt C, finne skjæringspunktet med grunnlinjen og tegne inn linjen mellom to punkt. Figur 3 viser et eksempel på hvordan figuren vil se ut hvis elevene ikke tegner trekanter med nøyaktig areal 12. Da blir ikke høyden nøyaktig 3, og linjene er ikke parallelle. Elevene vil likevel oppfatte linjene som parallelle. Figur 3: Tre trekanter med samme grunnlinje og areal 12. Klassesamtale Når de fleste elever har kommet godt i gang med aktivitet 4 og noen har startet med aktivitet 5, er det lurt med en felles oppsummering av arbeidet så langt. Elevene arbeider ikke like fort, og derfor er det viktig å ikke vente med en oppsummerende samtale til alle elevene er ferdige. Mye av hjelpen som elevene kan gi hverandre ville da gå tapt. I klassesamtalen kan læreren kontrollere om alle elevene har forstått at det finnes en sammenheng mellom tegningene og formel for areal og hvorfor det finnes uendelig mange trekanter med areal 12 og side 8. Ikke alle elever er klar over at avstanden mellom to parallelle linjer er lik uansett hvor de tegner den inn. Mange elever tenker at høyden må gå fra et bestemt punkt til motsatt side, så noen elever vil oppleve det som nytt at de kan tegne inn høyden hvor som helst på de to parallellene. Læreren må avgjøre hvor mye hjelp elevene trenger for å komme videre, for eksempel om elevene trenger hjelp til å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand (se figur 4). Det kan være lurt å gjøre aktivitet 5 i felles klasse siden fremgangsmåten for å tegne parallelle linjer i GeoGebra er noe forskjellig fra fremgangsmåten med papir og blyant. Ved å gjøre aktiviteten i fellesskap, får også alle elevene samme utgangspunkt for å prøve seg på aktivitet 6. Figur 4: Fremgangsmåte for å tegne to parallelle linjer med en gitt avstand. Aktivitet 5 Oppgavetekst fra elevark Åpne en ny GeoGebra-fil. Nå skal du bruke kunnskapene fra aktivitet 3 og observasjonene fra aktivitet 4 til å tegne en trekant med grunnlinje 8 og areal 12 hvor arealet ikke endrer seg uansett hvordan du flytter på hjørnene. Se på GeoGebra-hjelp dersom du trenger noen ideer. Bildet viser starten av konstruksjonen. Forklar hvordan du tenker. Kommentarer til læreren Elevene starter med å tegne grunnlinjen. Minn de gjerne om å bevege grunnlinjen slik at den ikke ligger parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Tegn en parallell i avstand 3 (høyden til trekanten) og sett et punkt hvor som helst på parallellen. Tegn trekanten. Dette er en vanskelig oppgave som vi ikke kan forvente at alle elever klarer selvstendig, og derfor anbefaler elevene og læreren løser oppgaven i fellesskap. Aktivitet 6 Oppgavetekst fra elevark I denne oppgaven skal du lage en trekant med areal 12. Tallet 8 fra den siste oppgaven må du erstatte med en bokstav. Du kan velge hvilken som helst bokstav. I forklaringen er det valgt c. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi det navnet c. Når du skal tegne sirkelen, må du sette inn en formel for radius. Tenk over hvordan du regnet for å finne radius i aktivitet 5. For å gjøre ferdig trekanten, tegner du videre som i aktivitet 5. Test tegningen din ved å dra i hjørnene. Ta flere bilder og lim dem inn i dokumentet. Forklar hvorfor alle trekantene dine har areal 12. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten har elevene bruk for algebrakunnskapene sine. De begynner med et linjestykke med lengde c (grunnlinjen i trekanten). Formelen for arealet blir dermed: `h = (c * h)/(2)` For elevene kan det se ut som om dette er en likning med to ukjente, c og h. Men her er det bare h som er ukjent, mens c er lengden til grunnlinjen i trekanten. Det kan være uvant for elevene. Elevene får så en formel for høyden: `h = (12 * 2)/(c)` Hvis GeoGebra ikke tegner en sirkel, har elevene valgt for lang grunnlinje. Deretter kan elevene konstruere trekanten på samme måte som i aktivitet 5. Resultatet blir en trekant med areal 12 og tre blå hjørner som elevene kan bevege fritt. Elevene kan gjerne vise at det blir riktig selv om de bruker mange desimaler på sidelengdene. Dette står i kontrast til aktivitet 1, der det var vanskelig å få til areal 12 når elevene valgte 2 eller flere desimaler. Ekstra utfordring Aktiviteten passer for elever som vil utforske GeoGebra litt ekstra, og læreren kan gi den til elever som blir tidlig ferdig eller trenger ekstra utfordring. Oppgavetekst Lag en figur der du kan endre både areal og grunnlinje. Det vil si at du skal klare å tegne en figur med areal 10 og grunnlinje 12, og deretter endre figuren til å ha areal 18 og grunnlinje 4. Kommentarer til læreren Her må elevene velge en variabel for grunnlinje og en variabel for areal. Den enkleste framgangsmåten er at elevene starter med å lage Glider for c og A. Resten av konstruksjonen er som før, bortsett fra at elevene erstatter 8 med c og 12 med A. Ved å bevege på gliderne kan elevene stille inn nøyaktig hvilken lengde og areal de ønsker (se figur 5). Høyden til trekanten er gitt ved: `h = (2A)/(c)`, og det må elevene bruke når de skal lage sirkelen som bestemmer avstanden mellom grunnlinjen til trekanten og parallellen som høyden må ligge på (se figur 6). Figur 5: Trekant hvor elevene kan endre på grunnlinje og areal med glidere. Figur 6: Sirkel hvor radius er gitt av størrelsen på areal og grunnlinje. Oppsummering Målet med opplegget er å gi elevene en økt forståelse for geometriske sammenhenger. Ved å bruke algebra kan elevene komme fram til at sammenhengen mellom grunnlinje og høyde stemmer uansett lengden av grunnlinjen. GeoGebra gir elevene trening i bruk av dynamisk programvaren, og de blir kjent med fordeler og ulemper med digitale tegninger. At det er avgjørende å bruke den samme bokstaven bare en gang i hver tegning, tvinger elevene til en nøyaktighet som de ellers gjerne hopper over.
Opplegget består av tre aktiviteter elevene skal gjøre i GeoGebra. Aktivitetene forutsetter at elevene kan tegne i GeoGebra. Elevene skal først tegne en figur som er et rektangel uansett hvordan de snur og vender på den. Deretter skal de tegne et rektangel med fast omkrets, og til slutt skal de finne det største arealet som et rektangel med en gitt omkrets kan ha. Elevene jobber med hver sin PC, men de kan gjerne sitte i små grupper slik at de kan diskutere underveis. Aktivitet 1: Tegn et rektangel Oppgave 1 til elevene Åpne GeoGebra og tegn et rektangel. Dra i hjørnene til rektangelet. Hva skjer? Kommentarer til læreren Mange elever bruker verktøyet Mangekant og tegner et rektangel på rutearket i GeoGebra, mens noen bruker Linjestykke mellom to punkt. Figurene de da får er ikke rektangler, men mangekanter som tilfeldigvis har form som rektangler. Når elevene tester figurene ved å dra i hjørnene, blir figurene til uregelmessig firkanter. Klassesamtale Aktiviteten fortsetter med en klassesamtale om egenskapene til et rektangel. Resultatet kan se omtrent slik ut: Et rektangel er en firkant der To og to sider er like lange To og to sider er parallelle Alle vinkler er 90° Diagonalene er like lange Diagonalene halverer hverandre Rektangler har alle disse egenskapene, men må elevene bruke alle egenskapene for å tegne et rektangel, eller er det nok med en eller to? Elevene skal diskutere i smågrupper for å finne ut hvor mange egenskaper de trenger for å tegne et rektangel. For eksempel: «Tegner vi alltid et rektangel når vi vet at to og to sider er like lange?» eller «Finnes det firkanter som har diagonaler som er like lange, som ikke er rektangler?». Målet med diskusjonen er at elevene selv skal komme fram til at dersom alle vinkler er 90°, så er figuren et rektangel. Det betyr at alle firkanter med fire rette vinkler er rektangler. Denne egenskapen skal elevene ta utgangspunkt i når de skal tegne et rektangel i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Slå av rutenettet og koordinatsystem. Tegn et rektangel som forblir et rektangel når du drar i hjørnene. Kommentarer til læreren Elevene skal de dra nytte av at et rektangel har fire rette vinkler. I dynamisk geometri skal en figur beholde formen uansett hvordan elevene snur og vender på den, for eksempel skal et rektangel være et rektangel selv om elevene drar i hjørnene. Dette kravet gjør det annerledes å tegne en geometrisk figur med dynamisk geometriprogram enn med papir og blyant. Elevene skal slå av rutenettet og koordinatsystemet når de arbeider med geometri i GeoGebra. De har lov til å bruke alle verktøyknappene, og derfor sier vi at vi tegner, ikke at vi konstruerer. For at GeoGebra skal tolke en samling av linjestykker som en figur, må elevene bruke verktøyet Mangekant. Da får figuren navn og farge, i tillegg til at GeoGebra beregner arealet. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Velg Linjestykke mellom to punkt for å lage et linjestykke. Dette gir punktene A og B og linjestykket f. Tegn Normal linje på endepunktene. Dette gir linjene g og h. Bruk Nytt punkt for å lage et punkt C som ligger fritt på linje g. Finn det fjerde punktet/hjørnet i rektangelet ved å tegne normalen gjennom punkt C på linje g (den får navnet linje i), og deretter lage Nytt punkt i skjæringspunktet mellom linjene h og i. Gjør rektangelet ferdig ved å bruke verktøyet Mangekant. Elevene kan med fordel gjøre linjestykke f og linjene g, h og i usynlig. Elevene kan nå forsøke å dra i hjørnene for å endre på rektangelet. Da ser elevene at figuren forblir et rektangel selv om de drar i de blå hjørnene for å endre størrelse, form og plassering. Selv om elevene har jobbet med rektangel som figur helt siden barnehagen, er begrepet «rektangel» ofte ikke godt utviklet hos mange elever. De kjenner til egenskapene, men har sjelden tenkt over at de har noe å si for en tegning. De færreste har tenkt over at to og to sider automatisk blir like lange og parallelle når alle vinkler er 90°. Det er viktig at elevene slår av rutenett og koordinatsystem når de jobber med geometri. Dersom de tegner alle figurer parallelt med rutenettet, kan det føre til en svak begrepsutvikling. Aktivitet 2: Tegn et rektangel med omkrets 24 Oppgave 1 til elevene Bruk kvadratiske plastbrikker til å lage rektangler med omkrets 24. Noter løsningene i en tabell. Det er lurt å være systematisk. Se på tabellen. Skriv ned noen observasjoner. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten er målet at elevene skal tegne et rektangel med en omkrets på 24 i GeoGebra. Aktiviteten starter med at elevene lager rektangler med omkrets 24 ved hjelp av kvadratiske plastbrikker. Elevene vil oppdage at det finnes mange løsninger, og de ser også at arealet endrer seg. Forslag til tabell: Side1 Side 2 Areal 1 11 11 2 10 20 3 9 27 4 8 32 5 7 35 6 6 36 7 5 34 8 4 32 9 3 27 10 2 20 11 1 11 Klassesamtale I klassesamtalen studerer elevene og læreren resultatene i tabellen. Det er viktig at elevene oppdager at tabellen er symmetrisk, samt at summen av lengden og bredden alltid er 12 og at det er halvparten av omkretsen på 24. Læreren bør også forsikre seg om at elevene kjenner formelen for omkretsen til et rektangel. Deretter skal elevene og læreren sammen komme fram til sammenhengen mellom lengden, bredden og omkretsen til et rektangel. Formelen for omkretsen til et rektangel er: o = 2a+2b I dette tilfelle blir det 24 = 2a + 2b Her har vi en likning med to ukjente, hvor de ukjente er avhengige av hverandre. Blir a større, må b bli mindre og omvendt. Hvis vi kjenner a, kan vi finne b: b = `(24 - 2a)/(2)= 12 - a` Elevene må bruke denne sammenhengen mellom a og b når de skal tegne figuren i GeoGebra. Oppgave 2 til elevene Lag et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra. Bruk metoden fra aktivitet 1, oppgave 2 og sammenhengen mellom side a og b i et rektangel med omkrets 24. Kommentarer til læreren Aktiviteten krever at elevene bruker kunnskaper om algebra. Mange elever ser ikke sammenhengen mellom ulike emner i matematikk, og det å bruke algebra for å lage en tegning i GeoGebra kan være helt nytt for dem. Ved å bruke algebra i varierte situasjoner, vil elevene få en dypere forståelse for emnet. Elevene bruker først firkantbrikker til å lage rektangler med omkrets 24, og da finner de et endelig antall løsninger. Sidene har bare heltallsløsninger. I GeoGebra kan vi endre sidelengdene med små steg, noe som gir uendelig mange ulike rektangler med omkrets 24. Forslag til hvordan elevene kan tegne et rektangel med omkrets 24 i GeoGebra: Åpne GeoGebra og slå av rutenett og koordinatakser. Tegn Linjestykke mellom to punkt og gi linjestykket navnet «a». Linjestykke a blir den første siden i rektangelet. Tegn Normale linjer på linje a i både punkt A og B. Linjene får navnene linje f og linje g. Side b i rektangelet ligger langs linje g (eller linje f). Lengden til side b avhenger av lengden til a, når omkretsen er bestemt. Velg Sirkel definert med sentrum og radius i punkt B for å finne ut hvor lang side b skal være. Skriv inn høyre delen av formelen for b (lengden av b, gitt a). Marker skjæringspunktene, og tegn rektangelet med Mangekant. Vis omkretsen og arealet til rektangelet. Omkretsen finner du ved å velge Avstand eller lengde og klikke i mangekanten. Arealet finner du ved å vise «Verdi» for mangekanten. Legg merke til at rektangelet bare har to blå punkter (punkter som elevene kan dra i). Det kommer av at bredden er avhengig av lengden (når elevene endrer på a, endrer b seg). Lagre figuren. Elevene kan teste svarene de fikk i tabellen ved å dra i ett av de blå punktene. Finn rektangelet med det største arealet. Hvor lange er sidene da? Aktivitet 3: Tegn arealet som en funksjon Oppgave 1 til elevene Finn en funksjon for arealet til et rektangel med omkrets 24. Gi den navnet R(x). Jobb videre med GeoGebra-fil fra aktivitet 2. Åpne Grafikkfelt 2 og klikk i feltet. Skriv funksjonen i Skrivefeltet. GeoGebra viser grafen i Grafikkfelt 2. Hva kaller vi en graf med denne formen? Koble sammen Grafikkfelt og Grafikkfelt 2 ved å skrive x = «navnet på lengden i rektangelet ditt» i Skrivefeltet. Finn skjæringspunktet mellom grafen og linjen. Hva forteller koordinatene til skjæringspunktet? Klassesamtale I helklassesamtale skal elevene forklare sammenhengen mellom de to vinduene (tegningen av rektangelet og grafen). Læreren må stille gode spørsmål som inviterer til tenking, for eksempel: Hva skjer med punktet på grafen når vi endrer lengden til rektangelet? Hva viser grafen? Hvor finner vi verdien av x-aksen i rektangelet? Hva betyr verdiene på y-aksen? Hvor finner vi dem i rektanglet? Hva betyr det at grafen er en parabel? Finn rektanglet med størst areal. Hvordan ser det ut? Hvorfor er det lurt å avgrense grafen til x-verdier mellom 0 og 12? Kommentarer til læreren Elevene skal bruke resultatene fra aktivitet 1 og 2 til å lage en funksjon som viser sammenhengen mellom arealet og omkretsen til rektangelet. Omkretsen til rektangelet er fortsatt 24. Elevene kjenner formelen for arealet til et rektangel og formelen for side b når omkretsen er 24. Ved å kombinere de to får elevene en formel for arealet til rektangelet som avhenger av lengden til side a. Formelen for arealet til et rektangel: A = a∙b Formelen for side b når omkretsen er 24: b = `(24-2a)/(2) = 12-a` Ved å sette inn uttrykket for b i formelen for A får elevene: A = `a(24 - 2a)/(2) = a(12-a)` Denne formelen kan elevene tegne i GeoGebra, men siden bokstaven A allerede er brukt i GeoGebra-filen, må funksjonen få et nytt navn, for eksempel R(x). Elevene får da følgende funksjon for arealet til et rektangel med omkrets 24: R(x) = x(12 - x) Dette er en fin anledning til å synliggjøre at dette er en kontinuerlig funksjon, i motsetning til tabellen med brikkene der funksjonen bare er definert for naturlige tall mellom 1 og 24. Forslag til fremgangsmåte i GeoGebra: Åpne filen med rektangelet med omkrets 24. Åpne Grafikkfelt 2 og klikk i grafikkfeltet for å aktivere det. Skriv funksjonen R(x) inn i Skrivefeltet og Grafikkfelt 2 viser funksjonen. Hvis den vises i Grafikkfelt, er Grafikkfelt 2 ikke aktivert. Slett funksjonen og prøv på nytt. Aktiver Grafikkfelt 2 og skriv x = a. GeoGebra tegner en loddrett linje. Finn skjæringspunktet mellom grafen og linjen. Gjør koordinatene synlige. Elevene må skrive x = a for å binde Grafikkfelt og Grafikkfelt 2 sammen. Det betyr at alle x-verdiene i Grafikkfelt 2 blir erstattet med verdien som a representerer (a er lengden av siden AB). På denne måten vil x-verdien i Grafikkfelt 2 endre seg når elevene endrer sidelengden i rektangelet. Aktiviteten lærer elevene å se sammenhengen mellom en graf og en geometrisk figur, og algebra er nødvendig for å klare å tegne figuren. Sammenhengen er dynamisk i den forstand at arealet til rektangelet endrer seg når vi flytter punktet på grafen. Årsaken er at ligningen x = a binder de to vinduene sammen, altså at x-koordinaten i Grafikkfelt 2 har samme verdi som lengden på linjestykke a i Grafikkfelt. Opplegget viser at praktisk bruk av algebra gir mening, noe som kan øke elevenes motivasjon for å lære et emne som mange oppfatter som veldig teoretisk. GeoGebra er kresen når det gjelder valg av bokstaver. Elevene kan ikke bruke den samme bokstaven som navn på ulike elementer. Det krever en nøyaktighet fra elevene som de ikke alltid er vant med, men som er viktig for senere læring. Utvidelse av oppgaven I dette opplegget er omkretsen 24, men det er også mulig å variere omkretsen. Da må elevene lage en Glider som de kan kalle for «omkrets», og så må de erstatte «24» i formlene med ordet «omkrets». Tips til alternativt undervisningsopplegg Dette undervisningsopplegget ser på sammenhengen mellom geometri, algebra og funksjoner. Dersom dere kun ønsker å se på sammenhengen mellom geometri og algebra, kan dere se på dette undervisningsopplegget: Rektangel med omkrets 24.
Ingen beskrivelse
Innledning I lærebøkene som blir brukt i den videregående opplæringen blir fullstendig kvadrat presentert på følgende måte. Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. (Sinus 1T) I de tilfelle vi kan faktorisere et uttrykk ved å bruke første eller andre kvadratsetning baklengs, har vi det vi kaller et fullstendig kvadrat (Matematikk 1T) Du skal lære Regelen for å bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere og addere Å bruke et fullstendig kvadrat til å finne største eller minste verdi av andregradsuttrykk (Sigma 1T) Alle beskrivelser for fullstendig kvadrat inneholder mange matematiske begreper. Men ingen av de tre bøkene gir en forklaring for navnet «fullstendig kvadrat». To av bøkene nevner at det er en måte å faktorisere, den tredje nevner først en huskeregel og så en mulig anvendelse. Målet med dette undervisningsopplegget er at elevene skal få en dypere forståelse for uttrykket «fullstendig kvadrat» å visualisere problemet. Opplegget tar utgangspunkt i en litt endret forklaring fra Sinus 1T. Aktivitet 1 Elevene jobber i par med elevark 1. Paret må diskutere med hverandre for å bli enige om forklaringen de skal skrive ned. Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Finn de matematiske begrepene i setningen, noter dem i boksen og skriv en forklaring. Avslutt denne sekvensen med en oppsummerende klassesamtale. Kommentar til læreren Setningen inneholder veldig mange matematiske begreper. Noen begreper er så kjent at elevene ikke vil oppfatte dem som «matematiske begreper» for eksempel «kvadrat», mens andre som «andregradspolynom» virker ukjent. Det er viktig å presisere at elevene skal bruke egne ord for å skrive en forklaring. Det er ikke lov å åpne boka eller internett. Når læreren oppsummerer kan hun gjerne komme med gode spørsmål som: Hvorfor heter det kvadratsetning? Hva menes med faktorisering Når bruker vi faktorisering: Forkorte brøk Finne nullpunkter Jobbe med andregradsuttrykk Begrepet «fullstendig kvadrat» er læringsmålet av denne økta og blir ikke forklart ennå. Aktivitet 2 Elevene jobber i par med elevark 2. Skriv arealet av dette rektangelet som et algebraisk uttrykk på så mange måter som mulig Her er to nye figurer. De er en fortsettelse av figur 1 Hvorfor er alle uttrykkene nedenfor lik a2 + 6a Se på det siste uttrykket. Sammenlign dette uttrykket med a2 + 6a. Hva er forskjellen mellom uttrykkene? «Halvere – kvadrere – addere og subtrahere» er en huskeregel for faktorisering med fullstendig kvadrat. Forklar hvordan denne huskeregelen passer til det som du har gjort. Avslutt aktiviteten med en klassesamtale. Legg vekt på at alle elevene kan presentere noen av sine løsninger, selv om de ikke har kommet helt i mål. Kommentar til læreren Med hjelp av elevark 2 får elevene en visuell tilgang til begrepet «fullstendig kvadrat». Det skal så føre til en dypere forståelse for begrepet. Allerede figur 1 kan gi utfordringer. Mange elever er uvant ved å tegne. Dybdelæring krever flere tilnærmingsmåter. I oppgave 1 forventer vi svar som: a2 + 6a, eller a · a + 6 · a, eller a (a + 6). Hvis noen elever svarer for eksempel 6 a3 eller 6a2, må disse misforståelser rettes opp med en gang, da alt arbeid er avhengig av at eleven kan reglene for enkel algebra. Mens eleven jobber videre med oppgavene skal læreren gå rundt og lytte til samtalene elevene imellom.Misforståelser og mangelfull forståelse kan bli avdekket på denne måten. Ikke forstyrr elevene, men ta notater som du tar fram i den oppsummerende samtalen. Mange elever vil ha vanskeligheter ved å se og forstå bruken konjugatsetningen.( oppgave 3) Legg spesiell vekt på at vi har faktorisert uttrykket, som er målet for aktiviteten. Forklar gjerne en gang til hva som skiller et faktorisert uttrykk fra et utrykk bestående av mange ledd og hva som er fordelen med faktorer i forhold til ledd. (oppgave 4) Hvis noen elever er veldig fort ferdig med oppgaven, og du mener at resten av klassen skal få litt mer tid, kan du be dem å løse en ligning der de kan bruke denne metoden. Her er det vist et eksempel hvordan man kan løse en ligning med hjelp av fullstendig kvadraters metode. Aktivitet 3 (tilleggsoppgave) Løs likningen a2 + 6a = 11. Legg merke til at den venstre siden av ligningen er lik som uttrykket i elevark 2. Bruk huskeregelen for å løse ligningen. Forklar hva som skjer ved de enkelte skritt. «Halvere – kvadrere – addere og subtrahere» Kommentar til læreren Denne oppgaven kan gis muntlig eller på små lapper. Dette er et forslag til løsning med kommentar: Å bruke fullstendig kvadrat er ikke den meste effektive metoden for å løse en andregradslikning. Derimot vil det å skrive en andregradsfunksjon faktorisert til fullstendig kvadrat gi ny informasjon om funksjoner og så føre til en bedre forståelse.
Arbeidsform: Smågrupper med to til tre elever. La elevene dele og diskutere i plenum. Til slutt skal de skrive en matematisk tekst om det de har funnet ut. Undervisningsopplegget: Elevene skal starte med å tegne en trekant midt på arket. De bestemmer selv formen på trekanten. Den skal ikke være for stor. Elevene skal først lage skisser og forklare løsningene sine. Deretter skal de konstruere med passer og linjal. Oppgave: Tegn en trekant midt på arket. Lag minst to trekanter med samme areal som den du har tegnet. Trekantene skal ha én side felles med den trekanten du startet med. (Elevene skal gjøre denne oppgaven individuelt.) Sammenlikne løsningene dine med løsningene til de andre på gruppa. Diskutér hva som må være oppfylt for at trekanter med en felles side skal ha samme areal. Finnes det flere trekanter med samme areal? Diskutér på gruppa: Hvor må toppunktene ligge? Lag skisser. Forklar og begrunn løsningene deres. Tegn en ny trekant. Konstruer løsningene på oppgaven med passer og linjal. Dere har funnet det geometriske stedet for toppunktet til trekanter med samme areal og en felles side med en gitt trekant. Forklar hva som menes med et geometrisk sted, og hvorfor dette er «et geometrisk sted» (Kan sløyfes for 1T og ungdomstrinnet). Lag en matematisk tekst med illustrasjoner, forklaringer og bevis på det dere har funnet ut. Kommentarer til læreren: La elevene utforske oppgaven. Bruk god tid. Kanskje noen elever kommer med helt spesielle løsninger, som rettvinklede trekanter eller likebeinte trekanter. Det bør komme fram i diskusjonen at det finnes uendelig mange løsninger. Hør på elevenes diskusjoner, og få ulike forslag fram i fellesdiskusjon på slutten av økta. Du kan vurdere om du vil la elevene lage den matematiske teksten før dere tar plenumsdiskusjonen. Da kan du se på de ulike løsningene, og velge ut noen som skal få presentere løsningene sine for klassen/gruppa. Oppsummering og løsningsforslag: Få fram elevenes tanker og hvordan de nærmet seg løsningene, ikke bare det endelige resultatet. Forslag til videre arbeid: Arbeid videre med geometriske steder. Se undervisningsopplegget «Geometriske steder/geometriske sammenhenger»
Arbeidsform: Individuelt arbeid først. Deretter deler elevene sine løsninger med sidemannen. Undervisningsopplegget: Forklar elevene at de skal se nøye på et bilde som de får se i tre sekunder. Si at de skal legge merke til hvordan figurene er bygd opp, og hvordan de «vokser». Gi elevene god tid til å tenke og notere. Deretter viser du bildet på nytt i tre sekunder. Elevene får mulighet til å revidere det de har tenkt og skrevet. De to første spørsmålene under «oppgave» kan stå på tavla hele tiden. Under oppsummeringen står alle spørsmålene på tavla. Når elevene har tenkt ferdig, lar du bildet bli stående mens elevene får forklare sine løsninger. Her er bildet: Oppgave: Mens elevene ser kvikkbildene skal de bare prøve å finne svar på følgende spørsmål: Hvordan er mønsteret du får se bygd opp? Når bildet blir stående, og dere skal ha oppsummering, får elevene disse spørsmålene i tillegg. Hvordan kan du tegne neste figur hvis du har den forrige? Hvis antall kvadrater i hver figur skrives som et tall, hvordan kan du beregne det neste tallet ut fra det foregående? Skriv tallet til figur n rekursivt med ord og symboler/formel. Hvordan kan du beregne tallet som figur nummer n representerer direkte (eksplisitt)? Finn en formel. Kommentarer til læreren: Elevene må få god tid til å tenke og skrive. Når det har gått en stund etter at bildet ble vist for annen gang, lar du elevene snakke sammen to og to. Eksempler på elevsvar Eksempel 1 Eleven sier at nye kvadrater blir bygd rundt de som er der fra før. Du starter med 1 og legger på 3, deretter 5 og 7 og så videre. Eleven viser med farger, omtrent slik: For hver nye figur, blir det lagt til et oddetall. Eleven kommer fram til den rekursive formelen: an = an-1 + (2n - 1). Kommentar: Kanskje elevene vil ha problemer med å nummerere riktig. Det kan dere snakke om i oppsummeringen. Eksempel 2 Eleven sier at figurene kan «klippes og limes» til kvadrater. I figur 2 klippes og flyttes det lille kvadratet på høyre side og limes i øverste venstre hjørne. Da blir det et 2·2 kvadrat. I figur 3, klippes de tre kvadratene på høyre side, snues og limes øverst til venstre. Da blir det et 3·3 kvadrat. På samme måte klippes, snues og limes de fem kvadratene til høyre i figur fire, så det blir et 4·4 kvadrat. Eleven tegner omtrent slik: Eleven kommer fram til den eksplisitte formelen: an= n ∙ n = n2 Kommentar: Denne eleven ser hvordan hver enkelt figur er bygd opp, og kommer fram til en eksplisitt formel. Eksempel 3 Eleven sier: De blir først 1, så 1 + 2 + 1, så 1 + 2 + 3 + 2 + 1, så 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 og så videre. Kommentar: Utfordre eleven og de andre i klassen til å skrive summen som viser figurtall nummer n med symboler når dere tar oppsummering. Eksempel 4 Eleven sier: Jeg ser at hver figur er summen av oddetall. Figur nummer n er 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n - 1) Kommentar: Dette eksempelet sammen med eksempel 2, gir dere en fin mulighet til å se at summen av oddetallene er et kvadrattall, og derfra mer generelt, komme fram til formelen for summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Oppsummering: Pass på at alle de ulike forslagene kommer fram, og skriv dem på tavla slik elevene forklarer dem. La eventuelt elevene komme fra og skrive på tavla selv. Det bør bli plass til at alle eksemplene kan stå på tavla samtidig. Utfordre klassen til å sammenlikne alle forslagene. Er de like? Er de forskjellige? Kan alle skrives med rekursive og eksplisitte formler? Hvis både eksempel 2 og eksempel 4 kommer fram, kan du utfordre elevene til å bevise at 1 + 3 + 5 + 6 +…+ (2n - 1) = n2 Senere kan dere sammen vise at den ideen som brukes til å bevise dette, er den samme ideen som kan brukes til å bevise formelen for summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Eksempel 3 er også morsomt å se nærmere på. Figur nummer n kan skrives: 1 + 2 + 3 +…+ (n - 1) + n + (n - 1) +…3 + 2 + 1 Du kan introdusere summetegnet for elevene, og vise at eksempel 4 kan skrives slik: `a_(n)=sum_(i=1)^n(2i-1)` og eksempel 3 slik: an = n + 2 ∙ `sum_(i=1)^(n-1) (i)` når n≥2 Vurdering: La elevene skrive eksempel på en tallfølge, med eksplisitt og rekursiv formel. Samle inn eksemplene og se om alle har forstått begrepene. Forslag til videre arbeid: Arbeid videre med figurtall. Elevene kan lage sine egne figurer med brikker. Utfordre dem til å sette opp rekursiv og eksplisitt formel for figurtallene.
NAFO, Nasjonalt Senter for Fleirkulturell Opplæring, har fleire ressursar som vil vere til god støtte for lærarar som underviser minoritetsspråklege elevar i matematikk. Matematiske omgrep på 12 ulike språk. Desse hefta er kvalitetsikra av Matematikksenteret. Prinsipp for god andrespråksinnlæring Lexin er ei tospråkleg ordliste. Der kan elevane gjere oppslag dersom dei kan eit matematisk omgrep på morsmålet sitt, men ikkje veit kva det heiter på norsk Bildetema er ei ordliste med både bilete og lyd. Her får elevane oversette ordet til lyd og bilete. Rettleiing til foreldre. Denne rettleiinga gir tips om korleis foreldre kan arbeide med matematikk med barnet sitt (primært for barn opp til 6. trinn).
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
