Økt 1: beskrive sammenhenger mellom figurnummer og figurmønster visuelt og verbalt. Økt 2: lage eksplisitt formel Økt 3: bruke figurmønster og eksplisitt formel i varierte situasjoner
Ingen beskrivelse
Opplegget handler om Titanic-forliset. Elevene får et utdrag av passasjerlisten i et Excel-ark. Med det som utgangspunkt skal de lage og undersøke en hypotese, og presentere resultatene etterpå. Opplegget kan også være et fint utgangspunkt for tverrfaglig arbeid. Erfaringene fra utprøving viste at elevene ikke har så gode kunnskaper om Excel som forventet. Derfor har vi laget et elevhefte hvor de kan bli kjent med ulike funksjoner og formler i Excel. Elevene blir samtidig kjent med informasjonen i passasjerlisten. Kommentar til læreren Elevene arbeider i små grupper. La de bruke tid på å bli kjent med passasjerlisten. Enten ved å gjøre oppgavene i elevheftet eller ved å undersøke på egenhånd. Gjør elevene oppmerksomme på at noen data er registrert på en måte som avviker fra resten. For eksempel har noen billettpriser punktum i stedet for komma og et hjemsted starter med et spørsmålstegn i stedet for selve navnet. Elevene må vurdere om de vil justere dataene slik at de har samme form som resten, for eksempel bytte punktum i pris med komma, eller flytte spørsmålstegnet ved hjemstedet til etter navnet. Når elevene har blitt kjent med passasjerlisten og trygge på formler og funksjoner i Excel, kan de lage egne hypoteser. Disse skal de undersøke med utgangspunkt i passasjerlisten. Velg frihetsgraden til elevene basert på kunnskaper og tiden dere har tilgjengelig. Passasjerlisten gir et godt grunnlag for å undersøke sannsynligheten for å overleve forliset. Eksempler: Kvinner og barn hadde større sjanse for å overleve enn menn. Personer på første klasse hadde større sjanse for å overleve enn personer på andre og tredje klasse. Personer med familie om bord hadde større sjanse for å overleve enn de uten. La elevene vurdere hverandres hypoteser før de starter med undersøkelsene. Gjør elevene oppmerksomme på at noen passasjerer mangler enkelte data, for eksempel alder. Elevene må vurdere om det har betydning for arbeidet deres, og i så fall hva de skal gjøre med det. Et alternativ kan være å slette passasjerene som mangler data. Da bør elevene opplyse om dette når de presenterer resultatene. Billettprisen er oppgitt i britiske pund (gold standard, 1874-1914). I 1912 tilsvarte 1 pund ca. 18,16 norske kroner. Ved å bruke priskalkulatoren til Norges Bank (ekstern side), kan de finne dagens kroneverdi. Excel-filen inneholder flere ark. Det er viktig at elevene ikke gjør endringer i Passasjerliste, original slik at de har mulighet til å kopiere dataene derfra ved behov. I stedet kan de kopiere dataene til et nytt ark. Oppsummering Som oppsummering kan elevene presentere hva de har undersøkt, hvordan de har undersøkt det og hvilken konklusjon de har kommet fram til. Klassen kan for eksempel lage en avis hvor de presenterer resultatene som nyhetssaker.
Oppgave til elevene Åpne GeoGebra-filen https://www.geogebra.org/m/abyh23q8 Utforsk figuren og forklar oppdagelsene for hverandre. Lag en skisse av figuren. Gi navn til sidene i trekanten. Like lange sider skal ha samme navn. Finn ulike måter å beskrive arealet til det store kvadratet på. Bruk dette til å bevise Pytagoras’ setning. Kommentar til læreren Elevene starter med å utforske en GeoGebra-figur. Noen vil gjenkjenne Tales’ setning og bruke det til å begrunne at trekantene er rettvinklet og at figuren i midten er et kvadrat. Tips gjerne elevene om at de kan åpne figuren i GeoGebra-appen (trykk på de tre punktene øverst til høyre). Da kan de undersøke mer, for eksempel om trekantene har like stort areal eller like store vinkler. Ved å sammenligne arealer kan elevene bevise at Pytagoras’ setning stemmer. Elevene skal lage og sette navn på en skisse av figuren. På forhånd kan det være lurt å bli enige om navn, for eksempel at hypotenusen heter c, den lengste kateten heter a og den korteste kateten heter b. Det gjør det lettere å snakke om figuren og beviset i hel klasse. Utfordre elevene til å finne ulike måter å skrive arealet til det store kvadratet på algebraisk. De fleste vil finne ut at de kan skrive arealet som c2. Men elevene kan også bruke informasjonen de har om trekantene til å beskrive arealet. Arealet til det store kvadratet = arealet til de fire (like) trekantene + arealet til «hullet» `c^(2) = 4·(a · b)/(2) + HULL = 2ab + HULL` Arealet til «hullet» kan by på utfordringer. De fleste vil oppdage at «hullet» er et kvadrat og da vet de at de kan regne ut arealet hvis de vet sidelengden. Selv om elevene har skrevet navn på alle sidene til alle trekantene, er det for mange utfordrende å komme fram til at kvadratsiden er a – b. Å finne et uttrykk for slike størrelser er viktig kunnskap i problemløsing. Noen elever vil ha nytte av å tenke at det er tallstørrelser som er oppgitt. Arealet til hullet: `(a - b)^(2) = a^(2) - 2ab + b^(2)` Setter inn: `c^(2) = 2ab + HULL` `c^(2) = 2ab + a^(2) - 2ab + b^(2)` `c^(2) = a^(2) + b^(2)` Elevene blir ofte overrasket over at utregningen ender med Pytagoras’ setning. Gode spørsmål Hvorfor er de fire trekantene like store? Hva trenger dere for å regne ut arealet til en rettvinklet trekant? Beskriv med ord hva som er like stort som arealet til det store kvadratet. Hvor lang er siden til det lille kvadratet? Oppsummering Gå gjennom og diskuter beviset i hel klasse. Tydeliggjør at beviset bygger på sammenligning av arealer med algebra som matematisk verktøy. Elevene kan også lage figuren selv i GeoGebra. Da er Tales’ setning og verktøyet Passer veldig nyttig. Ved å bruke Objekttekst kan de vise samme navn på flere objekter.
Oppgave til elevene Ta bort rutenett og koordinatsystem. Tegn en rettvinklet trekant. Velg Glider og lag en Heltallsglider fra 3 – 15. Lag en Regulær mangekant på hver trekantside. Antall hjørner skal være navnet til glideren. Vis arealene. Dra i glideren. Lag en hypotese, og test den. Kommentar til læreren Gi oppdraget muntlig eller vis det på storskjerm. Tilpass forklaringene i oppgaven til elevene. Kanskje er det lurt å lage glideren i hel klasse? Elevene kan lage en rettvinklet trekant ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Når de har laget figuren, skal de undersøke den. Observasjonene støtter elevene i å utvikle en hypotese. Deretter kan de teste hypotesen, og eventuelt revidere den. Elevene vil oppdage at Pytagoras’ setning stemmer uansett hvor mange sider den likesidede (regulære) mangekanten har. Elever som trenger ekstra utfordringer, kan teste om sammenhengen gjelder andre figurer også. For eksempel kan de undersøke halvsirkler. I GeoGebra er verdien til halvsirkler lengden av buen. For å finne arealet kan de regne det ut eller bruke verktøyet Sirkelsektor gjennom tre punkt. Oppsummering Dynamisk geometri gir elevene mulighet til å observere matematiske sammenhenger. Observasjonene beviser ikke en sammenheng, men de kan gi grunnlag for å lage en hypotese. Det er det viktig å få fram i klassesamtalen hvor elevene deler det de har funnet ut. Fortell gjerne at matematikere har bevist at sammenhengen gjelder så lenge figurene er formlike, og at det kan de selv også bevise etter hvert. Utvidelse For elever i den videregående skolen er å lage et bevis for at sammenhengen gjelder for likesidede trekanter, en fin introduksjon til bevisføring. Noen vil også kunne lage et generelt bevis for alle likesidede mangekanter. Utfordre gjerne elevene til å lese og prøve å forstå et bevis for at sammenhengen gjelder for alle formlike figurer (eksempel: https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#7). Forslag til bevis for likesidede trekanter:
Oppgave til elevene Tegn et kvadrat. Vis arealet og beveg slik at arealet blir 1. Lag konstruksjonen slik som på bildet: Fortsett på samme måte til du har minst fem kvadrater. Vis arealet til kvadratene. Dra i start-kvadratet. Hva skjer? Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om summen av kvadrater. Bruk erfaringene fra Kvadrat + kvadrat = kvadrat dersom elevene har gjort den aktiviteten. Hvilket areal har et kvadrat hvis det er summen av to kvadrater med areal 1? Hvordan vil dere tegne et slikt kvadrat? Hva med et kvadrat med areal 3, areal 4, areal 5 og så videre? Elevene skal komme fram til at de kan bruke Pytagoras’ setning og et kvadrat med areal 1 (sidelengde 1). Kvadratene er arbeidskrevende å tegne på papir, men i GeoGebra går det ganske raskt. For å få en dynamisk figur som er lett å utforske, lager elevene et vilkårlig kvadrat, for eksempel med Regulær mangekant. Hvis de starter med et kvadrat med side og areal 1 blir figuren statisk. Elevene kan se starten på konstruksjonen på bildet. På bildet er Stråle gjennom to punkt brukt for å forlenge sidene til kvadratene, men elevene kan også bruke Linje. Underveis i arbeidet kan det være lurt å gjøre hjelpelinjene usynlige. Da er det enklere å beholde oversikten. Tips elevene om verktøyet Passer som gjør det lett å sette av lengder. Forslag til konstruksjon: Oppsummering Når elevene har laget og utforsket figuren sin, forsetter økten i hel klasse. Studer og diskuter oppdagelser elevene har gjort. For eksempel hvordan arealet endrer seg hvis start-kvadratet har areal 4, hvor store arealene er hvis start-kvadratet er 1,5 eller hvordan sidelengden øker når start-kvadratet har sidelengde 1. Støtt elevene i å finne forklaringer på hvorfor det er slik. Kanskje noen elevpar har laget figurer som oppfører seg annerledes. Hva er grunnen til det? Elevene kan også lage formler som for eksempel beskriver hvordan arealet øker.
Alle bruker hver sin PC med GeoGebra, men la de arbeide i par slik at de kan diskutere underveis. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktiviteten Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik differansen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Kommentar til læreren Elevene bør ha gjennomført opplegget Kvadrat + kvadrat = kvadrat først. Der brukte elevene sidelengdene til de to start-kvadratene til å lage katetene i en rettvinklet trekant. Da fikk kvadratet på hypotenusen areal lik summen av arealet til de to kvadratene. Ta utgangspunkt i erfaringene fra det opplegget. Nå skal elevene tegne et kvadrat som har areal lik differansen mellom arealene til to kvadrater. Da må de bruke sidelengden til et av kvadratene som katet og sidelengden til det andre som hypotenus. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Minn gjerne elevene på hva dynamisk betyr. I GeoGebra kan elevene tegne det nye kvadratet på ulike måter. Programmet har mange verktøy tilgjengelig slik at elevene kan følge sin egen strategi. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram løsningen sin, gjerne noen som har brukt farger aktivt. Ha fokus på hvilke matematiske sammenhenger de har brukt. Diskuter gjerne hvorfor kvadratet noen ganger forsvinner hvis noen elever har oppdaget det.
Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik summen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om hva elevene tenker på når de hører «Pytagoras’ setning». Vanlige elevsvar: a2 + b2 = c2 kat2 + kat2 = hyp2 katet2 + katet2 = hypotenus2 Rettvinklet trekant Hypotenus Katet Mange elever tenker på «Pytagoras’ setning» kun som en algebraisk formel. Utfordre elevene til å forklare sammenhengen geometrisk. Sørg for at elevene forstår at a2, b2 og c2 er kvadrater. Pytagoras’ setning sier da at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. I opplegget skal de bruke denne sammenhengen i GeoGebra. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Elevene kan tegne det nye kvadratet på ulike måter, avhengig av kunnskapene deres i matematikk og i GeoGebra. Uansett hvordan de lager kvadratet skal figuren være dynamisk. Det vil si at dersom elevene endrer størrelsen på et av de to start-kvadratene så skal GeoGebra også endre størrelsen på det nye kvadratet. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram og forklarer hvordan de har kommet fram til løsningen sin. Oppfordre til å bruke matematiske begreper som katet, hypotenus, areal og kvadrat. Opplegget Kvadrat - kvadrat = kvadrat passer bra som en fortsettelse.
Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant. Tegn et kvadrat på alle sidene i trekanten. Gi kvadratene ulik farge og vis arealene. Dra i punktene og observer. Lag en hypotese. Kommentar til læreren Elevene starter med å lage en dynamisk, rettvinklet trekant. Det kan de for eksempel gjøre ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Så skal elevene lage et kvadrat på hver side. De kan bruke Regulær mangekant eller konstruere kvadratene og deretter bruke Mangekant. Minn gjerne elevene om at de kan bruke angre-knappen dersom et kvadrat legger seg over trekanten. Figuren gir elevene mulighet til å utforske sammenhengene mellom kvadratene, nemlig at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Setningen er oppkalt etter Pytagoras (ca 570-490 f.Kr.) selv om den var kjent lenge før hans levetid (https://no.wikipedia.org/wiki/Pytagoras). GeoGebra gir elevene mulighet til å undersøke mange eksempler med samme figur som utgangspunkt siden de kan endre sidelengdene til trekanten. Dette er en av fordelene med å bruke dynamiske geometriprogram i forhold til papir og blyant. Vær oppmerksom på at siden GeoGebra runder av til én desimal kan det skje at summen ikke stemmer helt nøyaktig. Diskuter gjerne hvorfor med elevene. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Noen elever har kanskje oppdaget at summen av arealet til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Mens andre har oppdaget at differansen mellom arealet til kvadratet på hypotenusen og arealet til kvadratet på en av katetene er lik arealet til kvadratet på den andre kateten. Det gir en god mulighet til å sammenligne ulike forklaringer. Oppfordre de til å bruke matematiske begreper som kvadrat, katet, hypotenus og areal.
Om Erasmus+-prosjektet Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Prosjektet går ut på å lage ulike undervisningsopplegg hvor elevene skal utvikle sin algoritmiske tenking. Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Algoritmisk tenking 1 og Algoritmisk tenking 2 er også laget i forbindelse med dette prosjektet. Har du prøvd ut opplegget med elever? Send oss gjerne en tilbakemelding (kontakt@matematikksenteret.no, merk med GeoGebra). Innledning Opplegget handler om Titanic-forliset. Elevene får et utdrag av passasjerlisten i et Excel-ark. Så får de en oppskrift på hvordan de kan finne ut om kvinner og barn ble reddet først fra Titanic. Start gjerne med å se et utdrag av en film om forliset. For eksempel: https://www.youtube.com/watch?v=rs9w5bgtJC8 (ikke se på hele). Elevene arbeider så med elevheftet og Excel-arket. Det er lurt om elevene har hver sin PC, men skriver i et felles elevhefte. Da får begge øving i Excel, kan sammenligne svarene og samarbeide om tekstsvarene. På den første siden i heftet er det noen forklaringer som er viktig for det videre arbeidet. Blant annet skal de lagre regnearket med navnet på gruppen. De blå boksene på elevheftet inneholder spørsmål som elevene skal besvare med egne ord. I de gule boksene skal elevene skrive inn resultatene fra beregninger i Excel. Elevene skal levere regnearket så det er viktig at de tar vare på alle beregninger og kommentarer/overskrifter. Kommentar til læreren Tilpass opplegget til kunnskapene elevene har. Mange formler er godt forklart i elevheftet, men å bruke dem kan fortsatt være vanskelig for elever som har lite erfaring med Excel. Elevene kan søke etter tips og hjelp på https://support.microsoft.com/nb-no/excel. Bli kjent med Titanic-filen I spørsmål 1 blir elevene kjent med regnearket. De undersøker hvilke data regnearket inneholder og hvordan de er oppgitt. Kommentar til læreren Gi elevene god tid til å undersøke dataene. Excel-filen inneholder flere ark. Det er viktig at elevene ikke gjør endringer i Passasjerliste, original slik at de har mulighet til å kopiere dataene derfra ved behov. Problemstilling: Kvinner og barn først? Elevene skal svare på om kvinner og barn ble reddet først gjennom mange oppgaver. Elevheftet forklarer hva de skal gjøre og hvordan. Kommentar til læreren Elevene skal undersøke om den uskrevne loven om at kvinner og barn skal reddes først i en nødssituasjon. Siden datasettet ikke inneholder informasjon om tid, skal elevene i stedet undersøke om kvinner og barn hadde større sannsynlighet for å overleve Titanic-forliset. Hvis det stemmer, er det grunn til å tro at kvinner og barn ble reddet før menn. Elevheftet oppfordrer elevene til å slette kolonner som inneholder data de ikke trenger. Det gjør regnearket mer oversiktlig når elevene skal arbeide med en konkret problemstilling. Behold gjerne passasjernummer slik at det er mulig å sjekke at for eksempel sortering er riktig utført. Om elevene vil beholde navn eller noe annet er det også i orden. Elevene skal bruke ulike formler i Excel. Elevheftet forklarer hvordan elevene skal bruke dem, men det kan være lurt å minne elevene om følgende: Desimaltegn er komma (,). Trykk på kolonnenavn for å markere hele kolonnen (A:A). I formler må tekstvariabler ha anførselstegn rundt (ˮmannˮ). I formler må de bruke semikolon (;) mellom ulike betingelser. Det kan være enklere å kopiere og endre formlene enn å skrive de på nytt hver gang. Bruk Excel som kalkulator. I spørsmål 3 skal elevene sammenligne to metoder de har brukt (i Excel-oppgave 5 og 6) for å beregne sannsynligheten for å overleve for voksne menn, voksne kvinner og barn. I Excel-oppgave 5 har elevene regnet ut sannsynligheten for å overleve ved å dele antall voksne menn som overlevde på det totale antallet overlevende. I Excel-oppgave 6 har de regnet ut sannsynligheten for å overleve ved å dele antall voksne menn som overlevde på det totale antallet menn som var på Titanic. Tilsvarende for voksne kvinner og barn. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive med egne ord hva som skiller de to metodene og å vurdere hvilken metode som gir et mest riktig svar på om kvinner og barn ble reddet først. Det kan hjelpe elevenes resonnering om de tenker seg at det for eksempel bare var et barn om bord og det overlevde. Hva bør sannsynligheten da være for å overleve som barn? Og hva blir den med de to metodene? Oppsummering Oppsummer spørsmål 3 og konklusjonen i en klassesamtale. Velg ut elevpar med ulike begrunnelser til å presentere og diskuter gjerne forskjeller og likheter. Veien videre Elevene har brukt passasjerlisten til å finne ut om kvinner og barn hadde større sannsynlighet for å overleve enn menn. Kanskje elevene lurer på om noe annet påvirket sannsynligheten for å overleve? Eller kanskje det underveis har dukket opp andre spørsmål elevene har lyst til å finne svar på? Datasettet gir mulighet til å undersøke mange ulike problemstillinger.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
