Vis bildet med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert, og etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere. Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør dem om hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «4 · 3 ∙ 2» blir drøftet nærmere nedenfor. Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Bildet til høyre er valgt ut med tanke på å fremheve den kommutative og assosiative egenskapen ved multiplikasjon. De to egenskapene gjør at tre tall som skal multipliseres kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge, svaret blir det samme uansett. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. Kommutativ egenskap: a · b = b · a Kvikkbildet ovenfor kan brukes til å diskutere den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Multiplikasjonen a · b, der a og b er positive hele tall, kan tenkes som gjentatt addisjon. Konvensjonen er at man tenker "a b-ere", altså at a · b = b + b + ... + b (a ganger). Multiplikasjon er kommutativ (a · b = b · a, for alle tall a og b) og det innebærer at rekkefølgen ikke spiller noe rolle. Med andre ord b + b + ... b (a ganger) er like mye som a + a + .... + a (b ganger) når a og b er positive hele tall. Når kunnskap om den kommutative egenskapen er etablert, trenger man ikke å være oppmerksom på rekkefølgen av tallene i multiplikasjon. Men når denne egenskapen skal diskuteres, er det nødvendig at man har en felles tolkning av hva a · b som gjentatt addisjon står for. I en diskusjon om den kommutative egenskapen kan man ta utgangspunkt i en av delene i bildet eller i hele bildet. Vi ser på en av delene, tre kolonner med fire prikker i hver. Antall prikker kan ses som tre 4-ere, altså 3 · 4, og den kan også ses som fire 3-ere, altså 4 · 3. En generalisering (andre tall enn 4 og 3) av bildet kan brukes for å diskutere egenskapen a · b = b · a mer generelt (når a og b er positive hele tall). Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a· (b · c) En måte å tenke antall prikker på er å se at bildet består av to deler. I hver av delene er det tre kolonner med fire prikker i hver, altså 3 · 4 prikker. Antall prikker totalt kan da uttrykkes symbolsk som (3 · 4) · 2. Vi kan også se figuren som fire rader med seks prikker i hver rad, der tre i den ene og tre i den andre delen blir seks. Symbolsk blir dette 4 · (3 + 3) = 4 · (2 · 3). Siden 2 · 3 = 3 · 2 (kommutativitet), så kan vi få uttrykket 4 · (3 · 2). Siden antallet er det samme uansett hvordan vi ser det, betyr det at (4 · 3) · 2 = 4 · (3 ·2). Kommutativitet og assosiativitet gjør at tre faktorer kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge, svaret blir det samme uansett. 4 · 3 · 2 = (4 · 3) · 2 = (3 · 4) · 2 = 4 · (3 · 2) = 3 · (4 · 2) = ....osv. Symbolsk beskrivelse Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 4 · 3 = 12 · 2 = 24. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 4 · 3 → 12·2 → 24. Bruk av piler er et steg på veien mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og tallenes struktur. Se film av en lærer som gjennomfører denne undervisningssekvensen. {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/QpN3Dp8-sJo.jpg?itok=QaRHC060","video_url":"https://www.youtube.com/watch?v=QpN3Dp8-sJo","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]}
Vis bilde med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan sjokoladene er organisert, og etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere. Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall sjokolader. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «4 · 12» blir drøftet nærmere nedenfor. Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall sjokolader i esken er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp bildet (bildet kan erstattes med ei tegning av konfektesken). På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. Ulike måter å se antall sjokolader på: 4 · (3 · 4) eller 4 · (4 · 3). Altså fire deler med tolv sjokolader i hver del (4 · 12). Antallet kan betraktes som tre rader med fire sjokolader i hver rad, eller fire rekker med tre sjokolader i hver rekke. (4 · 3) · 4. Altså 4 deler med 3 rader i hver og det er 4 i hver rad, 12 · 4. 6 · 8 eller 8 · 6. Seks rekker med 8 sjokolader i hver rekke eller åtte rader med seks sjokolader i hver rad. ((3 · 4) · 2) · 2. Tre rader med fire sjokolader i hver rad, doble (halve esken) og doble en gang til. (12 · 2) · 2. Ser tolv sjokolader (uten å tenke 3 og 4), dobler og dobler igjen. (2 · 2) · 12. To deler i eska på venstre side, doble ( fire deler), multiplisere med antall biter i hver del. Andre varianter kan beskrives symbolsk som 2 · (2 · 12), (2 · 2) · (3 · 4) eller 2 · (2 · (3 · 4)). Kommutativ egenskap: a · b = b · a En sammenligning av betraktningene knyttet til 6 · 8 og 8 · 6 gir en illustrasjon av den kommutative egenskapen. Antall sjokolader i esken er det samme om man ser seks rader med åtte sjokolader i hver rad, eller åtte rekker med seks sjokolader i hver rekke. Man kan også studere den ene delen av esken og diskutere kommutativitet ut fra utrykkene 3 · 4 og 4 · 3. Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a · (b · c) Man kan diskutere assosiativ egenskap ved multiplikasjon ved å sammenligne betraktningene (4 · 3) · 4 = 4 · (3 · 4). Utfordringen med at denne konfektesken er delt i fire, er at det blir to 4-ere i utrykket. For å fremheve assosiativitet så bør de ikke "beveges", samme firer må representere det samme i begge utrykkene. Det må være (4 deler · 3 rader i hver del · 4 sjokolader i hver rad) i begge tilfeller, men forskjellen er om man regner ut de to første eller de to siste tallene først. Når dette skal tolkes inn i bildet kan man si at i første tilfelle, (4 · 3) · 4, regner man ut "antall rader med 4 i" først. I siste tilfellet, med 4 · (3 · 4) regner man ut antallet i en av de fire delene først. Dobling Esken er delt i fire like deler. Antall sjokolader (a) i én del kan dobles og så dobles igjen fordi a · 4 = a · 2 · 2 fordi 2 · 2 = 4. Dette kan drøftes i tilknytning til assosiativitet siden (a · 2) · 2 = a · (2 · 2) Symbolsk notasjon Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 2 · 12 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 2 ∙ 12 → 24 ∙ 2 → 48. Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i ett og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og strukturen i tallet 48.
Forklar reglene for spillet. Bruk fire kort med verdi 1 - 4 En spiller er A, en er B A blander kortene B trekker to kort A vinner om summen er partall B vinner om summen er oddetall Spill minst 10 ganger uten å bytte rolle som A og B Noter resultatet for hver gang. Elevene spiller to og to. Må noen være tre sammen, får den tredje oppgaven med å notere poeng. Læreren går rundt og sjekker at alle har forstått reglene og stopper spillet når alle har spilt minst ti omganger. I oppsummeringen begrunner elevene hvorfor de synes at spillet er rettferdig eller ikke. Resultatene fra alle gruppene noteres på tavla. Diskuter fordelingen av poeng for A og B før elevene igjen skal vurdere om spillet er rettferdig og begrunne sine synspunkter. Etter at elevene har konkludert med at det er flere muligheter for å få oddetall enn partall, får de i oppgave på lage spillet rettferdig. De kan da velge fire av kortene med verdier 1-9. Matematiske sammenhenger Opplegget passer best i klasser som ikke har mye erfaring med å søke etter mulige kombinasjoner, men bare vil vurdere rettferdigheten ut fra det de har erfart når de spiller. Normalt vil B vinne selv om vi bare blander og trekker kortene 10 ganger. Ofte vil det skje med knapp margin. Men med så få trekk kan det forekomme både at spillet ender uavgjort og at A vinner. Ser vi bare på resultatene fra 10-15 trekk, kan vi godt konkludere med at spillet er rettferdig. Men når resultatene fra alle gruppene i klassen samles, får elevene et bedre empirisk grunnlag for vurderingen sin. De fleste vil da kunne se at det er størst sjanse for at B vinner. Med dette utgangspunktet kan vi se effekten av de store talls lov som sier at jo flere forsøk vi gjør, jo større er sjansen for at vi får et resultat som ligger tett opp til den teoretiske sannsynligheten – om den kan beregnes. Den teoretiske sannsynligheten for summen av de to kortene kan vi finne med en systematisk gjennomgang av mulige kombinasjoner. En systematisk undersøkelse av mulige kombinasjoner kan gjøres på to måter: 12 kombinasjoner: 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, 3 + 4 = 7, 4 + 1 = 5, 4 + 2 = 6, 4 + 3 = 7. Seks kombinasjoner: 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 3 + 4 = 7 Av de 12 kombinasjonene gir åtte oddetall og fire gir partall. Siden det her er snakk om utvalg uten tilbakelegging – en verdi kan kun velges en gang – er det tilstrekkelig å undersøke de seks kombinasjonene. Vi trenger altså ikke ta med 2 + 1 siden vi allerede har undersøk 1 + 2. I andre tilfeller må begge kombinasjonene regnes med. Det gjelder for eksempel når vi skal undersøke sannsynligheten for ulike summer av kast med to terninger. Da har vi utvalg med tilbakelegging. Om vi kaster en rød og en grønn terning, er det forskjell på om den røde terningen gir 1 og den grønne 2, eller motsatt. En ener og en toer kan vi få på to måter. Det er to forskjellige utfall som vil fylle hver sin rute i tabellen. Men er det samme verdi på begge terningene fyller vi bare ei rute i tabellen som viser alle utfallene. Disse utfallene er markert med gult i tabellen. Et rettferdig spill kan lages ved å bytte ut for eksempel 1-eren med 6-eren. Det kan vi se ved å sette opp de seks mulige kombinasjonene og se at tre av summene er partall og tre er oddetall. Da har vi vist ett tilfelle av et rettferdig spill. Vi kan gå videre og argumentere for at vi får et rettferdig spill uansett, bare vi velger ett oddetall og tre partall slik den ene jenta i denne filmen gjorde. Rettferdigheten ligger altså ikke i disse fire spesielle verdiene (2 - 6). Dette argumentet kan også uttrykkes i det matematiske symbolspråket. Når vi velger ett oddetall og tre partall har vi fire tall som kan skrives slik: 2a + 1, 2b, 2c og 2d. Ser vi nå på de seks kombinasjonene, får vi: 2a + 1 + 2b = 2(a + b) + 1 (oddetall), 2a + 1 + 2c = 2(a + c) + 1(oddetall), 2a + 1 + 2d = 2(a + d) + 1 (oddetall), 2b + 2c = 2(b + c) (partall), 2b + 2d = 2(b + d) (partall), 2c + 2d = 2(c + d) (partall). Tilsvarende begrunnelse på tre nivåer kan vi også bruke for at spillet blir rettferdig om vi har tre oddetall og ett partall, og at det blir urettferdig med to partall og to oddetall.
Start tellingen på fire og tell med 4 om gangen. Skriv tallene i kolonner på fem. Det kan være til hjelp å lage et tomt rutenett på forhånd. Skriv tallet 4 og gi elevene tid til å tenke ut de neste tallene. Elevene sier tallene i kor samtidig som læreren skriver tallet. Tabellen fylles ut under tellingen, og elevene beskriver hvordan de bruker mønstre og sammenhenger til å finne tallene. Noter elevenes forslag og marker mønstre og sammenhenger i tabellen. Det kan være en idé å spare tabellen med notater slik at den kan brukes igjen senere. De matematiske sammenhengene i opplegget «telle med 4 fra 4» blir drøftet nærmere nedenfor. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflekterer over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om Telle-i-kor-aktiviteter finner du her. Matematiske sammenhenger Mønster på ener og tierplass Tellingen starter på 4 og øker med 4. I hver rad har tallene samme siffer på enerplassen. Fra kolonne til kolonne øker tierne med to. Den matematiske begrunnelsen for denne økningen er at fire adderes fem ganger i hver kolonne, 5 ∙ 4 = 20. Denne relasjonen mellom tall gjelder ikke bare mellom tallene i nederste rad. Den gjelder med samme begrunnelse for alle radene. Fra og med kolonne seks ser man at tallene på tierplassen og enerplassen gjentar seg, noe som kan forklares ut fra at 4 · 5 · 5 = 100. Diagonaler i tabellen Mønster som kommer fram ved å betrakte diagonaler i tabellen, kan også gi noen matematiske utfordringer. Enerplassen i hver kolonne følger mønsteret 4 – 8 – 2 – 6 – 0, og det samme mønsteret finner man også på enerplassen hvis man følger tallene i tabellen på skrå nedover, for eksempel fra 24 – 48 – 72 – 96 – 120. Dette kan forklares matematisk ved at man ser på differansen mellom tallene på skrå nedover som er 6 ∙ 4 = 24. Slike betraktninger kan gi gode matematiske diskusjoner og inspirere elever til å lete etter nye sammenhenger i en relativt enkel tabell. 4-gangen og distributiv egenskap Tabellen er også en multiplikasjonstabell for 4-gangen. Det gjør det mulig å kombinere tall direkte for å finne nye tall i tabellen. Dersom dette er et mål for aktiviteten, still gjerne spørsmål som leder elevene mot det å se etter sammenhenger mellom tall i tabellen, og hvordan det er mulig å bruke tallenes plassering i tabellen til å finne nye tall som kommer. Å se på sammenhengen mellom tallenes plassering og verdien av tallene, kan også brukes til å forklare og forstå hvordan tall kan deles opp og uttrykkes på ulike måter. Tallet i rute 5 + Tallet i rute 8 = Tallet i rute 13 20 + 32 = 52 5 · 4 + 8 · 4 = 13 · 4 Her er det også mulig å gå inn på distributiv tenking, for eksempel: 13 · 4 = (5 + 8) · 4 = 5 · 4 + 8 · 4 Tilsvarende kan man også behandle subtraksjon. Med en slik tabell som utgangspunkt vil elevene nokså sikkert finne flere lignende eksempler som kan brukes som et utgangspunkt for å forklare distributivitet dersom dette er et av målene for aktiviteten. Egenskaper ved partall I telling med 4 kan man diskutere egenskaper ved partall. Ved å innføre en variabel n, kan man få en mer algebraisk tilnærming til tallenes plassering og verdi i tabellen. Partall er på formen 2 · n, der n er et naturlig tall. Når man teller med fire, vil alle tallene være på formen 2 · 2 · n. Man får altså annethvert partall i tellingen. Det kan være interessant å se på hvilke partall som ikke er i tabellen og hva som skiller dem fra de man finner i tabellen. Partall som ikke er i tabellen kan uttrykkes algebraisk på formen 2 ∙ 2 ∙ n - 2. En mulig utvidelse i denne tellingen, gjerne på et senere tidspunkt, kan være å se videre på egenskapene til partallene som er i 4-gangen og i 8-gangen. Å halvere partall gjentatte ganger kan være et utgangspunkt for å se hva som skiller tallene i 4-gangen fra de tallene som også finnes i 8-gangen.
To elever spiller mot hverandre. Målet er å lage flest mulig linjer gjennom tre punkter. Aktivitet 1 Elevene åpner GeoGebra og velger at programmet skal vise både koordinater og rutenett. Så bruker de verktøyet Nytt punkt og tegner mange punkter i koordinatsystemet. Punktene skal ligge på rutenettet. I algebrafeltet kan elevene se koordinatene til punktene, og hvis alle punktene har heltallige koordinater, har de gjort det riktig. Elevene bruker så verktøyet Linje for å tegne linjer gjennom to punkter uten at GeoGebra lager nye punkter. La elevene prøve seg fram. I første omgang vil elevene ofte lage mange nye punkter, før de finner ut at de må trykke nøyaktig på de to punktene GeoGebra skal tegne linjen gjennom. Vis, ved å flytte på punkt og på linje, hva det vil si at to punkter ligger på linje. Endre farge, tykkelse og utseende på linjene (se under GeoGebrahjelp litt lenger ned på siden). Kommentar til læreren I denne øvelsen lærer elevene at de må være nøyaktig når de jobber med digitale verktøy. Om punktene ikke ligger på linje, synes det tydelig i Grafikkfeltet. Pass på at det er valgt: Innstillinger- Navn på objekt- Ikke på nye objekt. Slik unngår elevene å få mange unødige bokstaver i Grafikkfeltet. Det er viktig at elevene aktiverer Flytt før de klikker på objektet de vil endre. Først da blir verktøylinjen for endringer synlig. Vær oppmerksom på at elevene velger verktøyet Linje og ikke Linjestykke mellom to punkt. Aktivitet 2 Elev 1 kaster terningene og bruker tallene på terningene som koordinater. Hun kan fritt velge mellom mulige kombinasjoner. For eksempel gir terningkast 2 og 5 følgende mulige koordinater: (2,5) og (5,2). Eleven bruker verktøyet Nytt punkt for å legge inn det valgte punktet på riktig sted i koordinatsystemet. Elev 2 gjør det samme. Elev 1 og elev 2 bytter på og avsetter mange punkter i koordinatsystemet. Begge spillere kan bruke alle punktene. Når en elev oppdager at hun kan legge inn det nye punktet, slik at tre punkter ligger på en linje, tegner hun linjen og fargelegger den med sin farge. Eleven får da 1 poeng. Hvis ikke alle punkter ligger på linje, sletter eleven linjen med angreknappen. Noen ganger er mulig å lage flere linjer i et trekk. Eleven får da 1 poeng for hver linje. Dette gjelder også hvis hun kan tegne linjer gjennom gamle punkter. De oransje linjene er riktige løsninger, mens den blå linjen ikke er riktig siden punkt M ikke ligger på linjen. Kommentar til læreren Dersom elevene synes det er vanskelig å finne linjer, kan læreren be elevene om å undersøke hva som skal til for at punkter ligger på samme linje. Hvis de allerede har funnet en linje, kan elevene ta utgangspunkt i denne for å finne ut hvordan de kommer seg fra et punkt på linjen til et annet punkt på linjen. For eksempel "en til høyre, en ned". Her har vi laget et opplegg med bare positive koordinater. Antall muligheter elevene kan velge for å avsette punkter er dermed meget begrenset. For hvert terningkast finnes det bare to muligheter, og når de er valgt kan eleven ikke avsette nye punkter i denne omgangen. Det er selvsagt ikke noe i veien for å jobbe med hele koordinatsystemet når elevene er klare for det. Andre muligheter for å differensiere: Velg terninger med flere sider, for eksempel 9 eller 12. Gi elevene 3 terninger, men bare 2 skal brukes. Da må elevene selv vurdere hvilke terninger som er best å bruke. GeoGebrahjelp Endre egenskaper for objekter Elevene må aktivere Flytt og klikke på ønsket objekt for å få fram verktøylinjen for egenskaper under Grafikkfelt. Klikk på den lille grå trekanten til venstre for ordet Grafikkfelt om linjen ikke blir synlig. I den første ruten velger elevene fargen (her grønn). I den andre ruten endrer elevene utseende og tykkelsen (her tykk og stiplet). I den tredje ruten bestemmer elevene hvordan GeoGebra skal vise benevningen (her skjult). Tilpasse koordinatsystem I denne oppgaven trenger vi et koordinatsystem med hele tall, fra 0 til 6, på aksene. Elevene skal beholde inndelingen når de forstørrer eller forminsker bildet. Navn på aksene er viktig. Klikk på et tannhjul og velg Grafikkfelt Skriv x for Navn på aksen (NB: Skriv aldri inn noe under enhet) Kryss av for avstand 1 Bare i positiv retning Gjør det samme under fanen for y-akse. Vi anbefaler ikke å lagre disse innstillingene.
Introduksjon Start timen med en samtale om prismer. For eksempel: Hvordan ser et prisme ut, grunnflate, toppflate, volum, overflate og eventuelt noen formler. Det kan også være hensiktsmessig å se på sammenhengen mellom prisme og kube siden det ikke er selvsagt for alle elever at en kube er et spesialtilfelle av et prisme. Opplegget er laget slik at elevene, etter en kort innføring, jobber seg parvis gjennom et elevark . Det er en fordel at elevene gjør GeoGebra brukervennlig ved at de velger at GeoGebra skal vise hjelpelinje og ikke sette navn på nye objekt (se GeoGebrahjelp nederst på siden). Elevene jobber selvstendig med elevarket som inneholder en oppskrift. Elevene må lese en matematisk tekst og tolke det som står der, samtidig som de utfører oppgaven i GeoGebra. Selv om elevene jobber med hver sin PC, skal de jobbe sammen parvis eller i smågrupper. Det er viktig at de diskuterer med hverandre hvordan de skal tolke instruksjonen. Først når de har diskutert og prøvd, kan de spørre læreren. Før læreren svarer, er det viktig at hun sjekker om alle elevene i gruppen har det samme problemet. På den måten kan hun være mer sikker på at elevene jobber sammen og trener på å forklare for hverandre. Elevarket inneholder de samme tegningene som denne beskrivelsen av opplegget, men her står det i tillegg noen tips og henvisninger til vanlige feil og misforståelser. Utforsking og kommentarer til læreren Elevene åpner en ny fil i GeoGebra og velger å vise både rutenett og koordinatsystem. Så tegner de en Mangekant rundt origo. Antall hjørner spiller ingen rolle, men pass på at mangekanten ikke er for stor. Årsaken er at vi ønsker at elevene skal se hele figuren når de åpner Grafikkfelt 3D. Elevene åpner så Grafikkfelt 3D. Da får de se figuren som de har tegnet. Den ligger «på gulvet», altså i xy-planet. Elevene skal nå flytte på hjørnene til figuren både i Grafikkfelt og i Grafikkfelt 3D for å se om de ser sammenhengen mellom vinduene? For elevene er begrepet "xy-plan" ukjent, men de har tegnet mange grafer med x- og y-akse. Derfor kan det være fint for elevene å se at det de har jobbet med i 2D, finner de igjen i 3D. Ordet "gulvet" gir mening. Hvis elevene ikke finner figuren i Grafikkfelt 3D, må de høyreklikke i vinduet for å kontrollere om GeoGebra viser vinduet i Standard visning. Grafikkfelt 3D har verktøyknapper som er forskjellig fra verktøyknappene i Grafikkfelt. Elevene åpner undermenyene i knappen med pyramiden og velg Ekstruder til prisme eller sylinder. Så klikker de på mangekanten og skriver inn et lite tall (3, 4 eller 5) som høyde i tekstboksen. Da får de en figur som ligner figuren på bildet. Ved å velge et lite tall for høyden, slipper elevene å endre størrelsen til Grafikkfelt 3D. Det er imidlertid mulig å endre størrelsen i Grafikkfelt 3D ved å høyreklikke i feltet og velge Forstørr eller forminsk. Elevene skal nå passe på at Flytt er aktivert, og deretter klikke på den lille trekanten foran Grafikkfelt 3D. Da ser de en ny verktøylinje. Ved å klikke på de tre knappene til venstre, forsvinner koordinataksene, rutenettet og «gulvet». Disse endringene gjør at figuren ligner mest mulig på figurene i lærebøkene. Hvis figuren er i en boks, kan de fjerne boksen med andre knapp fra høyre. Elever som ikke finner verktøylinjen har enten glemt å aktivere Flytt eller glemt å klikke på trekanten foran Grafikkfelt 3D. Elevene må igjen kontrollere at Flytt er aktivert. Så finner de ordet Prisme i Algebrafelt og klikker på det. Hele figuren blir da markert. Elevene skal så gi figuren svarte kanter med så lite fyll som mulig. Det er viktig at de ikke tar bort all farge for da vil det ikke være mulig å se forskjell på synlige (heltrukkede) og usynlige (stiplede) linjer. Ved å venstreklikke og bevege musa i Grafikkfelt 3D kan elevene bevege prismet, og elevene skal undersøke hva som skjer med de synlige og usynlige kantene. Figuren ligner nå på figurene elevene kjenner fra læreboka, og når elevene snur på figuren vil de synlige og usynlige kantene hele tiden tilpasse seg automatisk. Elever som trenger ekstra utfordring kan jobbe med hele linjer (fjerne all farge slik at både synlige og usynlige linjer blir heltrukkede). Etter at elevene har studert prismet i ulike posisjoner, skal de snurre figuren tilbake til utgangspunktet. Elevene klikker på trekanten ved knappen lengst til høyre i verktøylinjen under Grafikkfelt 3D og finner fram til knappen med brillene. Figuren blir da utydelig, og de må se på figuren med 3D-briller. Elevene vil se at figuren "kommer ut fra" PCen, og det blir lettere å se sammenhengen mellom en tredimensjonal figur og figuren i læreboka. 3D-brillene gjør at alle figurer vil se grå ut. Deretter skal elevene finne verktøyknappen BrettUt (på samme undermeny som Ekstruder til prisme eller sylinder) og klikke på figuren. Prismet vil da bli brettet ut slik at elevene kan studere overflaten. Det blir samtidig laget en glider i Grafikkfelt, og ved å eksperimentere med glideren kan elevene undersøke overflaten ytterligere. Ved å høyreklikke på glideren og sette Animasjon på skjer utbrettingen automatisk i lavt tempo. Elevene kan ta av 3D-brillene og vise den vanlige figuren. Da kan det være fint å fargelegge de forskjellige sidene. Funksjonen BrettUt fungerer bare på figurer basert på mangekanter. Den lager et nytt lag utenpå prismet, og det kan forvirre noen elever. Da er det best å gjøre prismet usynlig ved å høyreklikke på prismets navn i algebrafeltet og trykke på Vis objekt slik at GeoGebra bare viser overflaten. På den måten samsvarer figuren bedre med elevenes forestilling. Hvis elevene har tegnet en mangekant med konkave hjørner, fungerer ikke verktøyet BrettUt. Eleven må da flytte på hjørnene i mangekanten slik at alle hjørner blir konvekse. Utforske videre Når elvene har laget og undersøkt prisme i 3D, kan de utforske andre figurer. Det finnes verktøyknapper for blant annet kule, terning og tetraeder i Grafikkfelt 3D, og elevene trenger ikke å gå veien om Grafikkfelt når de bruker disse. La elevene prøve seg fram. På elevarket foreslår vi en oppgave som går ut på å tegne en terning med en kule inni. Figuren er lettest å tegne ved at elevene legger kvadratet som utgjør grunnarealet til terningen rundt origo. Utfordringen blir å finne sentrum og radius til kula. Vær oppmerksom på at GeoGebra ikke oppfatter en sirkel i Grafikkfelt som en sirkelflate, men bare som en kurve. Elevene kan derfor ikke klikke på arealet til sirkelen. Hvis de derimot aktiverer Ekstruder til prisme eller sylinder og så klikker på sirkellinja i Grafikkfelt 3D blir sirkelen endret til en sirkelflate og tekstboksen for å skrive inn høyden vises. Til utforskning er det viktig at GeoGebra viser hjelp for verktøylinjen. Da kommer det opp en tekst ved siden av verktøylinjen som forteller hva knappene er til, og det gjør det lettere for elevene å vite hvilke knapper de skal bruke og hvordan. Oppsummering Læreren avslutter aktiviteten med en felles oppsummering. Aktuelle spørsmål til elevene kan være: Hva lærte dere i denne aktiviteten? Hvordan kan dere bruke disse erfaringene når dere arbeider med todimensjonale tegninger av tredimensjonale figurer? Hva var vanskelig? Hva var lett? Hva diskuterte dere i gruppene? Det kan også være aktuelt å velge ut noen grupper som viser fram sin figur og forklarer prosessen, utfordringene og diskusjonene de har hatt underveis. GeoGebrahjelp For å endre innstillinger, klikker elevene på tannhjulet i øvre, høyre hjørne eller høyreklikker i Grafikkfelt eller Grafikkfelt 3D og velger Grafikkfelt. Deretter velger de Utforming, og krysser av for Vis hjelp for verktøylinja. For læreren er det viktig at Inntastingsfelt står øverst, og det kan hun velge i øverste felt. GeoGebra gir automatisk alle nye objekt en etikett med navn i Grafikkfelt og Grafikkfelt 3D. Det blir fort uoversiktlig, og derfor er det lurt å krysse av for Ikke på nye objekt under Innstillinger. Elevene kan hente navn og verdi etter behov. I Grafikkfelt 3D kan det hende at GeoGebra setter navn på nye objekt likevel, men elevene kan ta bort disse. Ved å klikke på Lagre innstillinger, slipper elevene å gjøre denne prosedyren hver gang. I GeoGebra er det mulig å endre endre farge, linjestil og benevning på objekt. Først markerer elevene objektet de vil endre, og deretter velger de hva de vil endre. Hvis verktøylinjen ikke er synlig, må elevene klikke på den grå trekanten til venstre for ordet "Grafikkfelt".
Læreren skriver en og en oppgave på tavla. Når de fleste elevene viser at de har tenkt ferdig, spør læreren hvordan de kom fram til svaret. Læreren noterer elevenes tenkemåte med symbolsk notasjon og leder diskusjonen om de ulike strategiene. I diskusjonen fremhever læreren strategien der man utnytter 4 · 50 i arbeid med de to siste regnestykkene. De to siste oppgavene i oppgavestrengen kan løses ved å ta i bruk svar elevene har funnet i tidligere oppgaver. Regnestykket 4 · 49 kan løses ved å utnytte at 4 · 49 er 4 mindre enn 4 · 50 . Begrunnelse for hvorfor dette er riktig bør klassen diskutere med utgangspunkt i en regnefortelling og tilhørende illustrasjon (et eksempel er gitt senere i teksten, under "Matematiske sammenhenger"). Multiplikasjonen kan her representeres som like grupper, rutenett eller areal, avhengig av hva elevene er vant med. Tilsvarende regnefortelling og illustrasjon bør brukes i siste regnestykket også når tilsvarende strategi brukes. Også der kan man bruke 4 · 50 for å finne ut hvor mye 4 · 52 er: 4 · 52 = 4 · 50 + 4 · 2. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Læreren bør gi elevene tid til å tenke. Les mer om oppgavestreng-aktiviteter. Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal utvikle hensiktsmessige strategier i arbeid med multiplikasjon. Mer spesielt, oppgavestrengen fremhever bruk av distributiv egenskap som en strategi i arbeid med multiplikasjon, `4*49=4*50 - 4*1` og `4*52=4*50 + 4*2` Et av målene med aktiviteten er at den gitte strategien skal begrunnes på de gitte eksemplene. Ulike representasjoner av tall og regneoperasjoner vil være nødvendige i denne sammenhengen. Vurdering av tall og valg av hensiktsmessig strategi Oppgavestrengen bygger på at elevene kan se et tall på ulike måter. For eksempel kan tallet 49 betraktes som 40 + 9, 10 + 39 osv. Denne oppgavestrengen oppfordrer elevene til å se 49 som 50 – 1. Dette gir mulighet til å regne med 50 som er et «snillere» tall og utnytte et regnestykke man allerede har funnet svaret på. Å vurdere tallene i et regnestykke med tanke på å finne «snillere» tall å regne med, vil kunne forenkle regneprosessen i mange tilfeller. Kunnskap om egenskaper ved de involverte tallene og regneoperasjonen i et gitt regnestykke, gjør elevene i stand til å velge strategier som både er effektive og nøyaktige. Ulike representasjoner av multiplikasjon og overganger mellom dem Målet med samtalen er strategien der man ser en av faktorene som en sum eller en differanse. Begge leddene multipliseres med den andre faktoren før man adderer eller subtraherer. Strategien bør beskrives muntlig, med matematiske symboler og med en illustrasjon/regnefortelling. Når man skal begrunne hvorfor strategien er en gyldig framgangsmåte, er det nødvendig å gi mening til multiplikasjon gjennom en regnefortelling eller en illustrasjon. Her kan man se multiplikasjon som like grupper, eller som antall ruter i et rutenett, eller som areal av et rektangel. Det er viktig å være oppmerksom på at de ulike representasjonene av strategien kobles sammen, at man følger det som skjer både symbolsk, muntlig og gjennom illustrasjonen og regnefortellingen. Distributiv egenskap (a ± b) · c = a · c ± b · c og a · (b ± c) = a · b ± a · c Strategien som er hensikten med oppgavestrengen baserer seg på den distributive egenskapen. 4 · 49 = 4 · (50 - 1) = 4 · 50 - 4 · 1 4 · 52 = 4 · (50 + 2) = 4 · 50 + 4 · 2 Begrunne strategien på de gitte regnestykkene Regnestykket 4 · 49 kan løses ved å utnytte at 4 · 49 er 4 mindre enn 4 · 50. Begrunnelse for hvorfor dette er riktig kan diskuteres med utgangspunkt i en regnefortelling, som f.eks.: Jeg har 4 poser med 50 klinkekuler i hver. Antall klinkekuler er altså Svaret på regnestykket kan da tenkes som antall klinkekuler i 4 poser med 49 i hver pose. For å få 49 klinkekuler i hver av de opprinnelige posene, tar jeg bort 1 fra hver. Da har jeg 4 poser med 49 i hver, og 4 klinkekuler er tatt bort. Derfor er 4 · 49 = 4 · 50 - 4 · 1. Tilsvarende regnefortelling og illustrasjon kan brukes til å begrunne strategien der man bruker 4 · 50 for å finne ut hvor mye 4 · 52 er, 4 · 52 = 4 · 50 + 4 · 2.
Start tellingen på fire og tell med 15 om gangen. Skriv tallene i kolonner på seks. Det kan være til hjelp å lage et tomt rutenett på forhånd. Skriv tallet 4 og gi elevene tid til å tenke ut de neste tallene. Elevene sier tallene i kor samtidig som læreren skriver tallet. Tabellen fylles ut under tellingen, og elevene beskriver hvordan de bruker mønstre og sammenhenger til å finne tallene. Noter elevenes forslag og marker mønstre og sammenhenger i tabellen. Det kan være en idé å spare tabellen med notater slik at den kan brukes igjen senere. De matematiske sammenhengene i opplegget «Telle med 15 fra 4» blir drøftet nærmere nedenfor. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Les mer om Telle-i-kor-aktiviteter. Matematiske sammenhenger Tellingen starter på 4 og øker med 15. Når vi går nedover i en kolonne øker vi 15 fra rad til rad. Hopper vi over en rad er økningen 2 · 15 = 30, hopper vi over to rader blir økningen 3 · 15 = 45 osv. Tallene i tabellen får vi ved å legge fire til femtengangen, 15 · n + 4 (starter med n = 0). Med seks tall i hver kolonne får vi en forskjell på 6 · 15 = 90 mellom naboruter i to kolonner. Hopper vi over to kolonner blir økningen 180 osv. Sifferet på enerplassen er alltid 4 eller 9. To femmere er ti, og annet hvert tall vil da ha samme antall enere. Femtengangen – som femgangen - ender alltid på fem eller null. Enerne i samme kolonne er fire og ni annen hver gang, fordi vi legger til fem enere og en tier hver gang. Enerne på samme rad er alltid like, fordi tallene øker med 90 mellom kolonnene (null enere). På 10-erplassen minker tierne med en fra en kolonne til en annen (34 – 124 – 214 – 304), etter null begynner den på 9 igjen (394). Samtidig øker hundrerne med en for hver kolonne (noen unntak fordi det ikke går over til ny hundrer når vi legger til 90, eksempel 109 – 199). Utfordre elevene til å se sammenhenger, å øke med hundre og minke med ti er det samme som å øke med 90 (6 · 15). Innen samme kolonne øker tierne med en og to annenhver gang, fordi vi annenhver gang får en tier overgang, 5 enere + 5 enere. Vi kan også gå på «skrå», f eks fra 109 til 214, ved å legge til 105. Vi går da først en kolonne til høyre, legger til 90, og en rad ned, legger til 15 – eller i motsatt rekkefølge. Det er også mulig å gå «oppover». Da må vi legge til 90 og subtrahere 15 for hvert steg (eller motsatt rekkefølge). Dersom vi bruker tabellen som multiplikasjonstabell for 15-gangen, må vi addere fire fordi vi starter tellingen på fire. Tallet i 1. rute: 0 · 15 + 4 = 4 Tallet i 2. rute: 1 · 15 + 4 = 19 Tallet i 3. rute: 2 · 15 + 4 = 34 Alle tall i tabellen kan skrives på formen 15 · n + 4. Når vi adderer to tall i tabellen, blir fireren med to ganger. Dersom vi ønsker å finne et nytt tall i tabellen ved å addere to tall som er riktig plassert, må vi derfor subtrahere fire. Eksempel: 154 + 274 – 4 = 424. Tallet 424 vil komme i tabellen.
Læreren skriver en og en oppgave på tavla. Når de fleste elevene viser at de har tenkt ferdig, spør læreren hvordan de kom fram til svaret. Læreren noterer elevenes tenkemåte med symbolsk notasjon og en representasjon og leder diskusjonen om de ulike strategiene. I diskusjonen fremhever læreren strategien der man utnytter de to første regnestykkene i arbeid med de to siste. I de to første oppgavene er tallene valgt slik at det faller naturlig å fylle opp de første tallene til nærmeste hundrer ved å ta fra det andre tallet. I de to siste oppgavene er det like naturlig å fylle opp til nærmeste tier. I den tredje oppgaven er det flest enere i det siste tallet, for å se om elevene vurderer tallene. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om aktiviteten oppgavestrenger finner du på nettsiden til MAM-prosjektet. Matematiske sammenhenger Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal utvikle hensiktsmessige strategier i arbeid med addisjon. Mer spesielt, oppgavestrengen fremhever bruk av vennlige tall som en strategi i arbeid med addisjon, 198 + 7 = 198 + (2 + 5) = (198 + 2) + 5 = 200 + 5 198 + 7 = (198 + 2) + (7 – 2) = 200 + 5 Et av målene med aktiviteten er at den gitte strategien skal begrunnes på de gitte eksemplene. Ulike representasjoner av tall og regneoperasjoner vil være nødvendige i denne sammenhengen. Vurdering av tall og valg av hensiktsmessig strategi Denne oppgavestrengen bygger på at elevene kan se et tall på ulike måter. For eksempel kan tallet 198 betraktes som 190 + 8, 100 + 98 osv. Denne oppgavestrengen oppfordrer elevene til å se 198 som 200 – 2. Dette gir mulighet til å regne med 200 som er et «vennligere» tall. Å vurdere en multiplikasjon med tanke på å finne «vennligere» tall å regne med, vil kunne forenkle regneprosessen i mange tilfeller. Kunnskap om egenskaper ved de involverte tallene og regneoperasjonen i et gitt regnestykke, gjør elevene i stand til å velge strategier som både er effektive og nøyaktige. Ulike representasjoner av addisjon og overganger mellom dem Målet med samtalen er strategien der man ser addendene som en sum eller en differanse. Strategien bør beskrives muntlig, med matematiske symboler og med en illustrasjon eller en regnefortelling. Når man skal begrunne hvorfor strategien er en gyldig framgangsmåte, er det nødvendig å gi mening til addisjonen gjennom en regnefortelling eller en illustrasjon. Det er viktig å være oppmerksom på at de ulike representasjonene av strategien kobles sammen, at man følger det som skjer både symbolsk, muntlig og gjennom illustrasjonen eller regnefortellingen. Varierte strategier i addisjon I oppgaven 198 + 7 vil enkelte elever telle opp fra 198 – 199 – 200 – … – 205, og gjerne bruke fingrene som hjelp til å holde orden på hvor mange de skal legge til. Etter hvert som elevene har forståelse for posisjonssystemet vil de utnytte det i addisjonen. I oppgaven 27 + 148 vil det bli vanskeligere å holde styr på telling og fingre om en skal telle oppover med enere, selv om enn starter fra 148. Enkelte elever vil her kombinere enere og tiere og for eksempel tenke en hundrer, fire tiere og to tiere er seks tiere, åtte enere og sju enere er femten enere som igjen er en tier og fem enere. De ser dette for seg i hodet og holder styr på enere, tiere og hundrere og omgrupperer slik at de kommer fram til svaret. Andre elever vil bruke trinnvis økning ved å dele opp 27 i tiere og enere og regne videre fra 148. Å regne med hele tiere er enda enklere, og dersom elevene utnytter dette kan de legge til 30 og trekker fra tre. Hensikten med oppgavestrengen er å få elevene til å se at en mengde kan deles i ulike delmengder uten at hele mengden blir endret og utnytte det i hoderegning ved å gjøre tallene i et addisjonstykke vennligere og lettere å regne med. Ved å flytte 2 fra 27 til 148, blir regnestykket 150 + 25 i stedet for 148 + 27. Begrunne strategien på de gitte regnestykkene Man kan modellere regnestykkene på ulike måter. Oppgaven 198 + 7 kan modelleres med for eksempel med klinkekuler, en figur eller tallinje. I en modell kan dette illustreres med at man flytter kuler mellom posene uten at det totale antall kuler forandrer seg. Det er viktig å kombinere modellen med muntlig språk og symbolsk notasjon, slik at elevene forstår de regneoperasjonene de utfører.
Vis bildet med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert. Etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere. Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør om hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv uttrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som skal regnes ut. De matematiske sammenhengene i opplegget Kvikkbilde "2 · 4 + 3 · 4" blir drøftet nærmere nedenfor. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Her kan du lese mer om kvikkbildeaktiviteter. Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Bildet til høyre er valgt ut med tanke på å fremheve den distributive egenskapen. Bildet kan også brukes som et utgangspunkt i diskusjon om den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. Distributiv egenskap: (a + b) · c = a · c + b · c En måte å tenke antall prikker på er å se at bildet består av to deler. I den ene delen er det to kolonner med fire prikker i hver, og i den andre er det tre kolonner med fire prikker i hver. Antallet prikker kan da uttrykkes symbolsk som 2 · 4 + 3 · 4. En annen måte å se antallet på er å se figuren som helhet, bestående av fem kolonner med fire prikker i hver kolonne. Symbolsk kan dette uttrykkes som 5 · 4. Hvis man har kommet frem at det er fem kolonner ved å se at det er to i den ene delen og tre i den andre, kan tankegangen beskrives symbolsk som (2 + 3) · 4. Siden antallet er det samme uansett hvordan vi ser det, betyr det at 2 · 4 + 3 · 4 = (2 + 3) · 4 = 5 · 4. Sammenhengen kommer tydelig fram i bildet. En generalisering (andre tall enn 2, 3 og 4) av bildet kan brukes for å diskutere egenskapen (a + b) · c = a · c + b · c mer generelt (når a, b og c er positive hele tall). Kommutativ egenskap: a · b = b · a Kvikkbildet ovenfor kan også brukes til å diskutere den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Multiplikasjonen a · b, der a og b er positive hele tall, kan tenkes som gjentatt addisjon. Konvensjonen er at man tenker "a b-ere", altså at a · b = b + b +...+ b (a ganger). Multiplikasjon er kommutativ (a · b = b · a, for alle tall a og b). Det innebærer at rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Med andre ord: b + b +... b (a ganger) er like mye som a + a +...+ a (b ganger) når a og b er positive hele tall. Når kunnskap om den kommutative egenskapen er etablert, trenger man ikke å være oppmerksom på rekkefølgen til tallene i en multiplikasjon. Men når denne egenskapen skal diskuteres, er det nødvendig at man har en felles tolkning av hva a · b som gjentatt addisjon står for. I en diskusjon om den kommutative egenskapen kan man ta utgangspunkt i en av de to delene i bildet eller i hele bildet. Vi ser på den første delen med to kolonner med fire prikker i hver. Antall prikker kan ses som to 4-ere, altså 2 · 4, og den kan også ses som fire 2-ere, altså 4 · 2. En generalisering (andre tall enn 2 og 4) av bilde kan brukes for å diskutere egenskapen a · b = b · a mer generelt (når a og b er positive hele tall). Symbolsk beskrivelse Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 6 · 4 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 6 · 4 → 24 · 2 → 48 Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og tallenes struktur.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
