Lærer: Grete Tofteberg, Kirkebygden skole
Lærer: Svein Torkildsen, Lade skole Trinn: Ungdomstrinn
Lærer: Gjermund Torkildsen, Samfundet Skole Trinn: Ungdomstrinn
Lærer: Kai Otto Jørgensen, Wilds Minne Skole Trinn: 1. - 4. trinn
To elever spiller mot hverandre. Målet er å lage flest mulig linjer gjennom tre punkter. Læreren kan velge å gjennomgå opplegget muntlig i klassen eller å la elevene arbeide med utgangspunkt i et elevark. Aktivitet 1 Elevene åpner GeoGebra og velger at programmet skal vise både koordinater og rutenett. Så bruker de verktøyet Nytt punkt og tegner mange punkter i koordinatsystemet. Punktene skal ligge på rutenettet. I algebrafeltet kan elevene se koordinatene til punktene, og hvis alle punktene har heltallige koordinater, har de gjort det riktig. Elevene bruker så verktøyet Linje for å tegne linjer gjennom to punkter uten at GeoGebra lager nye punkter. La elevene prøve seg fram. I første omgang vil elevene ofte lage mange nye punkter, før de finner ut at de må trykke nøyaktig på de to punktene GeoGebra skal tegne linjen gjennom. Vis, ved å flytte på punkt og på linje, hva det vil si at to punkter ligger på linje. Endre farge, tykkelse og utseende på linjene (se under GeoGebra-hjelp litt lenger ned på siden). Kommentar til læreren I denne øvelsen lærer elevene at de må være nøyaktig når de jobber med digitale verktøy. Om punktene ikke ligger på linje, synes det tydelig i Grafikkfeltet. Pass på at det er valgt: Innstillinger- Navn på objekt- Ikke på nye objekt. Slik unngår elevene å få mange unødige bokstaver i Grafikkfeltet. Det er viktig at elevene aktiverer Flytt før de klikker på objektet de vil endre. Først da blir verktøylinjen for endringer synlig. Vær oppmerksom på at elevene velger verktøyet Linje og ikke Linjestykke mellom to punkt. Aktivitet 2 Elev 1 kaster terningene og bruker tallene på terningene som koordinater. Hun kan fritt velge mellom mulige kombinasjoner. For eksempel gir terningkast 2 og 5 følgende mulige koordinater: (2,5), (5,2), (-2,5), (-5,2), (5,-2), (2,-5) og (-5,-2). Eleven skriver inn koordinatene i Skrivefeltet for å legge inn det valgte punktet på riktig sted i koordinatsystemet. Elev 2 kaster så terningene og avsetter et punkt på samme måte. Elev 1 og elev 2 bytter på og avsetter mange punkter i koordinatsystemet. Begge spillere kan bruke alle punktene. Når en elev oppdager at hun kan legge inn det nye punktet, slik at tre punkter ligger på en linje, tegner hun linjen og fargelegger den med sin farge. Eleven får da 1 poeng. Hvis ikke alle punktene ligger på linje, sletter eleven linjen med returknappen. Noen ganger er mulig å lage flere linjer i et trekk. Eleven får da 1 poeng for hver linje. Dette gjelder også hvis hun kan tegne linjer gjennom tidligere avsatte punkter. De grønne linjene er riktige løsninger. Den røde linjen er ikke riktig siden punkt D ikke ligger på linjen. Kommentarer til læreren I denne aktiviteten repeterer elevene plassering av punkter i koordinatsystem. Dersom elevene ikke har forstått betydningen til x- og y-koordinatene til punkter i et koordinatsystem, kan punktene komme på andre steder enn elevene trodde. Da er det ikke lov til å prøve på nytt. Hvis elevene har tegnet punkter på koordinataksene, er det viktig å få en forklaring fra elevene siden tallene på terningen går fra 1 til 6 og punktene på aksene må ha en koordinat lik 0. Elevene kan øve på at punkter på aksene har en koordinat som er 0 ved å bruke en terning med 10 sider og tall fra 0 – 9. Læreren kan variere aktiviteten ved å la elevene bruke verktøyet Nytt punkt for å sette inn punkter i Grafikkfeltet. Det er også mulig å differensiere aktiviteten ved å bruke bare positive akser, å bruke terninger med mer enn seks sider eller å gi elevene tre terninger, hvor elevene selv må avgjøre hvilke to terninger de bør lage punktet sitt med. GeoGebrahjelp Endre egenskaper for objekter Elevene må aktivere Flytt og klikke på ønsket objekt for å få fram verktøylinjen for egenskaper under Grafikkfelt. Klikk på den lille grå trekanten til venstre for ordet Grafikkfelt om linjen ikke blir synlig. I den første ruten velger elevene fargen (her grønn). I den andre ruten endrer elevene utseende og tykkelsen (her tykk og stiplet). I den tredje ruten bestemmer elevene hvordan GeoGebra skal vise benevningen (her skjult). Tilpasse koordinatsystem I denne oppgaven trenger vi et koordinatsystem med hele tall, fra -6 til 6, på aksene. GeoGebra skal beholde inndelingen når elevene forstørrer eller forminsker bildet. Navn på aksene er viktig. Klikk på et tannhjul, velg Grafikkfelt og xAkse Skriv x for Navn på aksen (NB: Skriv aldri inn noe under enhet) Kryss av for avstand 1 Bare i positiv retning (eventuelt) Gjør det samme under fanen for yakse (y-akse skal hete y). Det er ikke anbefalt å lagre disse innstillingene.
Start tellingen på 19 og tell med 19 om gangen. Skriv tallene i kolonner på fem. Det kan være til hjelp å lage et tomt rutenett på forhånd. Skriv tallet 19 og gi elevene tid til å tenke ut de neste tallene. Elevene sier tallene i kor, samtidig som læreren skriver tallet. Tabellen fylles ut under tellingen, og elevene beskriver hvordan de bruker mønstre og sammenhenger til å finne tallene. Noter elevenes forslag og marker mønstre og sammenhenger i tabellen. Det kan være en idé å spare tabellen med notater slik at den kan brukes igjen senere. De matematiske sammenhengene i opplegget «telle med 19 fra 19» blir drøftet nærmere nedenfor. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om Telle-i-kor-aktiviteter finner du her. Matematiske sammenhenger Tellingen starter på 19 og øker med 19, og vi får egentlig en multiplikasjonstabell for 19. Når vi går nedover i en kolonne øker vi 19 fra rad til rad. Hopper vi over en rad er økningen 2 · 19 = 38, hopper vi over to rader blir økningen 3 · 19 = 57. For å regne ut 3 · 19, kan én strategi være å regne 3 · 20 og trekke fra 3 · 1. Med fem tall i hver kolonne får vi en forskjell på 5 · 19 = 95 mellom naboruter i to kolonner. I hver rad veksler det mellom to siffer på enerplassen, og på tier-plassen gjentas sifferet to ganger før det minker med én osv. Dette skjer fordi det adderes 95 fra kolonne til kolonne. I hver kolonne øker tierne med to for hver gang, samtidig som enerne minker med én. Det er fordi vi legger til 19, som er to tiere minus en, for hvert steg. Sifferet på hundrerplassen er det samme i hver av de fire første kolonnene. Når vi kommer til 20 · 19, i slutten av fjerde kolonne, har vi plass til en ekstra 19-er til innenfor samme hundrer. Ser vi på tallene i en gitt rad er økningen 95 (20 · 5 – 5), og det innebærer at sifferet på hundrerplassen som oftest øker med én. I hver rad vil det være unntak. I første rad ser vi et unntak allerede etter fjerde tall. Vi kan også gå på «skrå», f.eks. fra 342 til 456, ved å addere 114. Vi går da først en kolonne til høyre, adderer 100 (eller 95), og en rad ned, adderer 14 (eller 19), eller i motsatt rekkefølge. Tabellen er en multiplikasjonstabell for 19. Ved å se på 19 som nesten 20, blir multiplikasjonene mer håndterlige. Vi finner for eksempel 13 · 19 = 247 i tredje rute i tredje kolonne. Hvordan blir dette dersom vi tenker på 19 som (20 – 1)? Klarer elevene å se dette som regnestykket 13 · 19 = 13 · (20 – 1) = 19 = 13 · 20 - 13 · 1. Lede fram mot et generelt utrykk 19 · n = (20 · n) – n.
Læreren skriver oppgavene en og en på tavla. Når de fleste elevene viser at de har tenkt ferdig, spør læreren hvordan de kom fram til svaret. Læreren noterer elevenes tenkemåte med symbolsk notasjon og en representasjon og leder diskusjonen om de ulike strategiene. I diskusjonen fremhever læreren strategien der man utnytter de to første regnestykkene i arbeid med de to siste. De to siste oppgavene i oppgavestrengen kan løses ved å ta i bruk svar elevene har funnet i tidligere oppgaver. Regnestykket 12 · 150 kan løses ved å legge sammen produktene av 2 · 150 og 10 · 150. Begrunnelse for hvorfor dette er riktig kan illustreres med 12 «poser» med 150 «kuler», rutenett eller areal. I den siste oppgaven kan elevene bruke svaret fra 12 · 150 til å regne ut 12 · 149. Både posene, rutenettet eller areal kan brukes til å illustrere oppgaven. Læreren velger den representasjonen som er mest kjent for elevene. Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. Elevene bør bli oppmerksomme på og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om aktiviteten oppgavestrenger finner du på sidene til MAM-prosjektet Matematiske sammenhenger Hensikten med aktiviteten er at elevene skal utvikle hensiktsmessige strategier i arbeid med multiplikasjon. Mer spesielt, oppgavestrengen fremhever bruk av distributiv egenskap som en strategi i arbeid med multiplikasjon, 12 · 150 = (2 + 10) · 150 = 2 · 150 + 10 · 150 og 12 · 149 = 12 · (150 – 1) = 12 · 150 – 12 · 1. Et av målene med aktiviteten er at den gitte strategien skal begrunnes på de gitte eksemplene. Ulike representasjoner av tall og regneoperasjoner vil være nødvendige i denne sammenhengen. Vurdering av tall og valg av hensiktsmessig strategi Denne oppgavestrengen bygger på at elevene kan se et tall på ulike måter. For eksempel kan tallet 149 betraktes som 140 + 9, 100 + 49 osv. Denne oppgavestrengen oppfordrer elevene til å se 149 som 150 – 1. Dette gir mulighet til å regne med 150 som er et «snillere» tall. Å vurdere en multiplikasjon med tanke på å finne «snillere» tall å regne med, vil kunne forenkle regneprosessen i mange tilfeller. Kunnskap om egenskaper ved de involverte tallene og regneoperasjonen i et gitt regnestykke, gjør elevene i stand til å velge strategier som både er effektive og nøyaktige. Ulike representasjoner av multiplikasjon og overganger mellom dem Målet med samtalen er strategien der man ser en av faktorene som en sum eller en differanse. Begge leddene multipliseres med den andre faktoren før man adderer eller subtraherer. Strategien bør beskrives muntlig, med matematiske symboler og med en illustrasjon eller en regnefortelling. Når man skal begrunne hvorfor strategien er en gyldig framgangsmåte, er det nødvendig å gi mening til multiplikasjon gjennom en regnefortelling eller en illustrasjon (se illustrasjoner under beskrivelse av opplegget). Her kan man se multiplikasjon som like grupper, eller som antall ruter i et rutenett, eller som areal av et rektangel. Det er viktig å være oppmerksom på at de ulike representasjonene av strategien kobles sammen, at man følger det som skjer både symbolsk, muntlig og gjennom illustrasjonen eller regnefortellingen. Distributiv egenskap (a ± b) · c = a · c ± b · c og a· (b± c) = a · b ± a · c Den distributive egenskap kan brukes til å regne ut alle oppgavene i denne oppgavestrengen, 2 · 150 = 2 · (100 + 50) = 2 · 100 + 2 · 50, 10 · 150 = 10 · (100 + 50) = 10 · 100 + 10 · 50, 12 · 150 = (10 + 2) · 150 = 10 · 150 + 2 · 150 og 12 · 149 = 12 · 150 – 12 · 1 = 12 · (150 – 1). Begrunne strategien på de gitte regnestykkene Man kan modellere den distributive egenskapen ved å tegne rutenett eller poser med «kuler». 12 · 150 kan modelleres med 10 + 2 poser med 150 «kuler», eller rutenettet deles inn slik at den distributive egenskapen blir synlig. 12 · 149 kan skrives som 12 · (150 – 1). I en modell kan dette illustreres med at man tar bort en «kule» fra hver pose eller at rutenettet blir en kolonne kortere. Det er viktig å kombinere modellen med muntlig språk og symbolsk notasjon, slik at elevene forstår de regneoperasjonene de utfører.
Spillets gang: Del ut fem kort til hver elev. Snu det øverste kortet i bunken med bildesiden opp. Dette er måltallet. Hver spiller prøver å kombinere sine kort ved addisjon/subtraksjon/multiplikasjon og divisjon for å lage måltallet. De kan bruke så mange av de fem kortene som de ønsker, men hvert kort kan brukes bare en gang. Hver spiller skriver sitt beste forslag på et ark og legger til side kortene de har brukt. Kortet med måltallet legges i bunnen av kortstokken. Spillerne tar nye kort, like mange som han/hun har brukt til å lage regnestykket. Nytt kort fra toppen av kortstokken snus og blir det nye måltallet. Ny runde spilles. Spillet fortsetter til det ikke er flere kort å trekke for å erstatte kort som spillerne har spilt ut. Vinneren er den som har spilt ut flest kort, dvs. brukt flest kort på å danne måltallet. Klassesamtale som oppsummerer noen aspekter ved aktiviteten Eksempel: Måltallet er 8 og kortene man trekker er 9 – 5 – 3 – 6 – 4. Mulige løsninger kan være: 5 + (6 – 3) (bruker 3 kort), eller (9 – 3) + (6 – 4) (bruker 4 kort), eller (9 + 3 – 4) · (6 – 5) (bruker alle 5 kortene). Matematiske sammenhenger I dette spillet skal elevene kombinere ulike tall for å lage måltallet. Elevene kan bruke alle regnearter og kombinere tallene slik at de oppnår ønsket måltall. De kan bruke to eller flere kort for å lage tallet. Det er selvfølgelig lurt å bruke så mange kort som mulig, da vinneren er den som bruker flest kort. Elevene skriver regnestykket som gir måltallet i hver runde. Dette utfordrer elevene på hvordan de så presist som mulig, kan vise utregningen de gjør. I klassesamtalen om spillet, kan du som lærer legge vekt på ulike ting. Vi har valgt å legge fokus på fire ulike matematiske sammenhenger du kan trekke fram i samtalen med elevene. Disse sammenhengene er: effektive hoderegningsstrategier, prioritering av regnearter, matematisk notasjon og bruk av identitetselement. Strategier Når elevene får sine kort kan de tilfeldig begynne å prøve ulike kombinasjoner med kortene sine. Etter litt prøving og feiling kan de finne fram til kombinasjoner som gir måltallet. En mer effektiv strategi kan være å se på måltallet, vurdere hvilke tallkombinasjoner som gir dette tallet og se om man kan lage disse tallkombinasjonene. Vi ser på et eksempel der måltallet er 8. Eleven vurderer hvilke kombinasjoner som gir 8, f.eks. 0 + 8, 1 + 7, 2 + 6 osv. 9 – 1, 10 – 2, 11 – 3 osv. 2 · 4 eller 16 : 2 osv. En annen måte kan være å ta utgangspunkt i et tall de kan lage for eksempel 5. De tenker videre hva må jeg gjøre med 5 for å få 8. Elevene kan også ta utgangspunkt i to kort de har, f.eks. 9 og 3. De vurdere hvilke tall de kan lage med disse tallene. De kan addere, 9 + 3 = 12, subtrahere, 9 – 3 = 6, multiplisere, 9 · 3 = 27 eller dividere, 9 : 3 = 3. Prioritering av regnearter, bruk av likhetstegnet og matematisk notasjon Å prioritere regnearter i riktig rekkefølge er vanskelig for mange elever og det er ikke så enkelt å finne gode situasjoner som viser konsekvensen av reglene for prioritering av regnearter. I denne aktiviteten kan det være mulig å finne gode eksempler på hvordan prioritering av regneartene slår ut ved å prioritere ulikt. Det er kort vei fra prioritering av regnearter til matematisk notasjon med parenteser. Vi kan se på diskusjon om prioritering av regnearter, som et steg på veien til å se behovet for parenteser. En elev laget måltallet 8 med følgende regnestykke: 13 – 11 · 3 + 2 · 1. Følger man reglene for prioritering av regnearter får man (– 18) som svar. Dette eksemplet viser hvorfor man må bruke parenteser for å beskrive de ulike regneoperasjonene eleven har gjort. Med bruk av parenteser ser regnestykket slik ut: ((13 – 11) · 3 + 2) · 1. I sammenheng med diskusjon om prioritering av regnearter, vil behovet for å bruke parenteser naturlig tvinge seg frem. Når elevene oppdager denne muligheten, vil det helt sikkert komme mange fine eksempler som kan brukes i oppsummering av spillaktiviteten. Velg ut eksempler som viser bruk av parenteser på ulike måter, både nødvendig/unødvendig og riktig/gal bruk av parenteser. Elever har ofte en ukritisk bruk av = - tegnet. F.eks. 2 + 3 = 5 · 4 = 20 – 8 = 12 : 2 = 6. Slike regnestykker vil være et godt utgangspunkt for å diskutere bruk av likhetstegnet. I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 2 + 3 → 5 · 4 → 20 – 8 → 12 : 2 → 6. Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon. Bruk av identitetselementer 0 er identitetselement ved addisjon og subtraksjon og 1 er identitetselement ved multiplikasjon og divisjon. Målet med spillet er å bruke flest mulig kort. Å utnytte identitetselement vil være en effektiv måte å få brukt flere kort uten at de har betydning for svaret på regnestykket. Dersom man velger å framheve denne strategien, velg eksempler som viser hvordan man kan utnytte identitetselementer i addisjon/subtraksjon og multiplikasjon/divisjon. Identitetselementene utnyttes både i brøkregning og arbeid med ligninger. I brøkregning utnyttes identitetselementet 1 når vi finner fellesnevner og ved utvidelse og forkortelse av brøker. Vi multipliserer eller dividerer med 1 og skriver 1 som brøk på en slik måte at vi får fine tall å jobbe med. I arbeid med ligninger utnytter vi identitetselementene når vi jobber for å få x alene på den ene siden av likhetstegnet.
Læreren starter med å fortelle om Stian som har en kalkulator som er ødelagt slik at desimalkomma ikke vises på skjermen. Når Stian slår inn 249 : 7, får han 35571 som siffer på skjermen. Skjermen på kalkulatoren viser riktige siffer, men angir svaret uten desimalkomma. Hvor skal desimalkommaet stå? Læreren skriver den første oppgaven på tavla, og sifrene som Stian fikk på kalkulatoren. Elevene får tenketid, før de kommer med forslag om hvor de vil plassere desimalkommaet. Når de fleste elevene viser at de har tenkt ferdig, spør læreren hvordan de kom fram til svaret. Deretter presenterer læreren de neste oppgavene, en etter en, og elevene begrunner sine svar og argumenterer for sine løsninger. Læreren noterer elevenes tenkemåte og leder diskusjonen om de ulike strategiene. I diskusjonen fremhever læreren strategien der man utnytter relasjonen mellom dividendene og mellom divisorene. Læreren utfordrer elevene på å bruke svarene og resonnementene fra de foregående oppgavene til å forstå og forklare hva som skjer når verdiene i dividend og divisor endres. Læreren må være bevisst på å snakke om å gjøre tallet ti ganger større/mindre og at sifrene endrer verdi i stedet for å bruke betegnelsen «å flytte komma». Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere. I vedlagte undervisningsnotat er det forslag til en progresjon for gjennomføring og retning for en diskusjon som fremmer de faglige målene. Læreren bør bruke samtaletrekkene slik at elevene blir oppmerksomme på og reflekterer over hva andre sier. Elevene må få tid til å tenke. Matematiske sammenhenger Posisjonssystemet Oppgavestrengen gir en mulighet til å diskutere posisjonssystemet og desimaltall. Mange elever bruker begreper som å flytte komma, legge til eller fjerne nuller når det er snakk om å gjøre tall ti ganger større eller ti ganger mindre. Noen bruker disse begrepene og har forståelse for posisjonssystemet og hvordan verdien av sifrene endres, men mange reflekterer ikke over hva som egentlig skjer. I arbeidet med denne oppgavestrengen utfordres forståelsen for posisjonssystemet. Sifrenes verdi i 35571 avhenger av hvor elevene plasserer desimalkommaet. Overslagsregning I denne sekvensen knytter vi divisjon til overslagsregning. Det krever at elevene kjenner divisjon som regneart, og at de også er i stand til å se sammenhengen mellom divisjon og multiplikasjon. Når elevene skal vurdere hvor desimalkommaet skal stå i 249 : 7, ser de at svaret må bli større enn 3,5571 men mindre enn 355,71 fordi 3 · 7 er mye mindre enn 249, og 355 · 7 er mye mer enn 249. Ved å knytte divisjonsforståelse til overslagsregning, kan det kanskje gi elevene flere strategier til å vurdere svar i praktiske oppgaver med desimalkomma, eller når man foretar beregninger med en kalkulator. Begrunnelser I denne strengen har vi valgt å gå på begrunnelser ut fra posisjonssystemet og overslagsregning. Når vi skal begrunne hvorfor divisjon med 7 gir et svar som er ti ganger større enn divisjon med 70, er det viktig å betrakte tallet 7 som ti ganger mindre enn 70. Skal man gå dypere inn i begrunnelsen hvorfor det skjer, kan man illustrere divisjon gjennom en regnefortelling (målingsdivisjon) eller på en tallinje som vist. Her kan regnefortellingen være at du har en planke på 249 cm som skal deles i biter på 7 cm eller biter på 70 cm. Hvor mange får du? Når man går videre i denne oppgavestrengen er ikke målet å få vist representasjonen med alle regnestykkene, men heller å bruke den kunnskapen man får i de to første oppgavene i strengen til å resonnere hvordan svaret må bli i de etterfølgende oppgavene. 249 : 7 = 35,571 og 249 : 70 = 3,5571
Tellingen starter på 120 og vi teller med 120 om gangen. Skriv tallene i kolonner på fem. Det kan være til hjelp å lage et tomt rutenett på forhånd. Skriv tallet 120 og gi elevene tid til å tenke ut de neste tallene. Elevene sier tallene i kor samtidig som læreren skriver tallet. Tabellen fylles ut under tellingen og, elevene beskriver hvordan de bruker mønstre og sammenhenger til å finne tallene. Noter elevenes forslag og marker mønstre og sammenhenger i tabellen. Det kan være en idé å spare tabellen med notater slik at den kan brukes igjen senere. De matematiske sammenhengene i opplegget «Telle med 120 fra 120» blir drøftet nærmere nedenfor. Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Mer om Telle-i-kor-aktiviteter finner du her. I undervisningsnotat til læreren ligger det forslag til videreføring av opplegget. Del 1 av opplegget kan være mulig å gjennomføre på ca. 15 min. Matematiske sammenhenger Tellingen starter på 120 og øker med 120, og vi får egentlig en multiplikasjonstabell for 120. Når vi går nedover i en kolonne øker vi 120 fra rad til rad. Hopper vi over en rad er økningen 2 · 120 = 240, hopper vi over to rader blir økningen 3 · 120 = 360 osv. Med fem tall i hver kolonne får vi en forskjell på 5 · 120 = 600 mellom naboruter i to kolonner. Hopper vi over to kolonner vil økingen bli 1200 osv. Sifferet på 100-plassen øker med 1 på de fire første tallene, så hopper vi over 5 og går fra 480 til 600. Det er fordi fem 20-ere utgjør en ny hundrer. Tilsvarende mønster får vi mellom de to siste tallene i hver kolonne. På 10-erplassen finner vi mønsteret 2 – 4 – 6 – 8 – 0 ovenfra og ned i hver kolonne. Det betyr også at vi får samme siffer på 10-erplassen i en rad. Sammen med økningen på 600 fra kolonne til kolonne kan dette være en nyttig informasjon å resonnere ut fra når elevene skal finne ut om et bestemt tall (4520) vil komme et eller annet sted i tabellen. Tallet må eventuelt komme i øverste rad, men økningen fra 3120 til 4520 er 1400, og det går ikke opp i 600. Vi kan også gå på «skrå», f.eks. fra 2040 til 2760, ved å legge til 720. Vi går da først en kolonne til høyre, legger til 600, og en rad ned, legger til 120 – eller i motsatt rekkefølge. Det er også mulig å gå en rad opp. Da må vi subtrahere 120. Alle mønstrene stammer fra strukturen i tabellen som er telling med 120 skrevet i kolonner på fem. Siden tabellen er en multiplikasjonstabell for 120, finner vi for eksempel 13 · 120 = 1560 i tredje rute i tredje kolonne. I de to første kolonnene har vi multiplisert 120 med tallene 1-10. 13 kommer som tredje tall i tredje kolonne. Alle tall i tabellen kan skrives på formen 120 · n. Vi kan finne et nytt tall i tabellen ved å addere to tall som allerede er riktig plassert: 2160 = 18 · 120 og 3240 = 27 · 120. 2160 + 3240 = 5400 vil komme i tabellen. Tallet hører hjemme i rute nummer 45: 18 · 120 + 27 · 120 = (18 + 27) · 120 = 45 · 120.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
