Oppgave til elevene Tegn et kvadrat. Vis arealet og beveg slik at arealet blir 1. Lag konstruksjonen slik som på bildet: Fortsett på samme måte til du har minst fem kvadrater. Vis arealet til kvadratene. Dra i start-kvadratet. Hva skjer? Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om summen av kvadrater. Bruk erfaringene fra Kvadrat + kvadrat = kvadrat dersom elevene har gjort den aktiviteten. Hvilket areal har et kvadrat hvis det er summen av to kvadrater med areal 1? Hvordan vil dere tegne et slikt kvadrat? Hva med et kvadrat med areal 3, areal 4, areal 5 og så videre? Elevene skal komme fram til at de kan bruke Pytagoras’ setning og et kvadrat med areal 1 (sidelengde 1). Kvadratene er arbeidskrevende å tegne på papir, men i GeoGebra går det ganske raskt. For å få en dynamisk figur som er lett å utforske, lager elevene et vilkårlig kvadrat, for eksempel med Regulær mangekant. Hvis de starter med et kvadrat med side og areal 1 blir figuren statisk. Elevene kan se starten på konstruksjonen på bildet. På bildet er Stråle gjennom to punkt brukt for å forlenge sidene til kvadratene, men elevene kan også bruke Linje. Underveis i arbeidet kan det være lurt å gjøre hjelpelinjene usynlige. Da er det enklere å beholde oversikten. Tips elevene om verktøyet Passer som gjør det lett å sette av lengder. Forslag til konstruksjon: Oppsummering Når elevene har laget og utforsket figuren sin, forsetter økten i hel klasse. Studer og diskuter oppdagelser elevene har gjort. For eksempel hvordan arealet endrer seg hvis start-kvadratet har areal 4, hvor store arealene er hvis start-kvadratet er 1,5 eller hvordan sidelengden øker når start-kvadratet har sidelengde 1. Støtt elevene i å finne forklaringer på hvorfor det er slik. Kanskje noen elevpar har laget figurer som oppfører seg annerledes. Hva er grunnen til det? Elevene kan også lage formler som for eksempel beskriver hvordan arealet øker.
Alle bruker hver sin PC med GeoGebra, men la de arbeide i par slik at de kan diskutere underveis. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktiviteten Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik differansen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Kommentar til læreren Elevene bør ha gjennomført opplegget Kvadrat + kvadrat = kvadrat først. Der brukte elevene sidelengdene til de to start-kvadratene til å lage katetene i en rettvinklet trekant. Da fikk kvadratet på hypotenusen areal lik summen av arealet til de to kvadratene. Ta utgangspunkt i erfaringene fra det opplegget. Nå skal elevene tegne et kvadrat som har areal lik differansen mellom arealene til to kvadrater. Da må de bruke sidelengden til et av kvadratene som katet og sidelengden til det andre som hypotenus. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Minn gjerne elevene på hva dynamisk betyr. I GeoGebra kan elevene tegne det nye kvadratet på ulike måter. Programmet har mange verktøy tilgjengelig slik at elevene kan følge sin egen strategi. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram løsningen sin, gjerne noen som har brukt farger aktivt. Ha fokus på hvilke matematiske sammenhenger de har brukt. Diskuter gjerne hvorfor kvadratet noen ganger forsvinner hvis noen elever har oppdaget det.
Oppgave til elevene: Tegn to kvadrater med tydelig forskjellig størrelse. Gi dem forskjellig farge og vis arealene. Tegn et nytt, dynamisk kvadrat med areal lik summen av arealene til de to kvadratene. Dra i de to start-kvadratene for å se om sammenhengen alltid stemmer. Kommentar til læreren Start med en klassesamtale om hva elevene tenker på når de hører «Pytagoras’ setning». Vanlige elevsvar: a2 + b2 = c2 kat2 + kat2 = hyp2 katet2 + katet2 = hypotenus2 Rettvinklet trekant Hypotenus Katet Mange elever tenker på «Pytagoras’ setning» kun som en algebraisk formel. Utfordre elevene til å forklare sammenhengen geometrisk. Sørg for at elevene forstår at a2, b2 og c2 er kvadrater. Pytagoras’ setning sier da at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. I opplegget skal de bruke denne sammenhengen i GeoGebra. Be elevene åpne GeoGebra og gi så oppgaven muntlig. Vis den gjerne på storskjerm også. Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Elevene kan tegne det nye kvadratet på ulike måter, avhengig av kunnskapene deres i matematikk og i GeoGebra. Uansett hvordan de lager kvadratet skal figuren være dynamisk. Det vil si at dersom elevene endrer størrelsen på et av de to start-kvadratene så skal GeoGebra også endre størrelsen på det nye kvadratet. Tips dem gjerne om verktøyet Passer. Det gjør det lett å sette av sidelengder. Eksempler på konstruksjon: Oppsummering Velg ut noen elevpar som viser fram og forklarer hvordan de har kommet fram til løsningen sin. Oppfordre til å bruke matematiske begreper som katet, hypotenus, areal og kvadrat. Opplegget Kvadrat - kvadrat = kvadrat passer bra som en fortsettelse.
Elevene arbeider i par eller små grupper slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett, samt at de har sortert objekter etter type og ikke får navn på nye objekt. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn en trekant. Vis arealet og dra i trekanten til arealet blir 15. Bruk verktøyet Penn og sett et merke i et av hjørnene. Dra i dette hjørnet til du finner en ny trekant med areal 15. Merk plasseringen til hjørnet med Penn. Fortsett på samme måte. Dra alltid i det samme hjørnet! Observer og lag en hypotese. Tegn en ny trekant for å bekrefte/avkrefte hypotesen. Kommentar til læreren Gi oppgaven muntlig. Skriv gjerne stikkord på tavle eller storskjerm. Hvis elevene har lite erfaring med GeoGebra, kan det være lurt å lage trekanten i hel klasse og vise hvordan verktøyet Penn fungerer. Det er viktig at elevene drar i det samme hjørnet når de utforsker. De kan godt gi punktet en annen farge slik at det skiller seg fra resten. Minn elevene på at de må velge Flytt før de leter etter en ny trekant. Mange elever vil lage en hypotese om at trekanten får samme areal når punktet de beveger ligger på en linje parallell med motstående side. Men stemmer det alltid? Elevene kan teste hypotesen ved å ta utgangspunkt i trekanten de allerede har laget. Først tegner de en linje som går gjennom punktet de har beveget og som er parallell med motstående side i trekanten (grunnlinjen). Så lager de en ny trekant som har samme grunnlinje og som har det tredje punktet på den parallelle linjen. De kan også teste hypotesen ved lage to parallelle linjer. Så tegner de en trekant som har hjørnene på linjene. Hvis elevene bruker punktene som er på de parallelle linjene fra før når de tegner trekanten, blir det vanskelig å bruke figuren til å undersøke hypotesen. Da styrer nemlig punktene både plasseringen av de to parallelle linjene og av trekanten. Tips elevene om å lage en trekant uten å bruke punktene i stedet. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis. Pass på at klassen får se løsningsmetoder der ulike hjørner blir brukt. Opplegget kan gi elevene en dypere forståelse av sammenhengen mellom grunnlinje, høyde og areal i trekanter. Avstanden mellom to parallelle linjer er konstant, og i en trekant er denne avstanden høyden. Fortsett gjerne med noen av aktivitetene fra Trekant med areal 12.
Elevene arbeider i par slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett. I tillegg bør de også sorterte objekter etter type, ikke vise navn på nye objekt og bare bruke én desimal. Se Lær GeoGebra: GeoGebra-tips for lærere for veiledning. Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant. Tegn et kvadrat på alle sidene i trekanten. Gi kvadratene ulik farge og vis arealene. Dra i punktene og observer. Lag en hypotese. Kommentar til læreren Elevene starter med å lage en dynamisk, rettvinklet trekant. Det kan de for eksempel gjøre ved å lage en rett vinkel eller ved å bruke Tales’ setning. Undervisningsopplegget Tegn en dynamisk, rettvinklet trekant er et godt utgangspunkt dersom elevene ikke har laget en slik figur før. Så skal elevene lage et kvadrat på hver side. De kan bruke Regulær mangekant eller konstruere kvadratene og deretter bruke Mangekant. Minn gjerne elevene om at de kan bruke angre-knappen dersom et kvadrat legger seg over trekanten. Figuren gir elevene mulighet til å utforske sammenhengene mellom kvadratene, nemlig at summen av arealene til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Setningen er oppkalt etter Pytagoras (ca 570-490 f.Kr.) selv om den var kjent lenge før hans levetid (https://no.wikipedia.org/wiki/Pytagoras). GeoGebra gir elevene mulighet til å undersøke mange eksempler med samme figur som utgangspunkt siden de kan endre sidelengdene til trekanten. Dette er en av fordelene med å bruke dynamiske geometriprogram i forhold til papir og blyant. Vær oppmerksom på at siden GeoGebra runder av til én desimal kan det skje at summen ikke stemmer helt nøyaktig. Diskuter gjerne hvorfor med elevene. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Noen elever har kanskje oppdaget at summen av arealet til kvadratene på katetene er lik arealet til kvadratet på hypotenusen. Mens andre har oppdaget at differansen mellom arealet til kvadratet på hypotenusen og arealet til kvadratet på en av katetene er lik arealet til kvadratet på den andre kateten. Det gir en god mulighet til å sammenligne ulike forklaringer. Oppfordre de til å bruke matematiske begreper som kvadrat, katet, hypotenus og areal.
Elevene arbeider i par eller små grupper slik at de kan diskutere underveis. Alle bruker hver sin PC med GeoGebra. Sørg for at elevene tar bort koordinatsystem og rutenett, samt at de har sortert objekter etter type og ikke får navn på nye objekt. Se Lær GeoGebra for veiledning (for eksempel GeoGebra-tips for lærere). Aktivitet Oppgave til elevene: Tegn et linjestykke med lengde 9,4. Tegn en rettvinklet trekant. Linjestykket skal være en side i trekanten. Vis vinklene. Dra i trekanten. Er trekanten alltid rettvinklet? Kan start-linjestykket være katet i trekanten? Kan det være hypotenus? Kommentar til læreren Gi oppgaven muntlig. Skriv gjerne stikkord på tavle eller storskjerm. Forklar begrepene katet og hypotenus om elevene ikke kjenner disse. Hvis elevene har lite erfaring med GeoGebra, kan det være lurt å starte med å lage linjestykket i hel klasse. Vurder også om elevene skal starte med et linjestykke uten fast lengde. Da vil trekanten bli mer dynamisk, men det vil være mer utfordrende for elevene å fokusere på den rette vinkelen. Elevene bør lage et nytt linjestykke for hver trekant de undersøker. Minn de på å bevege et objekt om gangen. I denne aktiviteten er det lettest å tegne trekanten hvor start-linjestykket er en katet. Elevene kan for eksempel tegne en normal linje i et av punktene. Eller de kan lage en vinkel med fast størrelse (90°) i et av punktene. Begge måter gir en dynamisk, rettvinklet trekant. Det er mer krevende å lage en trekant hvor start-linjestykket er hypotenus. Elevene starter med å lage et linjestykke som skal være hypotenus. Da vet de at de to andre sidene i trekanten skal være kateter og at vinkelen mellom disse er 90°. Så kan elevene for eksempel tegne en av katetene, lage en normal i endepunktet og forsøke å få linjen til å treffe endepunktet til hypotenusen (se grønn figur). Eller de kan lage en trekant (Mangekant) og forsøke å få vinkelen mellom sidene til å bli 90° (se lilla figur). Det er lurt å tipse elevene om verktøyet Penn. Det kan de bruke til å markere mens de utforsker. Elevene vil oppdage at start-linjestykket kun blir hypotenus hvis det tredje punktet ligger på halvsirkelen over hypotenusen. Denne matematiske sammenhengen heter Tales’ setning. Den er oppkalt etter Tales fra Milet (ca. 625 f.Kr – ca. 545 f.Kr) som regnes den første matematikeren og den første naturvitenskapsmannen (https://no.wikipedia.org/wiki/Tales_fra_Milet). Når elevene har oppdaget sammenhengen, kan de lage en dynamisk, rettvinklet trekant med hypotenusen som start-linjestykke. Noen elever glemmer å bruke de matematiske egenskapene når de skal lage en dynamisk, rettvinklet trekant. Disse tegner enda et linjestykke (i et av punktene) som de drar slik at vinkelen mellom linjestykkene er 90°. Når elevene drar i trekanten, vil de oppdage at den ikke alltid er rettvinklet. At vinkelen endrer seg, er en god anledning til å snakke om egenskapene til rettvinklede trekanter og hvordan vi må bruke dem for å lage en dynamisk figur. Oppsummering Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis. Pass på at klassen får se forskjellige løsningsmetoder, både med linjestykket som katet og som hypotenus. Elevene vil ha stor nytte av å kunne lage dynamiske, rettvinklede trekanter når de senere skal bli kjent med Pytagoras’ setning.
Har du oppdaget at naturen er full av bokstaver og tallsymboler? Sommerfuglen har en hvit c under vingene. Bregnen Strutseving ser ut som tallsymbolet 9. Det kan være spennende å gå ut og lete etter alfabetets og tallsymbolenes former i naturen. Elevene kan gå i grupper, og ta bilder av symbolene de finner ute i nærmiljøet. Når elevene kommer tilbake kan de laste opp bildene på en pc, og beskjære bildene slik at detaljene kommer fram. Deretter kan bildene presenteres på mange måter. Elevene kan for eksempel lage en plakat med en oversikt over alle bokstavene/tallsymbolene eller en presentasjon i PowerPoint. Se eksempel her: https://www.naturfag.no/binfil/download2.php?tid=2104062 Mens dere ser på bildene, kan du stille spørsmål som: Hva er likt og forskjellig med de ulike 5-tallene (eller for eksempel bokstaven A) dere har tatt bilde av? Hvordan kan vi være sikre på at det er det samme (tall-)symbolet når de ikke ser helt like ut? Hvordan ser tallene ut når vi skriver for hånd? Skriver alle tallene/bokstavene på samme måte? Hvilket tallsymbol eller bokstav fant dere flest/færrest av? Hvordan kan dette ha seg, tror du? Fant vi alle tallene i tallrekka/ bokstavene i alfabetet, eller er det noen som mangler? Kan vi finne tallsymboler/bokstaver andre steder i naturen? Hvorfor tror dere at det finnes (tall)symboler i naturen? Mulig utvidelse Bildene kan skrives ut og lamineres til tallkort eller bokstavkort som kan brukes til å lage regnestykker med tallene og ord med bokstavene. Memoryspill er også en mulighet. Dersom dere har laget både tallkort og bokstavkort kan elevene forsøke å bruke bokstavene til å skrive ordet som tallkortet representerer. Får de tallkortet med tallsymbolet 5, kan de skrive ordet fem med bokstavkortene og få erfaring med at tallet kan representeres på ulike måter. For ytterligere utvidelse kan de i tillegg hente fem gjenstander for å øve på å finne mengden som tallsymbolet representerer. Aktiviteten er en bearbeidet versjon av denne aktiviteten fra naturfag.no: https://www.naturfag.no/forsok/vis.html?tid=717613
Del elevene i par eller grupper og be dem lage femmermengder. Elevene kan velge selv om de vil samle bare like gjenstander (for eksempel fem steiner, fem kongler, fem skjell, fem blader, fem pinner) i mengden sin, eller blande ulike gjenstander. Deretter organiserer elevene mengden sin slik de selv ønsker. De kan spre gjenstandene utover, legge dem tett i tett, organisere dem som på terningen, legge dem i sirkel, legge dem på linje osv. I diskusjonen med elevene må dere fokusere på kardinaltallet i hver mengde og samtale om hvordan femmermengdene er like og forskjellige. Dere kan sammenligne gjenstandene innad i hver mengde (her er det tre store blader og to små skjell), eller sammenligne gjenstandene mellom mengder (her er det fem små steiner tett i tett og der er det fem store biler på parkeringsplassen – det er like mange). Still spørsmål som: Hvordan kan vi se at det er fem i denne mengden? Er det noen som ser det på en annen måte? Hva er likt og forskjellig med gjenstandene i mengden? Hvordan kan det være fem både her... og der...? Hvordan vil du plassere gjenstandene slik at mengden er lett å telle/se? Hvordan kan du legge gjenstandene dine slik at det er lett å se hvor mange det er? Oppsummert: Det er altså like mange i to femmermengder selv om objektene i den ene er større eller mindre enn i den andre, eller gjenstandene i den ene er spredd utover et større område, eller gjenstandene i de to mengdene er organisert forskjellig. Å få forståelse av «like mange» innebærer at barna abstraherer fra tingene selv og kun ser på antallet (kardinaltallet) i mengden. Antallet er likt, selv om gjenstandene ikke er like.
Ingen beskrivelse
Stikkord Utforske, observere, beskrive, resonnere, lage hypoteser, begrunne, sammenligne Aktivitet Del elevene i grupper på 3-4 elever. Hver gruppe får en eller flere bokser med hemmelig innhold. Gjennom å observere og utforske (riste på, lytte, veie) boksene, skal gruppene prøve å resonnere seg fram til hva boksene kan inneholde. Først skal de lage hypoteser kun ut fra observasjonene sine. Deretter kan du gi dem noen ulike alternativer til mulig innhold som de vurderer, og som de bruker til å formulere nye hypoteser. Du kan også la de ulike elevgruppene velge innhold i bokser som andre grupper skal gjette. La elevene undre seg og begrunne sine resonnement: Hvor stort er det som er inni boksen? Hvor mange ting tror dere det er inni boksen? Hva kan det ikke være i boksen? Hva tror du det er i boksen? Elevene må bruke begreper for å sammenligne størrelser på de ulike boksene og beskrive innholdet. Relevante begreper er større, høyere, lengre, kortere, tyngre, lettere, bredere, smalere. Elevene erfarer måleenheter når de legger merke til at det går flere objekter i boksen hvis hvert objekt er mindre, og færre objekter i boksen hvis objektene er større. Elevene møter sammenhengen mellom enheter og antall som trengs for å fylle opp et volum. Elevene møter og bruker begreper knyttet til form når de beskriver boksene. Noen er runde som en sylinder, noen er formet som en kube, og noen er kanskje som et firkantet prisme. Elevene beskriver det de tror er inni boksen. Da er begreper som rund, tung, lett, myk, hard, mange, få, kantete og avlang nyttige. Elevene må prøve å finne ut hvor mange objekter det er i boksen. De møter da tall som antall. Kan det være bare én? Eller kanskje to eller tre? Eller kanskje hundre? Når dere åpner boksen, kan barna se direkte hvor mange det er, hvis antallet er lite. Hvis det er et stort antall, må de telle for å finne det ut.
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
