Forberedelser I dette opplegget skal vi bruke esken i midten på figur 1. Til hvert sett: Klipp ut et kvadrat i rødt papir som passer nøyaktig inn i esken. Legg det inn i bunnen av esken. Legg så tilbake de fire gule trekantene og det blå pappkvadratet som ligger i midten. Hvis det ikke ligger noe blått kvadrat i midten (kvadrat på hypotenusen), må slike også klippes ut og legges inn. Undervisningsopplegget På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Opplegget inneholder et visuelt «bevis» for Pytagoras setning. Det er mangelfullt som bevis, men likevel ganske overbevisende. Grunnen til at dette ikke er noe fullgodt bevis, er at vi påstår at vi får kvadrater, uten å vise hvorfor det virkelig er slik. Opplegget er helt «algebrafritt» i pkt. 1–5. Målet er at elevene skal se hvordan de kan løse oppgaver med Pytagoras setning uten å bruke algebra og løse likninger. Det er nok å ha en figur til hjelp. For en del elever er det et rimelig læringsmål. Det er viktig at også elever som behersker algebra godt, får med seg denne måten å tilnærme seg Pytagoras setning på. I pkt. 6 innføres bokstaver som navn på sidene, og vi ender med den kjente formelen for Pytagoras setning: a2 + b2 = c2. Introduksjon av undervisningsopplegget Be elevene skrive opp alt de husker om rettvinklede trekanter og Pytagoras setning. Ta det opp i fellesskap, hør hva elevene allerede kan, og bruk anledningen til å supplere og korrigere eventuelle misforståelser. 1 Begynn med esken der brikkene ligger, slik: Kommentar til læreren Det ligger et blått pappkvadrat inne i eskene. Hvis dette mangler, bør det legges et slikt kvadrat inn i eskene. a Hvorfor kaller vi de fire trekantene for rettvinklede trekanter? Skriv med egne ord. b Den blå firkanten i midten er et kvadrat, vi kaller den kvadratet på hypotenusen. Hvorfor? Skriv og forklar. De resterende oppgavene finner du i kopieringsoriginalene. f Hva kan vi si om arealet av det store blå kvadratet i forhold til arealene av de to røde kvadratene? Regelen du har funnet, kalles Pytagoras setning. Skriv regelen i ruta nedenfor. Kommentar til læreren La elevene arbeide seg gjennom pkt. a, hvor de skal prøve å formulere skriftlige svar i alle rutene. Læreren kan benytte anledningen til å se hvordan enkeltelever arbeider, og det er mulighet til å ha små samtaler med dem. Når elevene er ferdig med dette punktet, bør læreren stoppe opp og samtale med elevene i plenum. Hva har de skrevet? Hvorfor har de skrevet det slik? Det er mange måter å uttrykke seg på, og alle utsagn som er riktige, må verdsettes. Mange elever fanger opp gode tips og ideer fra andres forklaringer. Det er like viktig å kunne være god til å lytte som å være god til å forklare. Samtidig er dette en anledning for læreren til å fange opp og avklare misforståelser. Hensikten med opplegget er at elevene skal forstå hva Pytagoras setning egentlig sier om rettvinklede trekanter og kvadratene på sidene. Det er fint om de formulerer setningen i pkt. f med ord, for eksempel «Arealet av det blå kvadratet er like stort som arealene av de røde kvadratene til sammen» eller «Arealet av kvadratet på hypotenusen er like stort som arealet av kvadratene på katetene til sammen». 2 Eksempel: Vi tenker oss at alle de rettvinklede trekantene har en katet som har lengde 3, en katet som har lengde 4, og hypotenus med lengde 5. a Hvor stort er arealet av det blå kvadratet i dette tilfellet? b Hvor store er arealene av de to røde kvadratene? c Stemmer regelen til Pytagoras i dette tilfellet? Skriv og forklar. Kommentar til læreren Stans etter pkt. 2 og hør hva elevene har kommet fram til her. Diskusjon/samtale. Har elevene forstått sammenhengen mellom de to figurene? Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt 6. tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det må selvsagt bruke algebra. Men med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Når du samtaler om løsninger med elever, så spør «Hvorfor gjør du slik?» eller «Hva har du gjort her?» for å få tak i hva eleven har tenkt. Slike spørsmål bør man også stille til elever som ser ut til å løse alle oppgavene uten problemer. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene. 5 Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 13 m lang, og den korteste kateten er 5 m. Hvor lang er den andre kateten? Kommentar til læreren Noen elever bør kanskje stanse etter pkt. 5 og fortsette å løse Pytagoras-problemer med den metoden de har lært. I pkt. 6 tar vi i bruk algebra og symboler, og elever som er modne for det, må selvsagt bruke algebra. Med dette opplegget ønsker vi at elevene skal få en bedre forståelse av hva som ligger bak Pytagoras setning, slik at de ikke bare bruker en regel helt mekanisk. Sørg for å avslutte økta og oppsummere begrepene og læringsmålene.
Plukk ut kortene fra 1 (ess) til 9 i en farge; hjerter, ruter, spar eller kløver. Legg kortene i tre rader og tre kolonner. Se bildet over. Kortene skal flyttes slik at summen av kortene blir den samme i alle radene og kolonnene og i diagonalene. Matematikk i fokus Til høyre ser dere en av flere mulige løsninger. Ikke presenter løsning til elevene, la de jobbe helt til de finner løsningene selv. Underveis kan det være behov for å gi elevene hint: Start med å spørre hvilken sum hver rekke må ha. Siden summen av alle kortene fra 1 til 9 er 45, må hver rekke ha summen 15. Be elevene se etter kombinasjoner som gir 15. Tallet 5 gir 15 kombinert med 1+9, 2+8, 3+7 og 4+6. Derfor må 5 ligge i midten. Etterpå kan elevene få følgende utfordring: Bruk kortene fra 2 til 10 og lag et nytt magisk kvadrat. Kan du benytte deg av det første kvadratet når du legger det nye? I jobbingen med det nye kvadratet vil kanskje noen oppdage at de kan bytte ut 1 med 2-er, 2-eren med 3-er osv.
Arbeidsform La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler. Undervisningsopplegget Her er oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal arbeide med oppgavene i par. Oppgavearket finner du som kopieringsoriginal. Før du gjennomfører opplegget er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. Ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp likningene. La elevene slite en stund før du gir direkte hjelp. Tenk også over hvordan du kan få i gang en diskusjon i oppgave 5. Film {"preview_thumbnail":"/sites/default/files/styles/video_embed_wysiwyg_preview/public/video_thumbnails/5_ZoJax7CxI.jpg?itok=qNiTR9Du","video_url":"https://youtu.be/5_ZoJax7CxI","settings":{"responsive":1,"width":"854","height":"480","autoplay":0},"settings_summary":["Embedded Video (Responsiv)."]} 1) Du skal bruke 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at: • den røde kolonnen inneholder 3 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 1 flere enn den blå kolonnen La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5. 2) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Her er det viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x, y og z for de ukjente, andre vil bruke r, g og b, mens noen kanskje vil skrive rød, grønn og blå. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x, y og z, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker r, g og b kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. Du kan gjerne stille gode spørsmål og gi hint til elever som vil ha hjelp og som du vet sliter med matematikk. Vent i det lengste med å gi dem direkte hjelp. Hvis du ser at flinke elever strever med oppgaven, så la dem holde på en stund før du gir dem hjelp. Våre erfaringer er at de som regel finner ut av det selv til slutt. 3) Bruk 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at: • den blå kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 2 færre enn den røde kolonnen La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5. 4) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Disse oppgavene har litt høyere vanskelighetsgrad enn oppgave 1 og 2. 5) Sammenlikn kolonnene og likningsuttrykkene fra oppgave 1 og oppgave 3. Forklar hva du ser og hvorfor. Kommentar til læreren Elever tror ofte at når de skal omforme praktiske situasjoner til likninger, så er det bare en måte å velge x (den ukjente i likningen) på. De stiller ofte følgende spørsmål: "Hva skal jeg velge som x?", "Har jeg valgt riktig x?" Vi vil at elevene, gjennom å gjøre disse oppgavene, skal forstå at hva de velger som x, ikke er avgjørende for å løse oppgaven. De vil få samme løsning uansett. selvfølgelig vil det i enkelte oppgaver være hensiktsmessig å velge en bestemt ukjent som x, men et av målene i dette opplegget er å vise at sammenhengen mellom de ukjente er konstant, uavhengig av hva de velger som x. 6) Bruk 13 brikker til å lage 3 kolonner slik at • den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen 7) Løs oppgaven ved hjelp av likninger. Kommentar til læreren Disse oppgavene har høyere vanskelighetsgrad enn de tidligere oppgavene, da vi ikke tar utgangspunkt i den samme fargen i begge setningene. 8) Bruk 12 brikker til å lage 3 kolonner slik at • den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen • den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen 9) Lag minst to liknende oppgaver selv. Kommentar til læreren Det finnes ingen heltallig løsning på oppgave 8. siden dette er en praktisk problemstilling, finnes det ikke en løsning på oppgaven. La elevene forklare (bevise) at det ikke finnes en løsning ved å bruke brikkene. Du kan utfordre de flinke elevene til å vise at det ikke finnes en heltallig løsning ved regning. Forberedelse til oppsummering På hvilke måter har elevene løst den praktiske delen av oppgaven? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste den praktiske delen av oppgaven. Gjør tilsvarende med den teoretiske delen av oppgaven. Be elevene forklare hvorfor det ikke finnes noen løsning på oppgave 8. Hvis noen elever mener at løsningen deres er gyldig, la dem begrunne det. Diskuter gjerne dette med gyldighet av løsninger. Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Dette er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine i plenum. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. om du avtaler med noen elever på forhånd sikrer du også at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen. Felles oppsummering og diskusjon Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. Praktisk del La elevene vise hvordan de løste den praktiske delen av oppgaven på overhead. Hvilke strategier har de brukt? La dem forklare selv. Har de valgt en bestemt strategi, eller har de prøvd og feilet? Teoretisk del La elevene vise hvordan de løste de teoretiske oppgavene. Diskuter eventuelle ulike oppsett av likninger. La elevene forklare hvordan de har tenkt. I oppgave 5 vil elevene se at de får de samme kolonnene som i oppgave 1 og oppgave 3, og dermed samme svar på likningene. er likningene de samme? Hvordan er dette mulig? Mange elever tror at når man skal stille opp likninger, så er det bare en riktig måte å gjøre det på. Oppgaven over viser at det er mange måter å stille opp likninger på for det samme problemet. Hvorfor finnes det ikke noen løsning på oppgave 8? Kan elevene forklare det på forskjellige måter? Utvidelse Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka i etterkant av opplegget. Elevene kan få i lekse å løse noen av oppgavene de har laget selv. Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.
Areal Start med et A3-ark, mål hver av sidene og beregn arealet. Brett arket nøyaktig i to en gang, mål eller beregn sidene og arealet. Gjenta brettingen, og mål eller beregn hver gang sidene og arealet. Hvor mange brett klarer du? Fyll ut tabellen. Antall brett 0 1 2 3 4 5 6 lengde bredde areal Lag en matematisk modell som kan brukes til å finne arealet etter x brettinger. A(x)= Tykkelse Beregn tykkelsen på et ark ved å måle tykkelsen av det sammenbrettede godt sammentrykte papiret etter 6 brett. Alternativt kan en måle tykkelsen av en bunke som inneholder 500 ark. Tykkelsen av et ark: Når du bretter arket vil antall lag med papir og dermed tykkelsen på det brettede papiret øke. Fyll ut tabellen under. Antall brett 0 1 2 3 4 5 6 Antall lag med papir Tykkelse (mm) Framstill resultatene i tabellen grafisk. Finn en matematisk modell, T(x), for tykkelsen av papirene. T(x)= Rent teoretisk: Hvor mange ganger måtte du ha brettet hvis tykkelsen skulle passere 1 meter? Avstanden fra jorda til månen er ca 380 000 km. Rent teoretisk: Hvor mange ganger måtte vi brette hvis tykkelsen skulle bli like høy som avstanden fra jorda til månen? Eksempel på verdier: Arktykkelsen kan være (53:500)mm=0,106 mm Modellen for tykkelsen blir for eksempel T(x) = 0.106 · 2x Oppgaven er godt egnet til å jobbe med i regneark.
ÅTTEARMET STJERNE Vist på utstilling under Novemberkonferansen 2008 1. Start med et kvadratisk ark som ligger på bordet med ”baksiden” opp. Lag en brett langs den ene diagonalen, og åpne så arket slik at det ligger som på figuren. OBS! Gni over alle bretter så de blir skarpe og fine. Stor nøyaktighet gir best resultat 2. Brett de to nederste hjørnene inn mot diagonalen. 3. Brett så de to øverste hjørnene inn mot diagonalen. 4. Brett den nederste spissen oppover slik at kanten ligger inntil brettekanten fra de øverste hjørnene (som ble brettet under pkt 3). Gni og gjør bretten skarp bare til midten (se tykk strek på fig). Brett tilbake, - og lag så en tilsvarende brett fra den andre siden. Også denne bretten skal gå bare til midten. Brett tilbake. 5. Snu hele arbeidet slik at den siden som til nå har ligget ned mot bordet, blir liggende opp. Finn de to siste brettene (som du gjorde under pkt. 4) og brett dem motsatt vei, - slik at den spissen som her peker nedover, løftes opp. Brett også den nederste delen av midtlinja (diagonalen fra pkt.1) motsatt vei av det den var brettet fra før. Du skal altså brette fra punktet der de to prikkede linjene møtes og ned til nederste spiss. 6.Løft arbeidet fra bordet og brett langs de to brettene som er stiplet i pkt.5. Brett samtidig langs midtlinja (diagonalen fra pkt 1), slik at det blir som på figuren til venstre, med to spisser som peker oppover. Lag 8 slike deler. Når du har fått 8 like deler, skal de settes sammen. De korte spissene skal stikkes inn i de lange spissene. Det er lurt å ikke stikke alt helt inn før alle 8 deler er satt sammen, ellers kan det bli vanskelig å få den siste på plass. Så kan du til slutt stramme etter, til ”hullet i midten” er blitt så lite som mulig. Bli inspirert av denne videoen: https://vimeo.com/306064538/ab01925433 Lykke til med brettingen!!
Gratis verktøy for å lage egne oppgaver og oppgavesamlinger
